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In [[matematica]], la '''sommazione per parti''', anche chiamata '''trasformazione''' (o ''lemma'') '''di [[Niels Abel|Abel]]''', è un procedimento che permette di scrivere in un altro modo la somma (finita o infinita) del prodotto di due successioni, consentendo così di avere una stima sul comportamento della serie in termini di [[serie convergente|convergenza]].
"La Geometria del Compasso" è un’opera di [[Lorenzo Mascheroni]], pubblicata a [[Pavia]] nel [[1797]]. Tratta delle costruzioni geometriche da realizzarsi con il solo uso del [[Compasso_(strumento)|Compasso]], escludendo l’altro strumento della [[Costruzioni_con_riga_e_compasso|Geometria Classica]], ovvero la [[Riga_(strumento)|Riga]]. Quanto segue è tratto dalla "Nuova Edizione", pubblicata a [[Palermo]] nel [[1901]].
== Enunciato del lemma ==
==Scopo dell’opera==
Siano <math>\{a_n\}</math> e <math>\{b_n\}</math> due [[successione (matematica)|successioni]], e sia
Nella scrittura di questa opera, Mascheroni si fa guidare inizialmente da considerazioni teoriche: ha ben presente che dai tempi della [[Geometria]] [[Geometria euclidea|Classica]], descritta negli [[Elementi_(Euclide)|Elementi]] di [[Euclide]], sono stati aggiunti dai matematici molti argomenti, come le coniche, le curve di grado superiore al secondo, ecc.. Viceversa, nella Prefazione al suo libro si domanda:
:<math>A_n = \sum_{i=0}^n{a_i}</math>
:''« Non potresti tu ritrocedere dagli Elementi, come da una linea di demarcazione, e cercar qualche cosa rimasta addietro a guisa di trascurata? È egli vero che i problemi elementari d'Euclide siano della più semplice costruzione? O non si potrebbe l'elemento matematico risolvere ne' suoi elementi fondamentali riga e compasso, a guisa di chi ha separata l'acqua in due arie<ref>Mascheroni fa riferimento al fenomeno dell'[[Elettrolisi dell'acqua]], scoperto pochi anni prima</ref>, e qualche aria pure stimata semplice, in due sostanze? A questo punto m'avvidi, che non potendosi far uso della riga sola se non per condurre una retta; si poteva però forse far uso del solo compasso non solo per descrivere solamente un cerchio, o un arco di esso; ma descrivendone più con più centri, e con diverse aperture, trovare per via delle loro sezioni mutue più punti, che fossero utili, e appunto i cercati di posizione di qualche problema. »''
la somma parziale <math>n</math>-esima di <math>\{a_n\}</math>, e si ponga <math>A_{-1}=0</math>. Vale allora l'eguaglianza<ref name=Rudin70>{{cita|Rudin|pag. 70}}.</ref>:
Il secondo scopo che si prefigge Mascheroni nel pubblicare ''La Geometria del Compasso'' è rendere più facile e precisa la costruzione di apparecchiature di precisione, come i quadranti degli strumenti astronomici. Come spiega egli stesso, sempre nella Prefazione al suo libro:
:<math>\sum_{i=m}^{n}{a_i b_i} = A_n b_n - A_{m-1}b_m + \sum_{i=m}^{n-1}{A_i(b_i - b_{i+1})} </math>.
:''« Per accennare i vantaggi, che ha il compasso sopra la riga, qualora si tratti di una descrizione precisa di linee, che non debbano temere l’esame del microscopio, basta avvertire, che trattandosi specialmente d’una riga alquanto lunga, è quasi impossibile ch’ella sia così diritta, che ne garantisca per tutto il suo tratto della posizione a luogo de’ punti, che in essa sono. E sia pur essa rettissima. Sanno i pratici, che il dovere strisciare lungo essa colla punta che segna, porta seco una incertezza di parallelismo nel moto dell’asse di questa punta, o di perfetto adattamento allo spigolo, che rende spesso inutile la sua massima precisione. A queste due difficoltà non va soggetto il compasso. Qualora esso sia fermo nell’apertura, e finissimo nelle punte; centratane una immobilmente, il che non è difficile, l’altra scorrendo segna da sé un arco così preciso ed esatto, che nulla più. »''
Una formulazione equivalente può essere espressa con l'operatore [[differenza finita|differenza in avanti]] <math>\Delta{b_n} := b_{n+1}-b_n </math>:
In tutte le sue costruzioni geometriche, Mascheroni sceglie quindi di determinare i punti necessari usando, fra riga e compasso, solo quello strumento che garantisce la maggiore precisione possibile: i punti saranno quindi sempre ottenuti come intersezioni fra archi di cerchio tracciati con il compasso. Gli eventuali segmenti rettilinei necessari al completamento del disegno dovranno ovviamente essere tracciati con una riga; ma non avendo tali segmenti alcun ruolo nella determinazione dei punti, una mancanza di precisione nel loro disegno non si ripercuoterà sull'intera costruzione.
:<math>\sum_{i=m}^{n}{b_i\Delta{A_{i-1}}} = A_n b_n - A_{m-1}b_m - \sum_{i=m}^{n-1}{A_i\Delta{b_i}}</math>,
==Il Compasso di Euclide==
[[File:Euclid Elements Book 1 Proposition 3.gif|thumb|Fig. 1: Applicazione della lunghezza AB sul segmento CD]]
che evidenzia l'analogia tra questa formula e quella di [[integrazione per parti]]:
Nei suoi [[Elementi_(Euclide)|Elementi]], [[Euclide]] non parla mai né di Riga né di Compasso. Egli si riferisce solo a linee rette e circonferenze ideali, che traccia secondo i seguenti Postulati:
# ''È possibile tracciare un segmento rettilineo fra qualunque coppia di punti.''<ref>Euclide, Elementi, Libro I, Postulato 1, letteralmente: ''« Risulti postulato: che si possa condurre una linea retta da un qualsiasi punto ad ogni altro punto. »''</ref>
# ''Un segmento rettilineo può essere esteso indefinitamente in una linea retta.''<ref>Euclide, Elementi, Libro I, Postulato 2, letteralmente: ''« E che una retta terminata si possa prolungare continuamente in linea retta. »''</ref>
# ''È possibile descrivere un cerchio con qualsiasi centro e qualsiasi raggio.''<ref>Euclide, Elementi, Libro I, Postulato 3, letteralmente: ''« E che si possa descrivere un cerchio con qualsiasi centro ed ogni distanza. »''</ref>
:<math>\int_{a}^{b}{f(x)d(g(x))} = g(b)f(b) - g(a)f(a) - \int_{a}^{b}{g(x)d(f(x))}</math>.
Nella pratica è cosa ovvia associare una riga (non graduata) ai primi due postulati, e il compasso al terzo. Bisogna fare attenzione però al fatto che non tutto ciò che può essere fatto con un compasso è "autorizzato" dal terzo Postulato. Secondo quest’ultimo, il compasso dovrebbe essere utilizzato solo per tracciare un cerchio dati il centro e un punto sulla sua circonferenza; non dovrebbe invece essere utilizzato per trasportare una distanza da una parte all'altra del piano, semplicemente aprendolo e spostandolo conservandone l'apertura.
== Dimostrazione ==
Euclide sa che il trasporto delle distanze è una necessità irrinunciabile, infatti dedica a questo problema le prime tre Proposizioni del Libro I degli Elementi<ref name=Euclide_1_1>Euclide, Elementi, Libro I, Proposizione 1: ''« Su una retta terminata data costruire un triangolo equilatero »''</ref><ref name=Euclide_1_2>Euclide, Elementi, Libro I, Proposizione 2: ''« Applicare ad una retta data una retta uguale ad una retta data »''</ref><ref name=Euclide_1_3>Euclide, Elementi, Libro I, Proposizione 3: ''« Date due rette disuguali, togliere dalla maggiore una retta uguale alla minore »''</ref> (vedi l’animazione in figura 1). Dimostra cioè che si può trasportare la distanza AB sul segmento CD:
* congiungendo punti dati con segmenti rettilinei (primo Postulato - nell'animazione: linee di colore blu);
* prolungando segmenti (secondo Postulato - linee di colore magenta);
* tracciando archi di cerchio dati il centro e un punto della circonferenza (terzo Postulato - linee di colore verde).
La dimostrazione fa uso soltanto di operazioni algebriche, il che rende la formula valida in qualunque [[campo (matematica)|campo]]. Il lemma continua a valere anche quando una successione abbia elementi in uno [[spazio vettoriale]] sul campo <math>\mathcal{K}</math>, e l'altra in <math>\mathcal{K}</math>.
Di fatto il trasporto delle distanze con un uso più libero del compasso è una scorciatoia ammessa in geometria, ma solo perché si sa che tale procedimento è la semplificazione di un metodo più rigoroso: proprio quello proposto da Euclide.
Per la definizione di <math>\{A_n\}</math>, si ha<ref name = Rudin70 />:
==I Compassi ad apertura fissa di Mascheroni==
[[File:Mascheroni Fixed Compasses.svg|thumb|Fig. 2: Compassi ad apertura fissa]]
:<math>\sum_{i=m}^{n}{a_i b_i} = \sum_{i=m}^{n}{(A_i - A_{i-1})b_i} = \sum_{i=m}^{n}{A_i b_i} - \sum_{i=m-1}^{n-1}{A_i b_{i+1}} =</math>
A differenza di Euclide, Mascheroni non ha uno scopo teorico, bensì pratico. Per trasportare le distanze non applica il metodo descritto da Euclide, per due motivi:
:<math>= \left(A_n b_n + \sum_{i=m}^{n-1}{A_i b_i}\right) - \left(\sum_{i=m}^{n-1}{A_i b_{i+1}} + A_{m-1}b_m\right) = A_n b_n - A_{m-1}b_m + \sum_{i=m}^{n-1}{A_i(b_i - b_{i+1})} </math>,
* esso richiede l’uso della riga, che Mascheroni vuole evitare;
* la quantità di passaggi necessari è tale da moltiplicare gli errori, invece di minimizzarli.
cioè la tesi, [[Quod erat demonstrandum|Q.E.D.]]
Mascheroni si sente quindi libero di usare il compasso per trasportare distanze, ma non solo: incoraggia la realizzazione di vari compassi ad apertura fissa<ref>« ... sapendo la molestia e il pericolo d'errare, che nasce dall'allargare e stringere il compasso a varie aperture precise; noi procureremo di sciogliere i problemi col minimo numero possibile di aperture di compasso. Sarà anche meglio avere in pronto tali compassi ''fedeli'', come li chiamano, ossia tali, che uno si possa assicurare, che conservino appunto l'apertura data; quante sono le aperture, che richiede la soluzione del Problema. poiché accadrà spesso, che dovremo adoperar più volte la stessa apertura dopo averne adoperata una o più altre; così senza allargare o stringere un sol compasso, ripiglieremo quell'altro compasso messo da parte, che la conserva. »</ref>. Ad esempio, dovendo inscrivere in una circonferenza un qualche [[poligono regolare]], suggerisce di costruirne quattro con le seguenti aperture:
* un primo compasso con apertura pari al raggio della circonferenza (coincidente con il lato dell'esagono regolare ivi inscritto);
* un compasso di apertura proporzionale al primo, in ragione del fattore <math>\sqrt{2}</math> (lato del quadrato inscritto nella circonferenza);
* un compasso di apertura proporzionale al primo, in ragione del fattore <math>\sqrt{3}</math> (lato del triangolo equilatero inscritto nella circonferenza);
* un compasso di apertura proporzionale al primo, in ragione del fattore <math>\frac{\sqrt{5}-1}{2}</math> (lato del decagono regolare inscritto nella circonferenza).
== Teoremi derivati ==
==Divisioni della circonferenza==
=== Criterio di Dirichlet per le serie ===
{{vedi anche|Criterio di Dirichlet (matematica)}}
Il lemma di Abel viene usato per provare il [[criterio di Dirichlet (matematica)|criterio di Dirichlet]] per la convergenza di serie<ref>{{cita|Rudin|pag.71}}.</ref>.
=== Criterio di Leibniz per le serie ===
Le prime costruzioni affrontate da Mascheroni ne ''La Geometria del Compasso'' prevedono la divisione del cerchio in 240 parti uguali (nei paragrafi che seguono verranno mostrate solo le costruzioni principali), utilizzando il minor numero possibile di aperture del compasso, e il minor numero di punti non appartenenti alla circonferenza data.
{{vedi anche|Criterio di Leibniz}}
Il [[criterio di Leibniz]] può essere dimostrato in modo elementare come corollario del criterio di Dirichlet.
== Note ==
Le costruzioni usano varie volte le Proposizioni di Euclide<ref name=Euclide_3_26>Euclide, Elementi, Libro III, Proposizione 26: ''« In cerchi uguali angoli uguali insistono su archi uguali, sia che essi siano angoli al centro o alla circonferenza »''</ref><ref name=Euclide_3_27>Euclide, Elementi, Libro III, Proposizione 27: ''« In cerchi uguali angoli che insistano su archi uguali sono uguali fra loro, sia che essi siano al centro od alla circonferenza »''</ref> secondo cui, in cerchi uguali, archi uguali insistono su corde uguali e viceversa. La divisione della circonferenza in parti uguali coincide quindi con il problema di disegnare i poligoni regolari inscritti con lo stesso numero di lati.
<references />
== Bibliografia ==
''Nota: volendo costruire i compassi ad apertura fissa suggeriti da Mascheroni, il primo dovrà avere apertura pari al raggio del cerchio da suddividere, ovvero quello in cui inscrivere i vari poligoni regolari.''
* {{cita libro|autore= W. Rudin | titolo=Principles of Mathematical Analysis|editore =A. A. Arthur, S. L. Langman | anno = 1976 | pagine = 70 |lingua=en|cid=Rudin|isbn=0-07-054235-X}}
== Voci correlate ==
===Divisione in 6 parti===
* [[Integrazione per parti]]
[[File:Mascheroni Hexagon.svg|thumb|Fig. 3: costruzione dell'Esagono Regolare e del Triangolo Equilatero]]
* [[Serie convergente]]
[[Categoria:Serie matematiche]]
Dato un cerchio di centro O e raggio OA (vedi figura 3), per inscrivere nella stesso cerchio un [[Esagono|Esagono regolare]] seguendo il metodo di Euclide<ref name=Euclide_4_15>Euclide, Elementi, Libro IV, Proposizione 15: ''« Inscrivere in un cerchio dato un esagono equilatero ed equiangolo »''</ref> bisogna:
[[Categoria:Lemmi]]
* tracciare l'arco BOF con centro in A e raggio AO, la cui intersezione con la circonferenza determina i punti B ed F. Questi punti, assieme ad A, sono i primi tre vertici dell'esagono;
* prolungare i segmenti BO, AO ed FO fino ad incontrare la circonferenza rispettivamente in E, D, C: sono ABDDEF i vertici dell'esagono regolare inscritto nella circonferenza.
Mascheroni non può fare uso della riga, quindi descrive un metodo alternativo:
* tracciare l'arco BOF con centro in A e raggio AO, come indicato da Euclide;
* tracciare altri tre archi di raggio AO: il primo con centro in B e tale da intersecare la circonferenza in C; il secondo con centro in C per determinare D; il terzo in D per determinare E.
Con questa costruzione si ottengono alcuni risultati aggiuntivi, che verranno sfruttati in molte delle costruzioni che seguono:
* il punto D è allineato al segmento OA, per cui DA è doppio di OA: questo è il sistema usato da Mascheroni per raddoppiare la lunghezza di un segmento senza fare uso della riga (iterando lo stesso sistema, un segmento potrà essere anche triplicato, quadruplicato, ecc.);
* il punto D è la seconda estremità del diametro DA del cerchio centrato in O e di raggio OA;
* I punti ACE (così come i punti BDF) sono i vertici del [[triangolo equilatero]] inscritto nello stesso cerchio;
* Il segmento CA è doppio rispetto all'altezza del triangolo equilatero OBA, quindi vale la proporzione: <math>\overline{CA} : \overline{OA} = \sqrt{3} : 1</math>
''Nota: volendo costruire i compassi ad apertura fissa suggeriti da Mascheroni, quello di ampiezza pari a <math>\sqrt{3}</math> volte la lunghezza del raggio dovrà essere calibrato sulla distanza fra i punti A ed C.''
===Divisione in 4 parti===
[[File:Mascheroni Square.svg|thumb|Fig. 4: costruzione del Quadrato]]
Per costruire il [[quadrato]] inscritto in un un cerchio dato, Euclide<ref name=Euclide_5_6>Euclide, Elementi, Libro V, Proposizione 6: ''« Inscrivere un quadrato in un cerchio dato »''</ref> suggerisce semplicemente di tracciare due diametri ortogonali. Questo sistema viene modificato da Mascheroni (vedi figura 4) come segue:
* determinare i punti A, B, C e D come descritto al paragrafo precedente;
* con centri in A e D e raggio AC tracciare i due archi CG e BG che si intersecano in G (il segmento AC, come visto al paragrafo precedente, è <math>\sqrt{3}</math> volte il raggio della circonferenza);
* con centro in A e raggio OG tracciare un arco che interseca la circonferenza data nei punti H e J: i punti AHDJ sono i vertici del quadrato inscritto nella circonferenza data.
I triangoli GOA e GOD sono congruenti in quanto hanno i lati corrispondenti di uguale lunghezza. I loro angoli in O sono quindi uguali<ref name=Euclide_1_8>Euclide, Elementi, Libro I, Proposizione 8: ''« Se due triangoli hanno due lati rispettivamente uguali a due lati, ed hanno anche la base uguale alla base, avranno uguali anche gli angoli compresi dai lati uguali »''. Questo enunciato è oggi conosciuto come ''terzo criterio di uguaglianza dei triangoli''</ref> e, componendo insieme l'angolo piano AÔD, sono retti<ref name=Euclide_1_13>Euclide, Elementi, Libro I, Proposizione 13: ''« Se una retta innalzata su un'altra retta forma degli angoli, essa verrà a formare o due angoli retti od angoli la cui somma è uguale a due retti »''</ref>. Ammettendo, senza perdita di generalità, che il raggio del cerchio sia unitario, si può applicare il [[Teorema di Pitagora]] all'ipotenusa AG = <math>\sqrt{3}</math> e al cateto OA = <math>1</math>, ricavando la lunghezza del secondo cateto:
:<math>\overline{GO}=\sqrt{\overline{AG}\,^2-\overline{OA}\,^2}=\sqrt{3-1}=\sqrt{2}</math>
Per costruzione, il segmento HA è quindi lungo <math>\sqrt{2}</math> volte il raggio del cerchio, e completa il triangolo HAO i cui altri lati sono tutti lunghi quanto il raggio stesso. Dato che il quadrato costruito su AH è uguale alla somma dei quadrati costruiti su OA e OH, il triangolo OHA è rettangolo in O<ref name=Euclide_1_48>Euclide, Elementi, Libro I, Proposizione 48: ''« Se in un triangolo il quadrato di uno dei lati è uguale alla somma dei quadrati dei rimanenti lati del triangolo, l'angolo che è compreso dai due rimanenti lati del triangolo è retto »''</ref>: il segmento OH è quindi un raggio del cerchio ortogonale al suo diametro DA, proprio come prescritto da Euclide (lo stesso ragionamento può essere ripetuto relativamente al triangolo JAO).
''Nota: volendo costruire i compassi ad apertura fissa suggeriti da Mascheroni, quello di ampiezza pari a <math>\sqrt{2}</math> volte la lunghezza del raggio dovrà essere calibrato sulla distanza fra i punti O ed G.''
===Divisione in 8 parti===
[[File:Mascheroni Octagon.svg|thumb|Fig. 5: costruzione dell'Ottagono]]
Nella figura 5 sono indicati (vedi le costruzioni precedenti):
* i punti A e D, appartenenti al diametro della circonferenza;
* i punti G, H, O e J appartenenti alla retta ortogonale al diametro suddetto, e passante per il centro della circonferenza.
Per tracciare i punti mancanti alla costruzione dell'[[ottagono]] regolare inscritto nella stessa circonferenza occorre:
* con centro in G e apertura OA (raggio della circonferenza) tracciare l'arco che interseca la circonferenza nei punti L e K;
* con centri in K ed L e raggio LK tracciare gli archi che intersecano la circonferenza rispettivamente nei punti N ed M: saranno i punti AKHLDMJN i vertici dell'ottagono regolare cercato.
Per costruzione, il quadrilatero GKOL ha i quattro lati di lunghezza uguale al raggio della circonferenza; in più la diagonale GO è dimostrata avere lunghezza pari a <math>\sqrt{2}</math> volte il raggio, lunghezza che corrisponde alla diagonale del quadrato di lato pari al raggio. Il poligono GKOL è quindi un quadrato la cui diagonale GO è perpendicolare al diametro AD, e i lati OK e OL dividono in parti uguali i quadranti GÔA e GÔD. I punti L e K dividono a metà gli archi AH e HD, e sono quindi vertici dell'ottagono cercato.
I punti M ed N necessari a completare l'ottagono potrebbero essere tracciati in modo speculare a quanto descritto sopra, ma non è disponibile (a meno di costruirlo appositamente) un punto G' speculare a G rispetto al diametro AD. Si può comunque fare a meno di G' notando che il segmento LK, essendo lungo <math>\sqrt{2}</math> volte il raggio, è il lato del quadrato LKMN inscritto nella circonferenza. Puntando il compasso nei punti L e K, con apertura LK, si possono quindi determinare i punti M ed N mancanti.
===Divisione in 12 parti===
[[File:Mascheroni 24-gon.svg|thumb|Fig. 6: costruzione del Dodecagono e del 24-gono]]
La figura 6 mostra tutti i punti individuati dalle costruzioni precedenti:
* ABCDEF sono i vertici dell'esagono regolare inscritto nella circonferenza con centro in O e raggio OA;
* AKHLDMJN sono i vertici dell'ottagono regolare.
La dodicesima parte dell'angolo giro può essere ottenuta per differenza fra un angolo retto (un quarto di angolo giro) e l'angolo al centro che sottende un lato dell'esagono regolare (un sesto): infatti
:<math>\frac{1}{4}-\frac{1}{6}=\frac{1}{12}</math>
In figura 6 si può osservare come il quadrante DÔH sia composto dagli angoli DÔC (che sottende il lato dell'esagono regolare) più CÔH: quest'ultimo angolo quindi sottende un arco di lunghezza pari al dodicesimo della circonferenza.
Oltre ai punti già determinati ABCDEF, fanno parte del [[dodecagono]] regolare inscritto nella circonferenza anche H e (per ragionamento analogo) J. Mancano quindi da determinare i quattro punti P, Q, R ed S. Per tracciare Q si potrebbe puntare il compasso in C e, con apertura CH, tracciare l'arco HQ (sistema analogo andrebbe usato per la determinazione degli altri tre punti). Questa procedura comporta però due svantaggi:
* è necessario tracciare 4 archi distinti;
* il raggio degli archi ha apertura diversa a quella dei tre compassi ad apertura fissa si cui Mascheroni predilige l'impiego.
Per questi motivi, Mascheroni suggerisce di:
* tracciare un arco con centro in H e apertura HO (raggio della circonferenza) la cui intersezione con la circonferenza determinare i punti Q e P;
* tracciare un arco con centro in J e pari apertura per determinare i punti R ed S: saranno infine APBHCQDREJFS i vertici del dodecagono inscritto nella circonferenza. Con questi archi infatti si sottrae, da ciascun quadrante, un angolo pari a un sesto di angolo giro, determinando archi il cui angolo al centro è un dodicesimo dello stesso.
===Divisione in 24 parti===
La costruzione del [[24-gono]] presenta gli stessi problemi descritti per il dodecagono (vedi figura 6): si tratta di determinare i punti di intersezione fra la circonferenza e gli archi di colore magenta. È facile dimostrare che il vertice K dell'ottagono è equidistante dai vertici B e P del dodecagono, quindi K è vertice del 24-gono. Tracciando l'arco KT con centro in B e raggio BK si potrebbe determinare il punto T, vertice del 24-gono; e con procedura analoga ottenere i rimanenti 7 vertici mancanti (non indicati da lettere specifiche nel disegno).
Come per la costruzione del dodecagono, anche inquesto caso Mascheroni invita ad utilizzare il compasso di apertura pari al raggio della circonferenza, tracciando archi con centro nei punti K, L, M ed N, le cui intersezioni con la circonferenza determinano i vertici mancanti del 24-gono.
Prendiamo infatti in considerazione il punto T, determinato dall'intersezione fra la circonferenza e l'arco di uguale raggio centrato in L. L'angolo TÔH è dato dalla differenza fra gli angoli TÔL (che per costruzione è un sesto di angolo giro) e HÔL (un ottavo):
:<math>\frac{1}{6}-\frac{1}{8}=\frac{4-3}{24}=\frac{1}{24}</math>
===Divisione in 5 parti===
[[File:Mascheroni Pentagon.svg|thumb|Fig. 7: costruzione del Pentagono regolare]]
Prima di analizzare il metodo suggerito da Mascheroni per la costruzione del [[Pentagono#Pentagono_regolare|pentagono regolare]] inscritto in una circonferenza, è bene rivedere i metodi classici, dei quali il più noto è quello di [[Pentagono#Costruzione_secondo_Tolomeo|Tolomeo]]<ref>Il metodo di Euclide [[Pentagono#Costruzione_secondo_Euclide|è descritto qui]]</ref>. In figura 7 sono rappresentati, con linee di colore rosso, i passaggi principali del metodo di Tolomeo:
* sia data la circonferenza di centro O e raggio OA, in cui siano tracciati il diametro DA e il raggio ortogonale OH;
* con apertura pari al raggio OA della circonferenza,tracciare l'arco BOF centrato in A che interseca la circonferenza nei punti B ed F;
* l'intersezione del segmento BF con il raggio OA determina il punto S;
* con centro in S e raggio SH tracciare l'arco che interseca il diametro DA nel punto T;
* il lato del Pentagono ha lunghezza pari al segmento HT;
* con apertura HT, partendo da H, riportare in sequenza sulla circonferenza le distanze HV, VW, WX, XU: i punti HVWXU sono i vertici del pentagono regolare inscritto nella circonferenza.
La costruzione ora descritta richiede due intersezioni che interessano segmenti rettilinei (determinazione dei punti S e T), che Mascheroni non può ottenere non volendo utilizzare la riga. La sua costruzione, alternativa, è mostrata sempre in figura 7:
* siano già tracciati i punti A, B, D, F (vertici dell'esagono regolare inscritto alla circonferenza) e H (estremità del raggio ortogonale al diametro DA);
* con raggio pari ad AH (ovvero con il compasso di apertura <math>\sqrt{2}</math> volte il raggio della circonferenza), puntando in B ed F tracciare due archi che si intersecano nel punto T;
* il punto T trovato da Mascheroni è lo stesso determinato da Tolomeo, quindi il disegno del pentagono regolare prosegue allo stesso modo.
La dimostrazione che il punto T nelle due costruzioni è nella stessa posizione è la seguente:
* il punto S è mediano rispetto al raggio OA (esso viene espressamente determinato in Tolomeo, mentre viene omesso nella costruzione di Mascheroni in quanto non necessario);
* con semplici considerazione di simmetria si dimostra che, in Mascheroni, il punto T si trova sul diametro DA della circonferenza (in Tolomeo lo è per costruzione);
* rimane da dimostrare che la distanza fra i punti S e T è la stessa. In Tolomeo, il segmento ST = SH coincide con l'ipotenusa del triangolo rettangolo HOS, la cui lunghezza è (si consideri per semplicità una circonferenza di raggio unitario):
:<math>\overline{ST} = \overline{SH} = \sqrt{ \overline{HO}\,^2 + \overline{OS}\,^2 } = \sqrt{ 1^2 + \left( \frac{1}{2} \right)^2 } = \frac{\sqrt{5}}{2}</math>
* In Mascheroni invece il segmento ST è cateto del triangolo TBS rettangolo in S, la cui ipotenusa è lunga <math>\sqrt{2}</math> mentre l'altro cateto è l'altezza del triangolo equilatero OBA; quindi:
:<math>\overline{ST} = \sqrt{ \overline{BT}\,^2 - \overline{BS}\,^2 } = \sqrt{ \left( \sqrt{2} \right)^2 - \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 } = \frac{\sqrt{5}}{2}</math>
* è così dimostrata l'equivalenza fra i metodi di Tolomeo e di Mascheroni.
===Divisione in 10 parti===
Si faccia ancora riferimento alla figura 7, prendendo in esame il triangolo HOT. Esso è rettangolo in O, ed è formato dai seguenti lati:
* il cateto HO è il raggio della circonferenza, quindi è anche il lato dell'esagono regolare inscritto nella circonferenza stessa;
* l'ipotenusa HT è il lato del pentagono regolare inscritto nella circonferenza;
* Euclide<ref name=Euclide_13_10>Euclide, Elementi, Libro XIII, Proposizione 10: ''« Se si inscrive in un cerchio un pentagono equilatero, il quadrato del lato del pentagono è uguale alla somma dei quadrati dei lati dell'esagono e del decagono equilateri che siano inscritti nello stesso cerchio ».'' Questa proposizione non viene usata da Euclide per risolvere problemi di geometria piana, bensì nella costruzione dell'Icosaedro (Elementi, Libro XIII, Proposizione 16)</ref> dimostra che l'altro cateto TO di [[Poligono_regolare#Pentagono.2C_esagono_e_decagono|questo triangolo rettangolo]] è lungo quanto il lato del decagono regolare inscritto nella circonferenza.
Con raggio TO e puntando il compasso nei vertici del pentagono si potranno disegnare archi le cui intersezioni con la circonferenza definirannno i vertici del decagono regolare (per non appesantirla troppo, nella figura è mostrato solo l'arco YZ centrato in V: sono così visibili i primi quattro lati del decagono HY, YV, VZ e ZW).
''Nota: volendo costruire i compassi ad apertura fissa suggeriti da Mascheroni, quello di ampiezza pari a <math>\frac{\sqrt{5}-2}{2}</math> volte la lunghezza del raggio dovrà essere calibrato sulla distanza fra i punti O e T.''
===Divisione in 120 parti===
[[File:Mascheroni 120-gon.svg|thumb|Fig. 8: costruzione del 120-gono (abbozzo)]]
Mascheroni propone due modi diversi di dividere la circonferenza in 120 parti uguali. La prima, più ovvia, richiede di utilizzare la differenza fra gli angoli al centro che sottendono 5 lati consecutivi del 24-gono e il lato del pentagono. Infatti:
:<math>\frac{5}{24}-\frac{1}{5}=\frac{25-24}{120}=\frac{1}{120}</math>
Trovata la lunghezza dell'arco sotteso dalla centoventesima parte di circonferenza, è sufficiente riportare più volte tale distanza sulla circonferenza a partire dai vertici del 24-gono.
Mascheroni propone la seconda costruzione del 120-gono per dimostrare l'efficacia dei suoi metodi, e l'utilità dei compassi ad apertura fissa:
:''« Potrà chi voglia con soli quattro compassi [...] e con soli due punti presi fuori dalla circonferenza [...] dividere la circonferenza del cerchio in centoventi parti uguali. »''
Ricapitoliamo intanto (vedi figura 8) tutti i passaggi necessari alla costruzione del 24-gono regolare inscritto nella circonferenza:
* con il ''primo compasso'' (di apertura pari al raggio della circonferenza) si determinano i sei vertici dell'esagono regolare inscritto ABCDEF;
* puntando nei punti B e D il ''secondo compasso'' (di apertura <math>\sqrt{3}</math> volte il raggio, pari alla distanza fra i punti A e C) si tracciano due archi che si intersecano nel punto G;
* puntando il ''primo compasso'' nel punto G si traccia l'arco che interseca la circonferenza nei punti L e K (due vertici dell'ottagono regolare inscritto);
* puntando il ''terzo compasso'' (di apertura <math>\sqrt{2}</math> volte il raggio, pari alla distanza fra i punti O e G) nel punto A si traccia un arco che interseca la circonferenza nei punti H e J, che definiscono il diametro ortogonale a DA;
* con lo stesso compasso, puntato in K ed L, si determinano gli ultimi vertici M ed N dell'ottagono regolare AKHLDMJN;
* con il ''primo compasso'', puntato in H, J, K, L, M ed N si determinano tutti i vertici mancanti del 24-gono regolare (in figura sono indicati solo P, Q ed R).
Rimangono da trovare i vertici intermedi del 120-gono, ovvero quelli non coincidenti con quelli del 24-gono. Per farlo, Mascheroni definisce il ''quarto compasso'':
* puntando il compasso <math>\sqrt{2}</math> in B ed F, si tracciano due archi che si intersecano in T;
* il segmento TO, lato del decagono regolare inscritto nella circonferenza (di lunghezza <math>\frac{\sqrt{5}-1}{2}</math> volte il raggio) determina l'apertura del ''quarto compasso''.
Di seguito vengono determinati i vertici del 120-gono, intermedi all'arco AQ:
* con il ''quarto compasso'' puntato in R tracciare l'arco che interseca la circonferenza nel punto z; puntandolo poi in z determinare il punto u. Dato che l'angolo RÔA sottende 5 lati del 24-gono, la distanza angolare fra u e A è:
<math>\frac{5}{24}-\frac{2}{10}=\frac{25-24}{120}=\frac{1}{120}</math>
* con lo stesso compasso, ma puntando in P, tracciare l'arco che interseca la circonferenza determinando il punto v. L'angolo vÔA può essere calcolato come differenza fra l'angolo vÔP (che sottende un lato del decagono) e AÔP (che sottende due lati del 24-gono):
<math>\frac{1}{10}-\frac{2}{24}=\frac{12-10}{120}=\frac{2}{120}</math>
* puntare poi lo stesso compasso in K per determinare w. Dato che l'angolo KÔA sottende 3 lati del 24-gono, la distanza angolare fra w e A è:
<math>\frac{3}{24}-\frac{1}{10}=\frac{15-12}{120}=\frac{3}{120}</math>
* infine puntare il compasso in F per determinare y; poi in y per determinare x. L'angolo xÔA può essere calcolato come differenza fra l'angolo xÔF (che sottende due lati del decagono) e AÔF (che sottende 4 lati del 24-gono):
<math>\frac{2}{10}-\frac{2}{24}=\frac{24-20}{120}=\frac{4}{120}</math>
Per suddiviere tutti gli altri archi del 24-gono bisognerebbe in teoria procedere allo stesso modo - converrà piuttosto, con il solo uso del ''quarto compasso'', tracciare 12 decagoni a partire da altrettanti vertici consecutivi del 24-gono.
==Problemi di bisezione==
[[File:Mascheroni Bisections.svg|thumb|Fig. 9: Bisezione di un segmento e di un arco con riga e compasso]]
Nelle Geometria con riga e compasso, la bisezione di un segmento<ref name=Euclide_1_10>Euclide, Elementi, Libro I, Proposizione 10: ''« Dividere per metà una retta terminata data »''</ref> o di un arco<ref name=Euclide_3_30>Euclide, Elementi, Libro III, Proposizione 30: ''« Dividere per metà un arco dato »''</ref> delimitati dai punti A e B (vedi figura 9) si ottiene facilmente; è sufficiente:
* tracciare due archi di raggio AB con centri in A e B, che si incrociano nei punti C e D;
* unire i punti C e D con un segmento rettilineo;
* i punti E ed F, di incrocio fra il segmento CD e il segmento o l'arco dati, ne rappresentano le rispettive bisezioni.
Volendo evitare l'uso della riga per tracciare il segmento CD, Mascheroni propone i metodi che vengono descritti di seguito.
===Bisezione di un arco===
[[File:Mascheroni Arc Bisection.svg|thumb|Fig. 10: Bisezione di un arco]]
Per determinare il punto centrale dell'arco AB di centro in O (vedi figura 10), Mascheroni suggerisce di:
* tracciare i due archi OC e OD, centrati in A e B, di raggio AO = BO;
* con raggio AB tracciare l'arco centrato on O, che interseca i due archi già tracciati in C e D;
* con raggio AD = BC, e con centri in C e D, tracciare due archi che si intersecano nel punto G;
* con raggio OG, e con centro di nuovo nei punti C e D, tracciare due archi se si intersecano nel punto F: esso è il punto centrale cercato dell'arco AB.
Come in tutte le costruzioni precedenti di questa pagina, nella figura sono mostrati gli archi (in questo caso: quello da dividere, più i 7 necessari al procedimento di divisione) come linee continue, mentre i segmenti rettilinei sono tratteggiati. Questi ultimi non sono infatti necessari alla costruzione, ma facilitano la comprensione della dimostrazione:
* i triangoli CAO, AOB e OBD sono congruenti in quanto, per costruzione, hanno tutti i lati corrispondenti uguali: sono quindi uguali anche i loro angoli interni, in particolare CÔA = BÂO<ref name=Euclide_1_8 />;
* i segmenti CO e AB sono quindi paralleli<ref name=Euclide_1_27>Euclide, ELementi, Libro I, Proposizione 27: ''« Se una retta che venga a cadere su altre due rette forma angoli alterni uguali fra loro, le due rette saranno fra loro parallele »''</ref>;
* lo stesso ragionamento vale per il segmento OD, anch'esso parallelo ad AB;
* i segmenti CO e OD giacciono quindi su una stessa retta, parallela ad AB;
Con semplici considerazioni di simmetria si dimostra che i punti G ed F si trovano sul segmento GO (ortogonale sia ad AB che a CD), che divide in parti uguali l'arco AB. Rimane da dimostrare che il punto F si trova sull'arco AB, ovvero che la distanza OF è uguale ad OA (raggio dell'arco da dividere). Questo richiede una serie di passaggi:
* sia H la proiezione di A su CO; essendo il triangolo CAO isoscele, il segmento OH è metà di OC = OD;
* in un triangolo ottusangolo il quadrato costruito sul lato più lungo è pari alla somma dei quadrati costruiti sui lati che costituiscono l'angolo ottuso più due volte il rettangolo compreso fra uno di questi lati e la proiezione dell'altro sul prolungamento del primo<ref name=Euclide_2_12>Euclide, Elementi, Libro II, Proposizione 12: ''« Nei triangoli ottusangoli il quadrato del lato opposto all'angolo ottuso è maggiore, rispetto alla somma dei quadrati dei lati comprendenti l'angolo ottuso, del doppio del rettangolo compreso da uno dei lati che contengono l'angolo ottuso e della proiezione dell'altro su esso »''</ref>. Nel caso del triangolo AOD (l'angolo ottuso è in O) si ha:
:<math>\overline{AD}\,^2 = \overline{OA}\,^2 + \overline{OD}\,^2 + 2\cdot\overline{OD}\cdot\overline{OH} = \overline{OA}\,^2 + 2\cdot\overline{OD}\,^2</math>
* Il segmento DG = DA è l'ipotenusa del triangolo GOD, rettangolo in O; si può quindi applicare il Teorema di Pitagora per ricavare la lunghezza di OG:
:<math>\overline{OG}\,^2 = \overline{DG}\,^2 - \overline{OD}\,^2 = \overline{OA}\,^2 + 2\cdot\overline{OD}\,^2 - \overline{OD}\,^2 = \overline{OA}\,^2 + \overline{OD}</math>
* Il segmento DF = OG è ipotenusa del triangolo FOD rettangolo in O; si può nuovamente applicare il Teorema di Pitagora per ricavare la lunghezza di OF:
:<math>\overline{OF}\,^2 = \overline{DF}\,^2 - \overline{OD}\,^2 = \overline{OA}\,^2 + \overline{OD}\,^2 - \overline{OD}\,^2 = \overline{OA}\,^2</math>
Ricapitolando: il punto F è sul segmento GO che divide in due l'arco AB di centro O; in più si ha che OF = OA, quindi il punto F appartiene all'arco AB di centro O: F è quindi proprio il punto cercato, che divide l'arco AB in due parti uguali.
====Avvertenze====
Mascheroni raccomanda di lavorare sempre su archi di lunghezza appropriata:
* se l'arco da bisecare è troppo piccolo, è bene aggiungere alle sue estremità due archi dello stesso raggio, e di lunghezza uguale fra loro (ovvero, archi che abbiano corde della stessa lunghezza);
* se l'arco è troppo lungo, è bene decurtarlo di quantità eguali alle due estremità.
In entrambi i casi la bisezione dell'arco, ingrandito o accorciato che sia, dà luogo anche alla bisezione dell'arco originale.
===Bisezione di un segmento===
[[File:Mascheroni Line Bisection.svg|thumb|Fig. 11: Bisezione di un segmento]]
Il metodo suggerito da Mascheroni per determinare il punto mediano E del segmento OA (vedi figura 11) senza fare uso della riga è il seguente:
* tracciare l'arco FOG di raggio OA, centrato in A;
* tracciare l'arco ABCD di pari raggio, centrato in O: esso interseca l'arco precedente nel punto B;
* determinare il punto D, opposto ad A rispetto ad O, riportando due volte la distanza OA sull'arco ABCD, da B a C e da C a D;
* tracciare l'arco FAGH puntando il compasso in D con apertura DA (in realtà è sufficiente tracciare l'arco FAG - nel disegno l'arco è prolungato fino ad H per semplificare la comprensione della dimostrazione che segue);
* con centri in F e G, e apertura FA = GA, tracciare due archi che si intersecano nel punto E: questo è il punto cercato, mediano del segmento OA.
Si ammetta infatti di avere tracciato il punto H (non necessario nella costruzione già descritta) in modo che il segmento HA sia il diametro della circonferenza centrata in D, di raggio DA doppio rispetto ad OA: la distanza HA è quindi quadrupla di OA. Si ammetta anche di avere tracciato il punto L, proiezione di G sul segmento OA (neanche questo è necessario alla costruzione). Con questi elementi aggiunti alla costruzione di Mascheroni, si può verificare che:
* i triangoli HGA (rettangolo in G poiché è inscritto in una semicirconferenza<ref name=Euclide_3_20>Euclide, ELementi, Libro III, Proposizione 20: ''« In un cerchio, l'angolo al centro è doppio dell'angolo alla circonferenza quando essi abbiano lo stesso arco come base»''</ref>) e GLA (rettangolo in L per costruzione) sono simili<ref name=Euclide_6_4>Euclide, Elementi, Libri VI, Proposizione 4: ''« Nei triangoli aventi angoli rispettivamente uguali i lati che comprendono gli angoli uguali sono proporzionali »''</ref> in quanto, oltre appunto ad essere rettangoli, hanno in comune l'angolo in A;
* per costruzione, GA è uguale ad OA, e HA è quattro volte OA; quindi OA : HA = 1 : 4;
* la stessa proporzione 1 : 4 si presenta fra i segmenti LA e GA = OA, quindi LA è la quarta parte del segmento dato OA;
* i triangoli GLA e GLE sono congruenti e retti in L; quindi la distanza EA è doppia di LA;
* il punto E cade quindi sul segmento OA, ed è equidistante da O e da A.
==Operazioni su segmenti==
===Applicare una distanza data ad un segmento===
[[File:Mascheroni Distance.svg|thumb|Fig. 12: applicare distanze ad un segmento]]
Il metodo più semplice per riportare la distanza CD sul segmento AB (vedi figura 12) è:
* tracciare la circonferenza di raggio AR = CD puntando il compasso in A;
* l'intersezione di tale circonferenza con il segmento AB in E rappresenta il punto cercato.
Abbiamo già sottolineato, all'inizio di questa pagina, che per Euclide il trasporto delle distanze con il compasso non è ammesso (per svolgere il compito appena descritto infatti Euclide suggerisce il metodo mostrato alla figura 1). Per Mascheroni il trasporto delle distanze con il compasso è non solo ammesso, ma incoraggiato; tuttavia la sua ''Geometria del Compasso'' porta un problema diverso: a motivo dell'impossibilità di utilizzare la riga, del segmento AB sono noti gli solo estremi, non i punti intermedi. La circonferenza tracciata quindi non è di per sé sufficiente a definire il punto E, per cui bisogna completare il procedimento come segue:
* tracciare un arco GH con centro in B e raggio arbitrario (il raggio va scelto in modo da agevolare l'operazione che segue);
* dividere in due l'arco GEH con il metodo di bisezione descritto più sopra in questa stessa pagina: si determina così il punto E cercato.
È evidente infatti che il punto E è distante da A quanto lo è D da C; rimane da dimostrare che il punto E si trovi anche sul segmento AB:
* gli angoli GÂE e EÂH sono, per costruzione, uguali alla metà dell'angolo al centro GÂH che sottende l'arco GEH;
* i triangoli AGB e AHB sono congruenti, quindi sono uguali i loro angoli in A<ref name=Euclide_1_8 />;
* gli angoli GÂB e BÂH presi insieme formato lo stesso angolo al centro che sottende l'arco GEH;
* gli angoli GÂE e GÂB sono coincidenti, quindi il punto E si trova effettivamente sulla congiungente fra A e B.
====Accorciare un segmento di una distanza data====
Quando si debba togliere la lunghezza CD dal segmento AB dal lato dell'estremità A (il segmento differenza è EB, vedi figura 12) si usa lo stesso metodo appena descritto.
====Prolungare un segmento di una distanza data====
Dovendo aggiungere la lunghezza CD al segmento AB si potrebbe usare ancora lo stesso procedimento (vedi figura 12), bisecando però l'arco GFH invece del GEH. Questo arco è però poco adatto ad essere bisecato con il metodo di Mascheroni, quindi in questo caso conviene tracciare un diverso arco JK, sempre con centro in B, ma con raggio appropriato all'ottenimento di un arco JFK più adatto allo scopo.
===Proiezione di un punto su un segmento===
[[File:Mascheroni Project.svg|thumb|Fig. 13: proiettare un punto su un segmento]]
La costruzione di Euclide<ref name=Euclide_1_12>Euclide, Elementi, Libro I, Proposizione 12: ''« Ad una data retta illimitata, da un punto dato ad essa esterno, condurre una linea retta perpendicolare »''</ref> per proiettare il punto C sul segmento AB è la seguente (vedi figura 13):
* tracciare un arco con centro in C che tagli il segmento AB nei punti G ed H;
* determinare il punto M intermedio fra G ed H: la congiungente fra C ed M è perpendicolare ad AB.
Questo sistema non può essere adottato da Mascheroni, in quanto del segmento AB sono noti solo gli estremi. Egli suggerisce infatti di:
* tracciare l'arco CFD con centro in A e raggio AC;
* tracciare l'arco CED con centro in B e raggio BC, che interseca l'arco precedente nel punto D;
* dividere in due il segmento CD con metodo di bisezione descritto in precedenza.
Occorre dunque dimostrare che il punto M, determinato secondo il metodo di Mascheroni, si trova sul segmento AB, e che CM è perpendicolare ad AB:
* per costruzione, il punto M appartiene al segmento CD ed è equidistante dai suoi estremi: i segmenti CM e MD hanno quindi uguale lunghezza, e giacciono sulla stessa retta;
* i triangoli BCM e BDM sono congruenti: sono quindi uguali<ref name=Euclide_1_8 />, e quindi retti<ref name=Euclide_1_13 />, i loro angoli in M;
* analogo discorso vale per i triangoli ACM e ADM, rettangoli in M;
* essendo uguali gli angoli opposti AMC e CMB, il punto M appartiene al segmento AB<ref name=Euclide_1_14>Euclide, ELementi, Libro I, Proposizione 14: ''« Se per un punto di una retta, da parti opposte rispetto ad essa, si tracciano due altre rette, e queste formano con la prima angoli adiacenti la cui somma sia uguale a due retti, esse saranno per diritto fra loro »''</ref>.
===Determinare un segmento parallelo ad uno dato===
[[File:Mascheroni Parallel.svg|thumb|Fig. 14: tracciare un segmento parallelo]]
Dato un segmento AB ed un punto C esterno ad esso, per trovare un punto D tale che il segmento CD sia parallelo ad AB è sufficiente costruire il parallelogramma mostrato in figura 14:
* con centro in C e raggio AB, e con centro in B e raggio AC, tracciare due archi che si intersecano nel punto D;
* D è il punto cercato.
Infatti:
* i triangoli ABC e DCB sono congruenti, quindi hanno uguali<ref name=Euclide_1_8 /> gli angoli ABC e BCD;
* il segmento CD è quindi parallelo ad AB<ref name=Euclide_1_29>Euclide, ELementi, Libro I, Proposizione 29: ''« Una retta che cada su rette parallele forma angoli alterni uguali fra loro, l'angolo esterno uguale all'angolo interno ed opposto [...] »''</ref>
==Intersezioni==
La Geometria della Riga e del Compasso consente la determinazione dei punti secondo tre metodi:
# Intersezione fra una circonferenza e un'altra circonferenza;
# Intersezione fra una circonferenza e una retta;
# Intersezione fra due rette.
La Geometria del (solo) Compasso rende disponibile il solo primo caso fra quelli elencati: gli altri richiedono le costruzioni alternative, che vengono descritte di seguito.
===Intersezione fra una circonferenza e una retta passante per il suo centro e un altro punto dato===
[[File:Mascheroni Diameter.svg|thumb|Fig. 15: trovare il diametro di una circonferenza passante per un punto]]
Data una circonferenza di centro O e raggio OR (vedi figura 15) e un punto E non coincidente con il centro, per trovare i punti di intersezione fra la circonferenza e la retta passate per il centro e il punto dati occorre:
* con centro in E ed apertura appropriata tracciare l'arco GH;
* bisecando l'arco GAH si trova il primo punto cercato A;
* riportando tre volte il raggio della circonferenza sulla stessa (da A a B, da B a C e da C a D) si trova il secondo punto D cercato (il punto D potrebbe essere trovato bisecando l'arco GDH, ma la soluzione proposta è sicuramente più semplice).
Questa costruzione ripropone il metodo già descritto per applicare una distanza a un segmento (vedi figura 12): di fatto, per determinare il punto A è come se si applicasse la distanza OR (raggio della circonferenza) al segmento OE. Nota: il sistema sarebbe valido anche se il punto E fosse interno al cerchio (purché, come detto, non coincidente con il suo centro), dato che sarebbe sempre possibile tracciare un arco GH intersecante la circonferenza in due punti.
===Intersezione fra una circonferenza e una retta non passante per il centro===
[[File:Mascheroni Line Circle Intersect.svg|thumb|Fig. 16: trovare le intersezioni fra un segmento e una circonferenza]]
Nella geometria della riga e del compasso, per trovare i punti di intersezione fra la circonferenza centrata in O e di raggio OA e un segmento i cui estremi si trovino in B e C (vedi figura 16) sarebbe sufficiente unire i punti C e B con un segmento, prolungandolo fino ad F. Nella ''Geometria del Compasso'' di Mascheroni occorre invece:
* con centro in B e raggio BO, e con centro in C e raggio CO, tracciare due archi la cui intersezione determina il punto D;
* con centro in D e raggio DE = OA tracciare la circonferenza EFG;
* i punti F e G sono i punti cercati.
''Nota: se le due circonferenze non si intersecano fra loro significa che la retta BC non taglia la circonferenza originale; se si toccano in un solo punto, la retta BC ne è tangente.''
È evidente che i punti F e G appartengono alla circonferenza originale. Occorre dimostrare che essi appartengono anche alla retta BC:
* per costruzione, i triangoli CBO e BCD sono congruenti;
* rispetto alla base comune BC, le loro altezze OM e DM hanno la stessa lunghezza e si incontrano nello stesso punto. I punti O, M e D appartengono quindi ad un unica retta, ortogonale a BC;
* i triangoli MFO e MFD sono congruenti: sono allora uguali<ref name=Euclide_1_8 />, e quindi retti<ref name=Euclide_1_13 />, i loro angoli in M;
* essendo retti gli angoli OMF e OMC, i punti F, M e C appartengono alla stessa linea retta<ref name=Euclide_1_14 />;
* analogo ragionamento può essere fatto per il punto G e il triangolo ODC.
===Intersezione fra due rette===
[[File:Mascheroni Lines Intersect.svg|thumb|Fig. 17: trovare l'intersezione fra due segmenti]]
Dati due segmenti definiti dai punti A e B, C e D (vedi figura 17), la determinazione del punto H della loro intersezione con il solo uso del compasso richiede i seguenti passaggi:
* con centro in A e raggio AC, e con centro in B e raggio BC, tracciare due archi che si intersecano nel punto E;
* con centro in A e raggio AD, e con centro in B e raggio BD, tracciare due archi che si intersecano nel punto F;
* tracciare due archi con centro in E e raggio CD, e con centro in D e raggio CE, la cui intersezione definisce il punto G;
* per determinare il punto H occorre trovare il punto di intersezione fra due archi centrati in E ed F, con raggio EH = FH di lunghezza tale da rispettare la proporzione GF : FE = CE : EH (la ricerca di tale lunghezza è descritta nel prossimo paragrafo).
È semplice provare (quindi ometteremo i relativi dettagli) che:
* il segmento EF è simmetrico di CD rispetto al segmento AB;
* i segmenti CE e DF sono entrambi perpendicolari ad AB, quindi sono paralleli fra loro;
* il punto H cercato (intersezione fra AB e DC) è anche il punto di intersezione fra i segmenti CD ed EF.
Di conseguenza:
* avendo l'angolo H in comune, e le basi EC ed FD parallele, i triangoli EHC e FHD hanno gli angoli uguali, dunque sono simili<ref name=Euclide_6_4 />;
* essendo per costruzione i segmenti CE = DG, e CD = DG, il quadrilatero CEGD è un parallelogramma<ref name=Euclide_1_34>Euclide, Elementi, Libro I,
Proposizione 34: ''« I parallelogrammi hanno lati ed angoli opposti uguali fra loro [...] »''</ref>, i segmenti HD ed EG sono paralleli;
* tagliati i due segmenti suddetti dalla trasversale HF, gli angoli FEG e FHD sono uguali<ref name=Euclide_1_29 />;
* avendo gli angoli suddetti uguali, e l'angolo in F in comune, anche i triangoli FEG e FHD sono simili;
* essendo, per la proprietà transitiva, simili fra loro i triangoli FEG ed EHC, vale appunto la proporzione GF : FE = CE : EH
====Trovare la quarta proporzionale a tre distanze date====
[[File:Mascheroni Fourth Proportional.svg|thumb|Fig. 18: trovare la quarta proporzionale a tre distanze date]]
Dati 3 segmenti AB, CD ed EF (vedi figura 18), per trovare un quarto segmento RS tale che AB : CD = EF : RS (procedimento necessario al completamento della determinazione del punto di intersezione di due segmenti, vedi punto precedente) occorre:
* con un centro arbitrario, tracciare due circonferenze di raggio OP = AB e OR = CD;
* scelto un punto arbitrario P sulla prima circonferenza, puntare il compasso con apertura EF in modo da determinare il punto Q sulla stessa;
* con apertura arbitraria tracciare due archi puntando il compasso in P e Q, in modo da determinare i punti R ed S sulla seconda circonferenza;
* il segmento RS avrà la lunghezza cercata.
Infatti:
* per costruzione, i triangoli OPR e OQS sono congruenti; quindi i loro angoli in O sono uguali<ref name=Euclide_1_8 />;
* se a tali angoli in O si aggiunge l'angolo PÔS, si trovano due angoli RÔS e PÔQ, anch'essi uguali fra loro;
* i triangoli ROS e POQ, essendo entrambi isosceli e avendo uguale l'angolo compreso fra i loro lati uguali, sono simili<ref name=Euclide_6_6>Euclide, Elementi, Libri VI, Proposizione 6: ''« Se due triangoli hanno un angolo uguale ad un angolo, e proporzionali i lati comprendenti i due angoli uguali, i triangoli saranno fra loro equiangoli »''</ref>;
* è verificata quindi la proporzione OP : OR = PQ : RS
* sostituendo AB ad OP, CD ad OR, e EF ad PQ, si ottiene la proporzione cercata AB : CD = EF : RS
==Ricerca del centro di una circonferenza==
Per trovare il centro di una circonferenza, Euclide<ref name=Euclide_3_1>Euclide, Elementi, Libro III, Proposizione 1: ''« Trovare il centro di un cerchio dato »''</ref> suggerisce di:
* tracciare una corda qualsiasi;
* tracciare l'asse della corda;
* bisecare il segmento ottenuto dall'intersezione fra l'asse e la circonferenza.
Un metodo alternativo consiste nel tracciare due corde e trovare l'intersezione dei loro assi; se le corde hanno un punto in comune, il problema si riduce alla determinazione del centro del cerchio circoscritto a un triangolo <ref name=Euclide_4_5>Euclide, Elementi, Libro IV, Proposizione 5: ''« Circoscrivere un cerchio ad un triangolo dato »''</ref>:
* tracciare due corde;
* tracciarne gli assi;
* determinare il punto d'intersezione degli assi, che coincide con il centro cercato della circonferenza.
Questo metodo alternativo può essere trasformato in modo da utilizzare i metodi già visti di Mascheroni:
* individuare i punti che definiscono due corde;
* trovare due coppie di punti che definiscono gli assi delle corde;
* determinare il punto di intersezione fra i due assi.
In effetti questo sistema viene utilizzato da Mascheroni proprio per determinare il centro di un cerchio che passi per tre punti dati. La presenza del cerchio già disegnato consente però di conoscere il luogo di ''tutti'' i punti che appartengono alla sua circonferenza, quindi si possono adottare sistemi più semplici di quello appena descritto.
===Metodo di Mascheroni===
[[File:Mascheroni Center.svg|thumb|Fig. 19: trovare il centro di una circonferenza]]
Dato un cerchio ABM (vedi figura 19), il metodo proposto da Mascheroni per la determinarne il centro è il seguente:
* fatto centro in qualche punto A della circonferenza del cerchio dato, con un raggio arbitrario<ref>il raggio scelto deve essere minore del diametro del cerchio e maggiore del suo quarto</ref> AB, tracciare l'arco BCDE che interseca il cerchio dato nel punto M;
* riportare sullo stesso arco, per tre volte, la distanza AB da B a C, da C a D e da D a E: BAD è quindi il diametro dell'arco tracciato;
* con centri in E ed A, e con raggio EM, tracciare due archi che si intersecano in L;
* con centro in L e raggio LA = LE tracciare l'arco EAQ che interseca l'arco AME in Q;
* BQ è il raggio cercato della circonferenza: tracciare quindi due archi con tale raggio puntando il compasso in A e B per trovare O, che è il centro del cerchio dato.
Vista l'esistenza di un metodo più semplice per trovare il centro della circonferenza (vedi paragrafo successivo), qui riportiamo solo i punti essenziali della dimostrazione:
* i triangoli LEA e LAQ sono congruenti;
* i triangoli LAQ e ABQ sono simili;
* i triangoli MAE e AOB sono simili;
* i triangoli AOB e OAM sono congruenti;
* i segmenti OM e AO = AB (uguali fra loro per costruzione) sono tutti uguali, quindi O è il centro cercato della circonferenza<ref name=Euclide_3_9>Euclide, Elementi, Libro III, Proposizione 9: ''« Se si prende un punto internamente ad un cerchio, e dal punto possono condursi alla circonferenza più di due segmenti uguali, il punto preso è il centro del cerchio »''</ref>.
===Metodo alternativo===
[[File:Mascheroni Center Alternative.svg|thumb|Fig. 20: metodo alternativo per trovare il centro di una circonferenza]]
Esiste un metodo alternativo, un po' più semplice sia nella costruzione che nella dimostrazione, per trovare il centro della circonferenza<ref>Vedi ad es. in [[Piergiorgio Odifreddi]], «Riga o compasso?» ''[[Le Scienze]]'' n. 521 (gennaio 2012), p. 18</ref>.
Sia data (vedi figura 20) la circonferenza ACBD di cui si vuole trovare il centro. Bisogna:
* tracciare un primo arco FCDG con centro in A e raggio arbitrario, che tagli la circonferenza nei punti C e D;
* con centro nei punti C e D tracciare due archi di raggio CA = DA, che si intersecano nel punto E;
* con raggio EA e centro in E tracciare la circonferenza AFHG, che interseca il primo arco nei punti F e G;
* con centro nei punti F e G e raggio FA = GA tracciare due archi che si intersecano nel punto O: è questo il centro cercato.
Per seguire la dimostrazione occorre immaginare tracciati (anche se non necessari per la costruzione) i punti:
* K, proiezione di C sul segmento AB;
* J, proiezione di F sul segmento AO;
* H, secondo estremo del diametro della circonferenza centrata in E e di raggio EA.
Nella spiegazione che segue, ometteremo per brevità di dimostrare che i punti A, J, K, O, E, B ed H appartengono tutti al diametro suddetto):
* il triangolo ACB è inscritto in una semicirconferenza, quindi è rettangolo<ref name=Euclide_3_20 /> in C. Vale la proporzione<ref name=Euclide_6_8>Euclide, Elementi, Libro VI, Proposizione 8: ''« Se in un triangolo rettangolo si conduce la perpendicolare dell'angolo retto sulla base, la stessa perpendicolare divide il triangolo in due triangoli simili a tutto quanto il triangolo e fra loro »''</ref>:
:<math>\overline{AK} : \overline{AC} = \overline{AC} : \overline{AB}</math>
:da cui si ricava
:<math>\overline{AC}\,^2 = \overline{AK}\cdot\overline{AB}</math>
* anche il triangolo AFH è inscritto in un semicerchio, quindi è rettangolo in F. Applicando lo stesso metodo si ottiene:
:<math>\overline{AF}\,^2 = \overline{AJ}\cdot\overline{AH}</math>
* essendo AC ed AF uguali per costruzione, si possono eguagliare i membri destri delle due proporzioni:
:<math>\overline{AK}\cdot\overline{AB} = \overline{AJ}\cdot\overline{AH}</math>
* per costruzione, il punto K è medio fra A ed E; ed E è il centro della circonferenza con diametro AH: AH è quindi il doppio di AE e il quadruplo di AK
:<math>\overline{AK}\cdot\overline{AB} = 4\cdot\overline{AJ}\cdot\overline{AK}</math>
* dividendo entrambi i membri per AK si ottiene:
:<math>\overline{AB} = 4\cdot\overline{AJ}</math>
* dunque AB è il diametro della circonferenza di cui si cerca il centro, e AJ la sua quarta parte, ovvero metà del raggio. I due archi AO determinano il segmento AO, doppio di AK: ecco che AO è il raggio della circonferenza, e O il suo centro.
==Note==
<references/>
==Bibliografia==
* {{cita libro|Lorenzo|Mascheroni|La Geometria del Compasso|1901|Prem. Casa Ed. «Era Nova»|Palermo}}
* {{cita libro|Euclide||Gli Elementi|1996|UTET|Torino}}
== Voci correlate ==
* [[Lorenzo Mascheroni]]
* [[Geometria]]
* [[Geometria euclidea]]
* [[Riga (strumento)|Riga]]
* [[Compasso (strumento)|Compasso]]
* [[Cerchio]]
* [[Circonferenza]]
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