Operatore di Laplace e Písek (Hradec Králové): differenze tra le pagine

Versione delle 16:09, 6 mar 2018

Versione delle 07:49, 3 lug 2019

Riga 1:

{{Divisione amministrativa

In [[matematica]] e [[fisica]], in particolare nel [[calcolo differenziale]] [[calcolo vettoriale|vettoriale]], l<nowiki>'</nowiki>'''operatore di Laplace''' o '''laplaciano''', o, più volgarmente, ''laplacia'', il cui nome è dovuto a [[Pierre Simon Laplace]], è un [[operatore differenziale]] del secondo ordine definito come la [[divergenza]] del [[gradiente]] di una [[funzione (matematica)|funzione]] in uno [[spazio euclideo]].

|Nome = Písek

|Nome ufficiale =

|Panorama = Písek čp. 28.JPG

|Didascalia =

|Bandiera =

|Voce bandiera =

|Stemma = Písek (okres Hradec Králové) znak.jpg

|Voce stemma =

|Stato = CZE

|Note stato =

|Grado amministrativo = 3

|Tipo = Comune

|Divisione amm grado 1 = Hradec Králové

|Voce divisione amm grado 1 =

|Stemma divisione amm grado 1 =

|Divisione amm grado 2 = Hradec Králové

|Voce divisione amm grado 2 = Distretto di Hradec Králové

|Stemma divisione amm grado 2 =

|Capoluogo =

|Amministratore locale = Miroslav Kučera

|Partito =

|Data elezione =

|Lingue ufficiali =

|Data istituzione =

|Data soppressione =

|Latitudine decimale =

|Longitudine decimale =

|Latitudine gradi = 50

|Latitudine minuti = 9

|Latitudine secondi = 16

|Latitudine NS = N

|Longitudine gradi = 15

|Longitudine minuti = 30

|Longitudine secondi = 8

|Longitudine EW = E

|Altitudine =

|Superficie = 4.35

|Note superficie = {{cita web|url=http://www.czso.cz/csu/2011edicniplan.nsf/engt/6000393326/$File/521011112513.xls|lingua={{lingue|cs|en}}|formato=xls|titolo=Dati forniti dall'Istituto Statistico Ceco|accesso=17 luglio 2012}}

|Abitanti = 234

|Note abitanti = {{cita web|url=http://www.czso.cz/csu/2011edicniplan.nsf/engt/760029E11D/$File/13011103.pdf|lingua={{lingue|cs|en}}|formato=pdf|titolo=Dati forniti dall'Istituto Statistico Ceco|accesso=17 luglio 2012}}

|Aggiornamento abitanti = 1º gennaio 2013

|Sottodivisioni =

|Sottosottodivisioni =

|Divisioni confinanti =

|Lingue =

|Prefisso =

|Codice ISO =

|Codice catastale =

|Zona sismica =

|Gradi giorno =

|Diffusività =

|Nome abitanti =

|Patrono =

|Festivo =

|PIL =

|PIL procapite =

|PIL PPA =

|PIL procapite PPA =

|Immagine localizzazione =

|Mappa =

|Didascalia mappa =

|Sito =

|Incipit =

|Categoria =

}}

'''Písek''' è un [[Comuni della Repubblica Ceca|comune]] della [[Repubblica Ceca]] facente parte del [[distretto di Hradec Králové]], nella [[regioni della Repubblica Ceca|regione]] [[regione di Hradec Králové|omonima]].

==Note==

Si tratta di un [[Equazione differenziale alle derivate parziali ellittica|operatore ellittico]], che in [[coordinate cartesiane]] è definito come la [[addizione|somma]] delle [[derivata parziale|derivate parziali]] seconde non miste rispetto alle coordinate. L'operatore di Laplace può operare da due fino ad ''n'' dimensioni e può essere applicato sia a campi scalari, sia a campi vettoriali. Le funzioni [[classe C di una funzione|di classe]] <math>C^2</math> che annullano il laplaciano, ovvero che soddisfano l'[[equazione di Laplace]], sono le [[funzione armonica|funzioni armoniche]].

<references/>

==Altri progetti==

L'operatore di Laplace viene generalizzato a spazi non euclidei, dove si presenta anche nella forma, ad esempio, di [[Equazione differenziale alle derivate parziali ellittica|operatore ellittico]], [[Equazione differenziale alle derivate parziali iperbolica|iperbolico]]. In particolare, nello [[spaziotempo di Minkowski]] l'operatore di Laplace-Beltrami diventa l'[[operatore di d'Alembert]].

{{interprogetto}}

== Collegamenti esterni ==

Il laplaciano viene impiegato, ad esempio, per [[modello matematico|modellare]] la [[equazione delle onde|propagazione ondosa]] ed [[equazione del calore|il flusso del calore]], comparendo nell'[[equazione di Helmholtz]]. Riveste un ruolo centrale anche in [[elettrostatica]], dove è utilizzato nell'[[equazione di Laplace]] e nell'[[equazione di Poisson]]. In [[meccanica quantistica]] rappresenta l'osservabile energia cinetica ed è presente nell'[[equazione di Schrödinger]]. In [[idraulica]] viene utilizzato per ricavare l'espressione della [[cadente piezometrica]] in funzione delle caratteristiche di una corrente intubata nel regime laminare. Infine, l'operatore di Laplace si trova al centro della [[teoria di Hodge]] e dei risultati della [[coomologia di De Rham]].

* {{Collegamenti esterni}}

{{Comuni del distretto di Hradec Králové}}

== Definizione ==

Il modo più significativo per denotare l'operatore di Laplace si avvale dell'operatore differenziale vettoriale [[nabla]] elevato al quadrato. Data una funzione <math>f</math> in uno [[spazio euclideo]], l'operatore di Laplace applicato a <math>f</math> è la [[divergenza]] <math>\nabla\cdot</math> del [[gradiente]] <math>\nabla f</math> di <math>f</math>:

:<math>\nabla^2 f(\mathbf{x}) = \nabla\!\cdot\!\nabla f(\mathbf{x})</math>

Si utilizzano anche le notazioni:

:<math>\nabla^2 f = \Delta f = \nabla\!\cdot\!\nabla f </math>

dove l'ultima deriva dallo scrivere:

:<math>\nabla = \left ( \frac{\partial}{\partial x_1} , \dots , \frac{\partial}{\partial x_n} \right )</math>

L'operatore di Laplace in [[coordinate cartesiane]], in uno spazio di dimensione ''n'', è dato da:

:<math>\nabla^2 = {\partial^2 \over \partial x^2_1 } + \dots + {\partial^2 \over \partial x^2_n } = \sum_{i=1}^n \frac {\partial^2}{\partial x^2_i}</math>

== Generalizzazioni ==

=== Operatore di Laplace-Beltrami ===

{{vedi anche|Operatore di Laplace-Beltrami}}

Il laplaciano può essere generalizzato ad un operatore ellittico definito su una [[varietà riemanniana]] e chiamato operatore di Laplace–Beltrami, mentre l'[[operatore di d'Alembert]] si generalizza ad un [[Equazione differenziale alle derivate parziali iperbolica|operatore iperbolico]] definito su una [[varietà pseudo-riemanniana]]. L'operatore di Laplace–Beltrami applicato ad una funzione è la traccia della relativa [[matrice hessiana]]:

:<math>\Delta f = \mathrm{tr}(H(f))</math>

dove la traccia è calcolata rispetto all'inversa del [[tensore metrico]]. Questo operatore può essere anche generalizzato al caso di [[tensore|campi tensoriali]] con una formula simile.

Un'altra possibile generalizzazione dell'operatore di Laplace su varietà pseudo-riemanniane fa uso della [[derivata esterna]], attraverso la quale il laplaciano assume la forma:

:<math> \Delta f = d^* d f</math>

dove <math>d^*</math> è il [[duale di Hodge|codifferenziale]]. Si nota che rispetto alla definizione data in precedenza c'è la differenza di segno.

In generale, il laplaciano è esteso alle [[forma differenziale|forme differenziali]] <math>\alpha</math> per mezzo dell'''operatore di Laplace–de Rham'':

:<math>\Delta \alpha = d^* d\alpha + dd^*\alpha</math>

che si relaziona all'operatore di Laplace–Beltrami attraverso l'[[identità di Weitzenböck]].

===D'Alembertiano===

{{vedi anche|Operatore di d'Alembert}}

L'operatore di Laplace può essere generalizzato in alcuni modi a spazi non euclidei, dove può essere un [[Equazione differenziale alle derivate parziali ellittica|operatore ellittico]], [[Equazione differenziale alle derivate parziali iperbolica|iperbolico]] o [[Equazione differenziale alle derivate parziali ultraiperbolica|ultraiperbolico]]. Nello [[spaziotempo di Minkowski]] l'operatore di Laplace–Beltrami diventa l'operatore di d'Alembert:

:<math>\square

=

\frac {1}{c^2}{\partial^2 \over \partial t^2 }

-

{\partial^2 \over \partial x^2 }

-

{\partial^2 \over \partial y^2 }

-

{\partial^2 \over \partial z^2 }

</math>

==Altri sistemi di coordinate==

In [[coordinate polari]] il laplaciano di <math>f</math> è:

:<math> \nabla^2 f = {1 \over r} {\partial \over \partial r}

\left( r {\partial f \over \partial r} \right)

+ {1 \over r^2} {\partial^2 f \over \partial \theta^2} = {1 \over r} {\partial f \over \partial r}

+ {\partial^2 f \over \partial r^2}

+ {1 \over r^2} {\partial^2 f \over \partial \theta^2}

</math>

Un'altra forma del laplaciano in coordinate sferiche è:

:<math>\nabla^2 = {1 \over r^2} {\partial \over \partial r} \left( r^2 {\partial \over \partial r} \right) + {1 \over r^2} \left( \wedge^2 \right)</math>

Dove <math>\wedge^2</math> è chiamato ''legendriano'' (da [[Adrien-Marie Legendre]]), ed è la parte angolare del Laplaciano. Questa forma viene utilizzata nella [[meccanica quantistica]] per il calcolo dell'hamiltoniano nel caso della rotazione in tre dimensioni di una particella, ed è definita come:

:<math> \wedge^2 = {1 \over \mathrm{sin}^2 \theta} {\partial^2 \over \partial \phi^2} + {1 \over \mathrm{sin} \theta} {\partial \over \partial \theta} \left( \mathrm{sin} \theta {\partial \over \partial \theta} \right) </math>

Questa rappresentazione è particolarmente importante perché consente l'applicazione del metodo della [[separazione delle variabili]] nell'[[equazione differenziale alle derivate parziali]] che si deve calcolare per risolvere l'[[equazione di Schrödinger]], per il caso appunto di una particella che si muove sulla superficie di una [[sfera]].

===3 dimensioni===

In tre dimensioni e nelle coordinate cartesiane è:

:<math>\nabla^2 f =

{\partial^2 f \over \partial x^2 } +

{\partial^2 f \over \partial y^2 } +

{\partial^2 f \over \partial z^2 }

</math>

mentre in [[coordinate cilindriche]]:

:<math> \nabla^2 f = {1 \over r} {\partial \over \partial r} \left( r {\partial f \over \partial r} \right)

+ {1 \over r^2} {\partial^2 f \over \partial \theta^2} + {\partial^2 f \over \partial z^2 } </math>

e nelle [[coordinate sferiche]] assume la forma:

:<math> \nabla^2 f = {1 \over r^2} {\partial \over \partial r} \left( r^2 {\partial f \over \partial r} \right) + {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta} \left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right)

+ {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \phi^2} =</math>

:<math> = {1 \over r} {\partial^2 \over \partial r^2} \left( rf \right) + {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta} \left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) + {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \phi^2} </math>

In [[coordinate curvilinee]] <math>( \xi^1, \xi^2, \xi^3 )</math>, si ha:

:<math>\nabla^2 = \nabla \xi^m \cdot \nabla \xi^n {\partial^2 \over \partial \xi^m \partial \xi^n} + \nabla^2 \xi^m {\partial \over \partial \xi^m } </math>

dove si utilizza la [[notazione di Einstein]].

===''n'' dimensioni===

In un generico numero ''n'' (finito) di dimensioni, qualora lo spazio abbia metrica definita positiva, cioè sia euclideo, vale la seguente espressione cartesiana:

:<math>\nabla^2 = \sum_{i=1}^n {\partial^2 \over \partial {x_i}^2 }</math>

È anche possibile applicare l'operatore a un campo vettoriale <math>\mathbf f(\mathbf{x})= \mathbf{u}_{x} f_{x} + \mathbf{u}_{y} f_{y} + \mathbf{u}_{z} f_{z}</math>: in tal caso è sufficiente applicarlo separatamente alle tre componenti scalari cartesiane, e i tre scalari ottenuti rappresentano le componenti cartesiane del vettore risultante. Si ottiene quindi:

:<math> \nabla^2 \mathbf f=\mathbf{u}_{x}\nabla^2 f_{x} + \mathbf{u}_{y}\nabla^2 f_{y} + \mathbf{u}_{z}\nabla^2 f_{z} </math>

In coordinate sferiche, con la parametrizzazione <math>x=r\theta \in \R^n</math>, in cui <math>r</math> è il raggio e <math>\theta</math> un elemento della [[sfera unitaria]] <math>S^{n-1}</math>, si ha:

:<math> \Delta f

= \frac{\partial^2 f}{\partial r^2}

+ \frac{n-1}{r} \frac{\partial f}{\partial r}

+ \frac{1}{r^2} \Delta_{S^{n-1}} f

</math>

dove <math>\Delta_{S^{n-1}}</math> è l'[[operatore di Laplace-Beltrami]] sulla (''n''−1)-sfera, noto anche come ''laplaciano sferico''. I termini radiali possono essere anche scritti come:

:<math>\frac{1}{r^{n-1}} \frac{\partial}{\partial r} \Bigl(r^{n-1} \frac{\partial f}{\partial r} \Bigr)</math>

Come conseguenza, il laplaciano sferico di una funzione definita su <math>S^{n-1} \subset \R^n</math> può essere calcolato come l'usuale laplaciano della funzione estesa a <math>\R^n</math>.

== Proprietà di base ==

Il laplaciano è un operatore lineare:

:<math> \nabla^2 (a\cdot f + b\cdot g) \,=\, a\cdot \nabla^2 f + b\cdot \nabla^2 g </math>

Direttamente dalla [[regola di Leibniz|regola di derivazione del prodotto]] si ricava l'espressione:

:<math> \nabla^2 (f\cdot g)=(\nabla^2 f)\cdot g+2(\nabla f)\cdot(\nabla g)+f\cdot (\nabla^2 g) </math>

Se si cerca di approssimare l'applicazione dell'operatore di Laplace a una funzione <math>f(\mathbf{x})</math> utilizzando i metodi numerici, vanno notate alcune interessanti proprietà. Ricordando la definizione di derivata di una funzione di una variabile:

:<math> \frac{\partial f}{\partial x } = \lim_{\varepsilon \rightarrow 0} \frac{f(x+\varepsilon)-f(x)}{\varepsilon} </math>

e applicandola poi sulle diverse dimensioni dello spazio ambiente in modo da ottenere la somma delle derivate seconde lungo le diverse coordinate, si ottiene che il valore del laplaciano è simile al valore della media della funzione di campo in quel punto. In sostanza, il laplaciano mostra come varia localmente la funzione nello spazio. Se si scrive:

:<math> \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \lim_{\varepsilon \rightarrow 0} \frac{\frac{f(x+\varepsilon)-f(x)}{\varepsilon} - \frac{f(x)-f(x-\varepsilon)}{\varepsilon}} {\varepsilon} </math>

quindi si può scrivere:

:<math> \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \lim_{\varepsilon \rightarrow 0} \frac{f(x+\varepsilon)-2f(x)+f(x-\varepsilon)}{\varepsilon^2}

</math>

Questa proprietà diventa molto interessante nel caso del campo elettrostatico dato che l'operatore di Laplace del potenziale elettrico di un punto nello spazio è la divergenza dell'opposto del campo elettrostatico (ricordando che il laplaciano di un campo scalare è la [[divergenza]] del [[gradiente]] di tale campo):

:<math>\nabla \cdot (\nabla \phi) = \nabla \cdot (-E) </math>

poiché il campo elettrostatico è definito come l'opposto del gradiente del potenziale elettrico. Quindi il laplaciano segnala la variazione della densità di carica nello spazio.

L'operatore di Laplace risulta molto utile anche nel caso di risoluzioni numeriche di equazioni tramite il [[metodo delle differenze finite]]. Il laplaciano in un punto della griglia sarà nullo solamente se il valore scalare del punto sarà uguale ai valori scalari dei punti vicini. Questo viene utilizzato nei metodi del rilassamento per risolvere un'[[equazione differenziale alle derivate parziali]] come [[equazione di Poisson|quella di Poisson]] o [[equazione di Helmholtz|quella di Helmholtz]] o l'[[equazione della diffusione]].

==Bibliografia==

* {{en}} W.V.D. Hodge, ''The theory and application of harmonic integrals'' , Cambridge University Press (1952)

* {{en}} Arfken, G. ''Mathematical Methods for Physicists'', 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, 1985.

* {{en}} Krantz, S. G. ''Handbook of Complex Variables''. Boston, MA: Birkhäuser, p. 16, 1999.

== Voci correlate ==

*[[Divergenza]]

*[[Equazione di Laplace]]

*[[Equazione differenziale alle derivate parziali ellittica]]

*[[Funzione armonica]]

*[[Gradiente]]

*[[Operatore di d'Alembert]]

*[[Operatore biarmonico]]

*[[Operatore di Laplace-Beltrami]]

== Collegamenti esterni ==

*{{MathWorld|Laplacian|Laplacian}}

*{{springerEOM|titolo=Laplace operator|autore= M.A. Shubin}}

{{Portale|Repubblica Ceca}}

{{Controllo di autorità}}

{{Portale|matematica}}

[[Categoria:OperatoriComuni differenzialidel distretto di Hradec Králové|Pisek]]

[[Categoria:Operatori lineari]]