Discussioni progetto:Sport/Pallavolo e E=mc²: differenze tra le pagine
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[[File:Relativity4 Walk of Ideas Berlin.JPG|thumb|Sesta e ultima scultura della "Berliner Walk of Ideas", realizzata in occasione del [[Campionato mondiale di calcio 2006]] ([[Lustgarten]], di fronte al [[Altes Museum]], a [[Berlino]])]]
'''''E = mc<sup>2</sup>''''' è l'[[equazione]] che stabilisce la relazione tra l'[[energia]] e la [[massa (fisica)|massa]] di un [[sistema fisico]]. ''E'' indica l'[[Energia totale relativistica|energia relativistica totale]] di un corpo, ''m'' la sua [[massa relativistica]] e ''c'' la costante [[velocità della luce]] nel vuoto.
Fu enunciata, in una forma diversa (vedi Sezione [[E=mc²#L'articolo di Einstein del 1905 sull'equivalenza massa-energia|L'articolo di Einstein del 1905 sull'equivalenza massa-energia]]), da [[Albert Einstein]] nell'ambito della [[relatività ristretta]], benché non compaia nel primo articolo "[[Sull'elettrodinamica dei corpi in movimento]]" del giugno 1905, ma in un secondo del settembre intitolato "L'inerzia di un corpo dipende dal suo contenuto di energia?".<ref name="einstein">{{cita pubblicazione|cognome= Einstein |nome= A. |titolo= Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energieinhalt abhängig? |titolotradotto= L'inerzia di un corpo dipende dal suo contenuto di energia? |rivista= Annalen der Physik |volume= 18 |anno= 1905 |pp= 639-641}} Traduzione italiana in {{cita libro | nome= A. | cognome= Einstein | titolo= Opere scelte | curatore = E. Bellone | anno= 1988 | editore= Bollati Boringhieri | città= Torino |pp = 178-180}}</ref>
L'elemento rivoluzionario della formula risiede nel fatto che la massa, fino a quel momento ritenuta una [[grandezza fisica]] indipendente, è messa in relazione con l'energia tramite la costante velocità della luce nel vuoto al quadrato, stabilendo l<nowiki>'</nowiki>''equivalenza massa-energia'' e, di conseguenza, il ''principio di conservazione massa-energia''. È probabilmente la più famosa formula della fisica, grazie all'intreccio di novità, semplicità ed eleganza.
== Significato dell'equazione ==
Fino allo sviluppo della relatività ristretta, si riteneva che [[massa (fisica)|massa]] ed [[energia]] fossero due [[Grandezza fisica|grandezze fisiche]] distinte. L'equivalenza fra massa ed energia della [[relatività ristretta]] sancisce invece che queste due grandezze sono strettamente legate da una costante universale, il quadrato della [[velocità della luce]] nel vuoto (c²). La conseguenza di questa semplice formula è che qualsiasi corpo materiale o [[particella (fisica)|particella]] massiva, anche a riposo, possiede un'[[energia]] proporzionale alla sua massa. È quindi possibile formulare una equivalenza fra queste grandezze fisiche nel senso che massa ed energia possono essere considerate come due proprietà indistinguibili.
La formula E=mc<sup>2</sup> può essere interpretata in due modi, entrambi corretti, a seconda del significato che si dà ai termini di massa ed energia. La prima possibilità, esplorata nell'articolo di Einstein del 1905 "L'inerzia di un corpo dipende dal suo contenuto di energia?",<ref name="einstein"/> si basa sul concetto di [[massa relativistica]] <math>m</math>, dal quale si ricava che l'energia totale di un corpo è <math>m c^2</math>. La seconda possibilità è quella di interpretare l'equazione in termini della [[massa a riposo]] <math>m_0</math>, cioè la massa dell'oggetto nel sistema di riferimento in cui è in quiete: quindi <math>m_0 c^2</math> esprime l'[[energia a riposo]] <math>E_0</math> di un corpo.
La massa relativistica <math>m</math> è legata alla massa a riposo tramite il [[fattore di Lorentz]] <math>\gamma</math>:
{| class="wikitable floatright"
! Massa relativistica
|align="center"|<math>m</math>
|-
! Massa a riposo
|align="center"|<math>m_0</math>
|-
! Energia totale
|align="center"|<math>E = m c^2 = \gamma \, m_0 c^2</math>
|-
! Energia a riposo
|align="center"|<math>E_0 = m_0 c^2</math>
|}
::<math>m = \gamma \, m_0 = \frac{1}{\sqrt{1-(v/c)^2}} \; m_0</math>
e appare nella versione relativistica del [[secondo principio della dinamica]]
::<math>\vec{F} = \frac{d}{dt} (\gamma m_0 \vec{v}) = \frac{d}{dt} (m \vec{v}) </math>.
Poiché la massa relativistica dipende dalla velocità, il concetto classico di [[inerzia]] risulta modificato, non coincidendo più con la definizione newtoniana di [[costante di proporzionalità]] fra la [[forza]] applicata a un corpo e l'[[accelerazione]] risultante, ma divenendo una grandezza dinamica proporzionale all'energia globale del corpo.
La conservazione dell'[[energia meccanica]] comprende ora, oltre all'[[energia cinetica]] e all'[[energia potenziale]], anche un contributo proporzionale alla massa quale ulteriore forma di energia. L'[[energia totale relativistica]] del corpo, data da ''E = mc²'', comprende sia l'[[energia cinetica]] K'' ''sia quella relativa alla massa a riposo,
''E<sub>0</sub> = m<sub>0</sub>c²''.
Nella [[fisica classica]] non relativistica esistono due leggi (o princìpi) di conservazione ben distinte e separate: la [[legge della conservazione della massa (fisica)|legge di conservazione della massa]], scoperta da [[Lavoisier]] (''«In natura nulla si crea e nulla si distrugge, ma tutto si trasforma»'') e la [[legge di conservazione dell'energia]], o [[primo principio della termodinamica]], alla cui scoperta hanno contribuito, nel corso dell'Ottocento, diversi scienziati ([[Julius Robert von Mayer|Mayer]], [[James Prescott Joule|Joule]], [[Nicolas Léonard Sadi Carnot|Carnot]], [[Joseph John Thomson|Thomson]], [[Rudolf Clausius|Clausius]], [[Michael Faraday |Faraday]]).
[[Einstein]] ha unificato le due leggi in un unico [[principio di conservazione]], che coinvolge unitariamente tutti i processi fisici di trasformazione della massa in energia e viceversa, dato che l'una può trasformarsi nell'altra secondo la relazione ''E = mc²''. Ciò che resta sempre costante, nei singoli sistemi fisici come nell'intero universo, è la somma di massa ed energia: il
''principio di conservazione [[massa (fisica)|massa]]-[[energia]]''. La concezione einsteiniana getta una luce unificante sulla realtà fisica: con l<nowiki>'</nowiki>''equivalenza [[massa (fisica)|massa]]-[[energia]]'', la massa diventa una forma di energia. In determinati processi, la massa può essere trasformata in altre forme d'energia ([[Annichilazione|annichilazioni]] [[particella (fisica)|particella]]-[[antiparticella]], [[reazioni nucleari]], [[Radioattività|decadimenti radioattivi]], ecc.), così come l'energia può trasformarsi in massa, come si verifica negli [[Acceleratore di particelle|acceleratori di particelle]] e nella [[produzione di coppia]] <math>(\gamma + \gamma \to e^+ + e^-)</math>.
L'equazione di Einstein è stata verificata sia per fenomeni fisici macroscopici, come ad esempio la produzione d'[[energia solare]], sia a livello subatomico.
Si hanno sei classi di fenomeni subatomici in cui si verifica l'equivalenza massa-energia:
# [[Produzione di coppia]] <math>(\gamma + \gamma \to e^+ + e^-)</math>
# [[Annichilazione|Annichilazioni]] [[particella (fisica)|particella]]-[[antiparticella]] <math>(e^+ + e^- \to \gamma + \gamma \; ; \quad q + \bar{q} \to \gamma + \gamma)</math>
# [[Reazioni nucleari]], genericamente <math>A + B \to C + D</math>
# [[Trasmutazione|Trasmutazioni]] o [[Radioattività|decadimenti radioattivi]] <math>(A \to C + D)</math>
# [[Fissione nucleare]] (divisione di un nucleo in due o più nuclei)
# [[Fusione nucleare]] (unione di due nuclei in uno)
Nella produzione di coppia si può avere una totale conversione d'energia in materia. La completa conversione di massa in energia si verifica invece soltanto nell'annichilazione <math>e^+ + e^- \to \gamma + \gamma</math>. In generale, nel caso di annichilazione particella-antiparticella, solo una coppia [[Quark (particella)|quark]]-[[antiquark]] si annichila <math>(q + \bar{q} \to \gamma + \gamma)</math>, mentre i restanti quark formano nuove particelle ([[Mesone|mesoni]]). Quando un [[protone]] collide con un [[antiprotone]] (e in generale quando qualsiasi [[barione]] collide con un antibarione), la reazione non è semplice come l'annichilazione elettrone-positrone. A differenza dell'elettrone, il protone non è una particella elementare: è composto da tre [[Quark (particella)|quark]] di valenza e da un numero indeterminato di quark ''del mare'', legati dai [[Gluone|gluoni]]. Nella collisione tra un protone e un antiprotone, uno dei quark di valenza <math>q</math> del protone può annichilirsi con un [[antiquark]] <math>\bar{q}</math> dell'antiprotone, mentre i quark e antiquark restanti si risistemeranno in [[Mesone|mesoni]] (principalmente [[Pione|pioni]] e [[Kaone|kaoni]]) che si allontaneranno dal punto in cui è avvenuta l'annichilazione. I mesoni creati sono particelle instabili che decadranno.
Salvo il caso <math>e^+ + e^- \to \gamma + \gamma</math>, la conversione della massa in energia non è mai completa e l'energia prodotta risulta dal calcolo della ''difetto di massa''. Nelle reazioni che producono energia (esoenergetiche), le masse dei [[reagenti]] devono quindi essere maggiori delle masse dei [[prodotto (chimica)|prodotti]]. Usando l'esempio delle reazioni nucleari, che implicano solitamente 2 reagenti (''A'' e ''B'') e 2 prodotti (''C'' e ''D''), il bilancio di massa determina quale sia il ''difetto massa'' Δ''m'':
::<math>\Delta m = (m_A + m_B) - (m_C + m_D) > 0</math>
L'energia liberata nel singolo processo nucleare sotto forma d'[[energia cinetica]], [[radiazione elettromagnetica]], [[calore]] o altra forma d'energia risulta essere
::<math>\Delta E = \Delta m \, c^2</math>.
==Conseguenze==
Misurando la massa di diversi [[Nucleo atomico|nuclei atomici]] si può ottenere una stima dell'[[energia di legame]] disponibile all'interno di un nucleo atomico. È quindi possibile stimare la quantità d'energia di legame che può essere rilasciata in un processo nucleare. Si consideri il seguente esempio: un nucleo di [[uranio]]-238 può decadere naturalmente formando un nucleo di torio-234 e uno di elio-4 ([[particella alfa]]). Sommando la [[massa a riposo]] dei due nuovi nuclei si rileva che essa è minore del nucleo originario di uranio. Risulta una ''difetto di massa'' Δ''m'' = {{m|7,6|k|g|e=−30}}, che si è trasformata in [[energia]]. L'equazione di Einstein consente di determinare quanta [[energia]] è stata liberata dal [[decadimento radioattivo]] di un nucleo di uranio: Δ''E'' = Δ''mc''<sup>2</sup> = ({{m|7,6|k|g|e=−30}}) × ({{exp|9|16}}m²/s²) = {{exp|6,84|−13}}J.
L'energia prodotta in una centrale nucleare da una singola fissione è data dalla differenza tra le masse dei nuclei iniziali ([[uranio]] + [[neutrone]]) e le masse nucleari dei prodotti di fissione.
La conversione massa-energia fu cruciale anche nello sviluppo della [[bomba atomica]]. La [[Bombardamento atomico di Hiroshima e Nagasaki|bomba di Hiroshima]] era di 13 [[kilotone|kilotoni]], pari a 54,6 TJ (13 × 4,2 × 10<sup>12</sup> J). Questa energia equivale a quella teoricamente sprigionata dalla completa conversione di soli 0,60 grammi di materia (54 TJ).
L'[[uranio]]-238, di per sé non fissile, costituisce oltre il 99% dell'uranio che si trova in natura; solo lo 0,7% dell'uranio reperibile naturalmente è uranio-235, necessario per la fissione nucleare. Per tale motivo l'uranio-238 viene arricchito dell'[[isotopo]] 235 prima di essere usato per usi civili (centrali nucleari) o militari.
Durante una reazione nucleare il [[numero di massa]] '''A''' (numero dei [[nucleoni]] = [[protoni]] + [[neutroni]]) e il [[numero atomico]] '''Z''' (numero dei [[protoni]]) sono conservati, cioè rimangono costanti. Ad esempio, nella reazione nucleare
::<math>\mathrm{^{14}_{~7}N} + \mathrm{^{4}_{2}He} \to \mathrm{^{17}_{~8}O} + \mathrm{^{1}_{1}p}</math>
Conservazione del numero dei nucleoni  '''A''': 14 + 4 = 17 + 1 <br>
Conservazione della carica elettrica   '''Z''': 7 + 2 = 8 + 1 <br>
Nonostante ciò, la somma delle masse dei reagenti ''non'' è conservata in quanto varia, dopo la reazione, l'[[energia di legame]] con cui i singoli [[nucleoni]] sono legati all'interno dei vari nuclei. <br>
Le masse dei reagenti e dei prodotti, espresse in [[unità di massa atomica]] (Dalton, [[Unità di massa atomica|Da]]) sono rispettivamente:<br>
<math>m\mathrm{(^{14}_{~7}N)} = </math> {{formatnum:14.003074}} <math>\quad + \quad m\mathrm{(^{4}_{2}He)} = </math> {{formatnum:4.002603}} <math>\quad = \quad</math> masse dei reagenti = {{formatnum:18.005677}} Da<br>
<math>m\mathrm{(^{17}_{~8}O)} =</math> {{formatnum:16.999132}} <math>\quad + \quad m\mathrm{(^{1}_{1}p)} \;\; =</math> {{formatnum:1.008665}} <math>\quad = \quad</math>  masse dei prodotti = {{formatnum:18.007797}} Da<br>
In questo caso, il ''difetto di massa'' è negativo:
::<math>\Delta m = m\mathrm{(^{14}_{~7}N)} + m\mathrm{(^{4}_{2}He)} - m\mathrm{(^{17}_{~8}O)} - m\mathrm{(^{1}_{1}p)} = - 2,12 \times 10^{-3} \; \mathrm{Da}
= - 3,52 \times 10^{-30} \; \mathrm{kg} </math>
La reazione è endoenergetica, ovvero necessita d'energia esterna per avvenire. Oltre all'[[energia di barriera]], necessaria per vincere la repulsione coulombiana, l'energia minima perché tale reazione possa avvenire è
::<math>\Delta E = \Delta m \, c^2 = (- 3,52 \times 10^{-30} \; \mathrm{kg}) \times (9 \times 10^{16} \; \mathrm{m^2/s^2}) = - 3,17 \times 10^{-13} \; \mathrm{J}</math>.
Tale energia viene fornita dall'[[energia cinetica]] del nucleo di elio (particella α) che va a collidere col nucleo d'azoto. La velocità minima della particella α dev'essere
::<math>v = \sqrt{\frac{-2 \Delta E}{m\mathrm{(^{4}_{2}He)}}} = \sqrt{\frac{6,34 \times 10^{-13}}{4 \times 1,67 \times 10^{-27}}} = \sqrt{95 \times 10^{12}} \simeq 9,75 \times 10^{6} \; \mathrm{m/s}</math>
equivalente al 3,25% della velocità della luce.
Anche il processo di [[fusione nucleare]], come tutti i processi fisici di trasformazione della massa in energia e viceversa, avviene rispettando il ''principio di conservazione della massa–energia''. Nel [[Sole]], che ha una temperatura interna di 15 milioni di [[kelvin]], mediante le reazioni di fusione termonucleare (fusione [[protone]]-protone dei nuclei di idrogeno), ogni secondo 600 milioni di tonnellate d'[[idrogeno]] si trasformano in 595,5 milioni tonnellate di [[elio]]. Quindi, dopo questa trasformazione, mancano ogni secondo 4,5 milioni di tonnellate (pari allo 0,75% della massa iniziale). Questo ''difetto di massa'' si è trasformato direttamente in [[radiazione elettromagnetica]], ossia in energia, secondo l'equazione ''E'' = ''mc''<sup>2</sup>. Tutta la potenza del Sole è dovuta alla conversione in energia di questa massa mancante, paragonabile approssimativamente alla massa di un piccolo gruppo di montagne sulla Terra. La massa convertita in energia durante 10 miliardi di anni di fusione termonucleare è pari a 1,26 × 10<sup>27</sup> kg. Siccome la massa del Sole è di 2 × 10<sup>30</sup> kg, 10 miliardi di anni di fusione consumano solo lo 0,063 % della massa solare.
Inserendo il valore della massa mancante ogni secondo nell'equazione di Einstein (dove l'energia è espressa in [[joule]] = Ws, la massa in kg e ''c'' in m/s), si calcola che a esso corrisponde una potenza pari a (4,5 × 10<sup>9</sup> kg) × (9 × 10<sup>16</sup> m<sup>2</sup>/s<sup>2</sup>) / 1 s = 4 × 10<sup>26</sup> W ([[watt]]), ossia a 4 × 10<sup>14</sup> [[TW]] ([[terawatt]]). Per capire l'enormità di questa energia, che espressa in [[wattora]] equivale a 1,125 × 10<sup>11</sup> [[TWh]], un dato che può fungere da termine di paragone è la produzione mondiale di [[energia elettrica]], che nel 2005 è stata di {{formatnum:17907}} [[TWh]] (equivalenti a 716,28 kg di massa). Per eguagliare l'energia prodotta dal Sole in un solo secondo, tutti gli impianti di produzione di energia elettrica del nostro pianeta dovrebbero funzionare a pieno regime per i prossimi {{formatnum:6282459}} anni.
La completa conversione di 1 [[chilogrammo]] di [[massa (fisica)|massa]] equivarrebbe a:
* {{formatnum:89875517873681764}} [[joule]] (circa {{formatnum:90000}} TJ);
* {{formatnum:24965421632000}} [[wattora]] (circa 25 TWh, equivalenti al consumo d'energia elettrica in Italia nel 2017 in 4 settimane);
* 21,48076431 [[megaton]];
* 8,51900643 x 10<sup>13</sup> [[British thermal unit|BTU]].
==Velocità della luce come limite==
La velocità della luce non può essere raggiunta o superata da un corpo per la natura del termine <math>\gamma</math>
::<math> \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-(v/c)^2}}</math>.
Infatti se
::<math>v \to c \;\;\Longrightarrow\;\; (v/c)^2 \to 1 \;\;\Longrightarrow\;\; \sqrt{1-(v/c)^2} \to 0 </math>
e di conseguenza
::<math>\lim_{v \to c} \gamma(v) = \lim_{v \to c} \frac{1}{\sqrt{1-(v/c)^2}} = \infty</math>.
Alla velocità della luce, la massa relativistica e l'energia totale diverrebbero infinite:
::<math>\lim_{v \to c} \, m(v) = \lim_{v \to c} \, \gamma(v) \, m_0 = \infty</math>
::<math>\lim_{v \to c} \, E(v) = \lim_{v \to c} \, m(v) \, c^2 = \lim_{v \to c} \, \gamma(v) \, m_0 c^2= \infty</math>
In altre parole, per accelerare un corpo alla velocità della luce serve una quantità infinita di energia. Tale fatto viene spiegato dal punto di vista dinamico con l'aumento dell'[[inerzia]] al crescere della velocità.
== Approssimazione per basse velocità ==
L'[[energia cinetica relativistica]] <math>K</math> è data dalla differenza tra l'energia totale <math>E = m c^2</math> e l'[[energia a riposo]] <math>E_0 = m_0 c^2</math>:
::<math> K = E - E_0 = m c^2 - m_0 c^2 = \gamma \, m_0 c^2 - m_0 c^2 = \left(\gamma - 1 \right) \, m_0 c^2</math>
che per piccole velocità (''v'' << ''c'') è approssimativamente uguale all'espressione classica dell'[[energia cinetica]],
::<math> K = \frac{1}{2} \, m v^2 </math>.
Si può mostrare che le due forme concordano espandendo <math>\gamma</math> in [[serie di Taylor]]:
::<math>\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-(v/c)^2}} \simeq 1 \,+\, \frac{1}{2} \left(\frac{v}{c} \right)^2 </math>.
Inserendolo nell'equazione originaria, si ottiene un'approssimazione all'espressione classica dell'energia cinetica:
::<math> K \simeq \frac{1}{2} \left(\frac{v}{c} \right)^2 m_0 c^2 \simeq \frac{1}{2} \, m_0 v^2</math>.
L'[[energia totale relativistica]] comprende anche l'[[energia a riposo]] del corpo, dipendente solo dalla [[massa a riposo]], che non compare invece nella definizione classica dell'[[energia]]. L'espressione dell'energia cinetica relativistica è invece equivalente a quella classica per basse velocità ''v'' rispetto a ''c''. Questo mostra come la relatività sia una teoria più generale rispetto alla meccanica classica, che rientra nella meccanica relativistica come caso particolare.
== Massa invariante ==
{| class="wikitable floatright"
! Massa invariante
|align="center"|<math>m</math>
|-
! Energia totale
|align="center"|<math>E = \gamma \, m c^2</math>
|-
! Energia a riposo
|align="center"|<math>E_0 = m c^2</math>
|}
La [[massa relativistica]] non è più usata nel linguaggio relativistico odierno, in quanto potenziale espressione dell'errore concettuale per cui la [[Massa (fisica)|massa]], piuttosto che la sola [[inerzia]], vari con la velocità. Per questa ragione oggi si indica con ''m'' la
''massa invariante'' a ogni velocità ''v'' < ''c'' (che coincide numericamente con la [[massa a riposo]] <math>m_0</math>).
Conseguentemente si scrive <math>E = \gamma \, mc^2</math> per un oggetto in moto o <math>E_0 = mc^2</math> se in quiete rispetto a un dato sistema di riferimento.<ref>{{cita pubblicazione|titolo=The concept of mass|autore=Lev B. Okun |url=http://www.hysafe.org/science/KareemChin/PhysicsToday_v42_p31to36.pdf|rivista= Physics Today|volume=42|pp=31-36|anno=1989|lingua=en}}</ref><ref>{{cita pubblicazione|nome=Elio |cognome=Fabri|anno=1981| titolo=Dialogo sulla massa relativistica|rivista=La Fisica nella Scuola|volume=14|numero=25|url=http://www.sagredo.eu/articoli/dialogo-mr.pdf}}</ref>
== Aspetti storici ==
Einstein non fu il primo o il solo ad aver messo in relazione l'energia con la massa, ma fu il primo a presentare questa relazione come parte di una teoria generale e ad aver dedotto tale formula nel quadro della [[relatività ristretta]]. Va tuttavia osservato che le derivazioni di [[E=mc²#La massa della radiazione di corpo nero: Hasenöhrl (1904-1905) e Planck (1907)|Planck (1907)]], [[E=mc²#Derivazione di Born (1925)|Born (1925)]], Einstein (1950) (vedi Sezione [[E=mc²#La massa della radiazione elettromagnetica: Poincaré (1900-1904)|''La massa della radiazione elettromagnetica: Poincaré (1900-1904)'']]) e [[E=mc²#Derivazione di Rohrlich (1990)|Rohrlich (1990)]] non richiedono alcun concetto relativistico, essendo l'equazione <math>E = m c^2</math> ottenibile anche combinando risultati della meccanica classica e dell'elettromagnetismo.
=== Luce e materia da Newton a Soldner (1704-1804) ===
L'idea di un'equivalenza, convertibilità o effetto della materia sulla radiazione risale già a [[Isaac Newton]]. Nel quesito 30 dell<nowiki>'</nowiki>''[[Opticks]]''<ref>{{cita libro |nome= I. | cognome= Newton | titolo= Opticks: or, a Treatise of the Reflections, Refractions, Inflections and Colours of Light | annooriginale= 1704| città = London | volume = 3 volumi | lingua= inglese}}</ref> scrisse: ''«I corpi pesanti e la luce sono convertibili gli uni negli altri.»'' (''«Gross bodies and light are convertible into one another.»'').<ref name=ricker>{{cita web| url=http://www.naturalphilosophy.org/site/harryricker/2015/05/23/the-origin-of-the-equation-e-mc2/ |titolo= The Origin of the Equation E = mc2|accesso=4 giugno 2019 |lingua=en}}</ref> Sempre nell<nowiki>'</nowiki>''[[Opticks]]'' disse di credere che la gravità possa deflettere la luce. Queste affermazioni non risultano stupefacenti se si considera che Newton riteneva la luce formata da corpuscoli materiali ([[teoria corpuscolare della luce]]). Nel [[1783]] [[John Michell]], docente a [[Università di Cambridge|Cambridge]], suggerì in una lettera a [[Henry Cavendish]] (successivamente pubblicata nei rendiconti della [[Royal Society]]<ref>{{cita pubblicazione|nome= J.|cognome= Michell |titolo= On the means of discovering the distance, magnitude etc. of the fixed stars |rivista= Philosophical Transactions of the Royal Society |anno= 1784|lingua=en}}</ref>) che stelle sufficientemente massive e compatte avrebbero trattenuto la luce a causa del loro intenso campo gravitazionale. La [[velocità di fuga]] dal corpo celeste sarebbe potuta risultare superiore alla velocità della luce, dando luogo a quella che egli chiamò una "stella oscura" (''dark star''), oggi nota come [[buco nero]]. Nel [[1798]] [[Pierre-Simon Laplace|Pierre-Simon de Laplace]] riportò quest'idea nella prima edizione del suo ''Traité de mécanique céleste''.<ref>{{cita libro |nome= P.-S. | cognome= Laplace | titolo= Traité de mécanique céleste |titolotradotto= Trattato di meccanica celeste| anno = 1798–1825| città = Paris| volume = 5 volumi | lingua= francese}}</ref>
[[Johann von Soldner]] fu tra i primi ad avanzare l'ipotesi che la [[luce]], in base alla [[teoria corpuscolare della luce|teoria corpuscolare]] di [[Isaac Newton|Newton]], possa subire una deviazione quando passa in prossimità di un corpo celeste.<ref name=ricker/> In un articolo del 1801, pubblicato nel 1804,<ref>{{cita pubblicazione|nome= J.|cognome= von Soldner |titolo= Über die Ablenkung eines Lichtstrals von seiner geradlinigen Bewegung |titolotradotto= Sulla deflessione di un raggio di luce dal suo movimento rettilineo |rivista= Berliner Astronomisches Jahrbuch |anno= 1804 |pp= 161-172|lingua=de}}</ref> calcolò il valore della deviazione di un raggio luminoso proveniente da una [[stella]] quando passa in prossimità del [[Sole]].
=== L'etere come causa dell'equivalenza massa-energia (1851-1875) ===
[[Julius Robert von Mayer]] usò <math>mc^2</math> nel 1851 per esprimere la pressione esercitata dell'[[etere (fisica)|etere]] su un corpo di massa <math>m</math>:
''«Se una massa <math>m</math>, originariamente a riposo, mentre attraversa lo spazio efficace <math>s</math>, sotto l'influenza e nella direzione della pressione <math>p</math>, acquisisce la velocità <math>c</math>, abbiamo <math>ps = mc^2</math>. Tuttavia, poiché ogni produzione di movimento implica l'esistenza di una pressione (o di una trazione) e uno spazio efficace (e anche l'esaurimento di almeno uno di questi fattori, lo spazio effettivo), ne consegue che il movimento non può mai entrare in esistenza tranne al costo di questo prodotto, <math>ps = mc^2</math>.»''<ref>{{cita pubblicazione|nome=J. R.|cognome= von Mayer |titolo=Bemerkungen über das mechanische Aequivalent der Wärme |titolotradotto= Osservazioni sull'equivalente meccanico del calore | rivista= Pamphlet |anno=1851 |lingua=de |città= Heilbronn, Leipzig}}</ref><ref name=ricker/>
[[Samuel Tolver Preston]] (1844 – 1917), ingegnere e fisico inglese, pubblicò nel 1875 il libro ''Physics of the Ether'' con l'intento di sostituire la nozione newtoniana d'[[azione a distanza (fisica)|azione a distanza]], ritenuta ''spiriritualistica'', con il concetto meccanico di [[etere (fisica)|etere]]. L'energia implicata nel seguente esempio citato da Preston equivale<ref name=ricker/> a <math>mc^2</math>:
''«Per dare un'idea, in primo luogo, dell'enorme intensità del deposito di energia raggiungibile per mezzo di quell'esteso stato di suddivisione della materia che rende praticabile un'alta velocità normale, si può calcolare che [...] una quantità di materia che rappresenta una massa di un chicco munita della velocità delle particelle di etere, racchiude una quantità di energia che, se interamente utilizzata, sarebbe capace di proiettare un peso di centomila tonnellate ad un'altezza di quasi due miglia (1,9 miglia).»''<ref>{{cita libro | nome= S. T. | cognome= Preston | titolo= Physics of the ether | anno= 1875 | editore= E. & F. N. Spon | città= London |pagina=165 |lingua = en}}</ref><ref name=ricker/>
=== La massa elettromagnetica dell'elettrone (1881-1906) ===
Nei primi anni del XX secolo molti fisici aderirono ad una ''teoria elettromagnetica della natura'', che riteneva le leggi dell'elettromagnetismo di [[James Clerk Maxwell|Maxwell]] più fondamentali di quelle meccaniche di [[Isaac Newton|Newton]].<ref>{{cita libro | nome= C. | cognome= Tarsitani | titolo= Il dilemma onda-corpuscolo da Maxwell a Planck e Einstein | anno= 1983 | editore= Loescher | città= Torino |pp=173-178}}</ref> In questo contesto vennero svolte ricerche per attribuire ad effetti elettromagnetici l'origine della [[massa (fisica)|massa]] della [[materia (fisica)|materia]].
Oggetti [[carica elettrica|carichi]] possiedono una [[inerzia]] maggiore rispetto agli stessi corpi scarichi. Ciò si spiega con una interazione delle cariche elettriche in moto con il campo da esse stesse generato, detta ''reazione di campo''; l'effetto è interpretabile come un aumento della massa inerziale del [[corpo (fisica)|corpo]] ed è ricavabile dalle [[equazioni di Maxwell]].
Nel 1881 [[Joseph John Thomson]], che nel 1896 scoprirà l'[[elettrone]], fece un primo tentativo di calcolare il contributo elettromagnetico alla [[massa (fisica)|massa]].<ref name=thomson>{{Cita pubblicazione|autore=J. J. Thomson |anno=1881 |titolo=On the Electric and Magnetic Effects produced by the Motion of Electrified Bodies |rivista=Philosophical Magazine |volume=11 |serie=5 |numero=68 |pp=229–249|lingua= en |doi=10.1080/14786448108627008|title-link=s:On the Electric and Magnetic Effects produced by the Motion of Electrified Bodies}}</ref> Una sfera carica in moto nello spazio (che si riteneva riempito dall'[[etere luminifero]], con una sua [[induttanza]] <math>L</math>) risulta più difficile da mettere in moto rispetto a un corpo privo di carica (caso analogo all'inerzia dei corpi nei [[fluidi]],<ref>{{Cita pubblicazione|autore= G. G. Stokes |anno=1844 |rivista=Transactions of the Cambridge Philosophical Society |volume=8|numero=1 |titolo= On some cases of fluid motion |pp=105–137 |lingua= en}}</ref> studiata da [[George Gabriel Stokes]] nel 1843). A causa dell'auto-induzione, l'energia elettrostatica sembra mostrare una sua [[quantità di moto]] e una ''massa elettromagnetica'' <math>m_{\rm em}</math> che fa aumentare la [[massa a riposo]] <math>m_0</math> dei corpi carichi in movimento. Thomson calcolò il campo magnetico generato da una sfera elettricamente carica in movimento, mostrando che tale campo induce un'inerzia ([[massa (fisica)|massa]]) sulla sfera stessa. Il risultato di Thomson dipende dal raggio, dalla carica e dalla [[permeabilità magnetica]] della sfera. Nel 1889 [[Oliver Heaviside]] generalizzò il risultato di Thomson,<ref>{{Cita pubblicazione|autore= O.Heaviside |anno=1889 |titolo=On the Electromagnetic Effects due to the Motion of Electrification through a Dielectric |rivista=Philosophical Magazine |serie=5 |volume=27 |numero=167 |pp=324–339 |lingua=en |doi=10.1080/14786448908628362|}}</ref> mostrando che la massa elettromagnetica risulta essere
::<math>m_{\rm em} = \frac{4}{3} \, \frac{E_{\rm em}}{c^2}</math>,
dove <math>E_{\rm em}</math> è l'energia del campo elettrico della sfera. Chiaramente questo risultato si applica solo ad oggetti carichi e in movimento, quindi non ad ogni corpo dotato di massa. Fu tuttavia il primo serio tentativo di connettere massa ed energia.<ref name=rothman_1>{{cita web|url=https://www.scientificamerican.com/article/was-einstein-the-first-to-invent-e-mc2/?redirect=1 |titolo= Was Einstein the First to Invent E = mc^2?|lingua= en| accesso=5 giugno 2019}}</ref><ref name=rothman_2>{{cita pubblicazione|cognome= Rothman |nome= T. |titolo= Did Einstein Really Invent E = mc^2? |lingua= en|rivista= Scientific American |volume= 313 |numero= 3 |anno= Settembre 2015}}</ref> Ulteriori lavori, che contribuirono a definire la ''massa elettromagnetica dell'elettrone'' (classicamente visto come una piccola sfera carica elettricamente), vennero da [[Joseph John Thomson]] (1893), [[George Frederick Charles Searle]] (1864 - 1954), fisico inglese, (1897),
[[Walter Kaufmann]] (1901), [[Max Abraham]] (1902, 1904 e 1905) ed [[Hendrik Lorentz]] (1892,<ref>{{Cita pubblicazione|autore= H. A. Lorentz |anno=1892 |titolo= La Théorie electromagnétique de Maxwell et son application aux corps mouvants |titolotradotto= La teoria elettromagnetica di Maxwell e la sua applicazione ai corpi in movimento |rivista=Archives Néerlandaises des Sciences Exactes et Naturelles |volume=25 |pp=363–552 |lingua= fr}}</ref> 1899 e 1904).
Nel 1893 [[Joseph John Thomson]] notò che l'energia e quindi la massa dei corpi carichi dipendono dalla loro velocità, e che la velocità della luce costituisce una velocità limite: ''«una sfera carica che si muove alla velocità della luce si comporta come se la sua massa fosse infinita [...] in altre parole è impossibile aumentare la velocità di un corpo carico che si muove in un dielettrico oltre quella della luce.»''<ref>{{Cita pubblicazione|autore=J. J. Thomson |anno=1893 |titolo=Notes on recent researches in electricity and magnetism |editore=Clarendon Press |città=Oxford |pp=21|lingua= en}}</ref> Nel 1897 il fisico inglese [[George Frederick Charles Searle]] (1864 - 1954) fornì una formula per l'energia elettromagnetica di una sfera carica in movimento,<ref>{{Cita pubblicazione|autore= G. F. C. Searle |anno=1897 |titolo=On the Steady Motion of an Electrified Ellipsoid |rivista=Philosophical Magazine |serie=5 |volume=44 |numero=269 |pp=329–341 |doi=10.1080/14786449708621072|title-link=s:On the Steady Motion of an Electrified Ellipsoid |lingua= en}}</ref> confermando le conclusioni di Thomson. [[Walter Kaufmann]]<ref>{{Cita pubblicazione|autore= W. Kaufmann |anno=1902 |titolo=Die elektromagnetische Masse des Elektrons |titolotradotto= La massa elettromagnetica degli elettroni |rivista=Physikalische Zeitschrift |volume=4 |numero=1b|pp=54–56|lingua= de}}</ref> nel 1901 e [[Max Abraham]]<ref name=abraham>{{Cita pubblicazione|autore=M. Abraham |anno=1903 |titolo=Prinzipien der Dynamik des Elektrons |titolotradotto= Principi della dinamica degli elettroni|rivista=Annalen der Physik |volume=315|numero=1 |pp=105–179|title-link=s:de:Prinzipien der Dynamik des Elektrons (1903) |doi=10.1002/andp.19013100703|lingua= de}}</ref> nel 1902 calcolarono la massa elettromagnetica di corpi carichi in movimento. Abraham si accorse però che tale risultato era valido solo nella direzione di moto longitudinale rispetto all'[[etere luminifero|etere]] e definì quindi anche una massa elettromagnetica ''trasversale'' <math>m_T</math> oltre a quella ''longitudinale'' <math>m_L</math>. [[Hendrik Lorentz]], nel 1899<ref>{{Cita pubblicazione|autore= H. A. Lorentz |anno=1899 |titolo=Simplified Theory of Electrical and Optical Phenomena in Moving Systems |rivista=Proceedings of the Royal Netherlands Academy of Arts and Sciences |volume=1|pp=427–442|title-link=s:Simplified Theory of Electrical and Optical Phenomena in Moving Systems |lingua= en}}</ref> e nel 1904,<ref name=elet_lorentz>{{Cita pubblicazione|autore=H. A. Lorentz|anno=1904 |titolo=Electromagnetic phenomena in a system moving with any velocity smaller than that of light |rivista=Proceedings of the Royal Netherlands Academy of Arts and Sciences |volume=6|pp=809–831|title-link=s:Electromagnetic phenomena |lingua= en}}</ref> produsse due articoli sulla ''teoria dell'elettrone di Lorentz'', che prevedeva una [[contrazione delle lunghezze]] nella direzione del moto. La massa longitudinale e quella trasversale dipendevano (Lorentz 1904<ref name=elet_lorentz/>) dalla velocità in due modi diversi:
::<math> m_L = {\gamma}^3 \, m_{\rm em}, \quad m_T = \gamma \, m_{\rm em} </math>
dove <math>\gamma</math> è il [[fattore di Lorentz]]
::<math> \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-(v/c)^2}}</math>.
Nell'ambito della ''teoria elettromagnetica della natura'', [[Wilhelm Wien]]<ref name=wien>{{Cita pubblicazione|autore= W. Wien |anno=1900 |titolo=Über die Möglichkeit einer elektromagnetischen Begründung der Mechanik |titolotradotto= Sulla possibilità di una fondazione elettromagnetica della meccanica |rivista=Annalen der Physik |volume=310 |numero=7 |pp=501–513 |doi=10.1002/andp.19013100703|title-link=s:de:Über die Möglichkeit einer elektromagnetischen Begründung der Mechanik |lingua= de}}</ref> (noto per i suoi lavori del 1896 sullo [[spettro elettromagnetico|spettro]] del [[corpo nero]]) nel 1900 e [[Max Abraham]]<ref name=abraham/> nel 1902 giunsero indipendentemente alla conclusione che l<nowiki>'</nowiki>''intera massa'' <math>m</math> dei corpi è dovuta ad effetti elettromagnetici, e coincide quindi con la ''massa elettromagnetica'' <math>m_{\rm em}</math>. Nel 1906 [[Henri Poincaré]] sostenne<ref name=poinc>{{Cita pubblicazione|autore= H. Poincaré |anno=1906 |titolo=La fin de la matière |titolotradotto= La fine della materia |rivista=Athenæum |lingua= fr}}</ref> che la massa è un effetto del campo elettrico che agisce nell'[[etere luminifero]], implicando che non esiste realmente alcuna massa. Quindi, siccome la [[materia (fisica)|materia]] è inseparabilmente connessa alla sua [[massa (fisica)|massa]], secondo Poincaré anche la [[materia (fisica)|materia]] non esiste: gli elettroni sarebbero solamente ''concavità nell'etere''.
Tuttavia ben presto si dovette rinunciare all'idea di una massa puramente elettromagnetica dell'elettrone. Nel 1904 [[Max Abraham]] sostenne che era necessaria anche un'energia non elettromagnetica (in misura pari ad <math>(1/3) E_{\rm em}</math>) per evitare che l'elettrone contrattile di Lorentz esplodesse<ref>{{Cita pubblicazione|autore=M. Abraham |anno=1904 |titolo=Die Grundhypothesen der Elektronentheorie |titolotradotto= Le ipotesi fondamentali della teoria degli elettroni |rivista=Physikalische Zeitschrift |volume=5 |pp=576–579|title-link=s:de:Die Grundhypothesen der Elektronentheorie |lingua= de}}</ref>. L'anno dopo - contraddicendo le sue tesi del 1902 - dubitò della possibilità di sviluppare un modello consistente dell'elettrone su basi esclusivamente elettromagnetiche.<ref>{{Cita libro|cognome= M. Abraham |anno=1905 |titolo= Theorie der Elektrizität: Elektromagnetische Theorie der Strahlung |titolotradotto=Teoria dell'elettricità: teoria elettromagnetica della radiazione |editore=Teubner |città=Leipzig |pp=201–208|url=https://archive.org/details/theoriederelekt04fpgoog|lingua= de}}</ref>
Per risolvere i problemi della teoria dell'elettrone di Lorentz, nel 1905<ref>{{Cita pubblicazione|autore=H. Poincaré |anno=1905 |titolo=Sur la dynamique de l'électron |titolotradotto= Sulla dinamica dell'elettrone |On the Dynamics of the Electron]] |rivista=Comptes Rendus |volume=140 |pp=1504–1508 |title-link=s:fr:Sur la dynamique de l'électron (juin) |lingua=fr}}</ref> e nel 1906<ref>{{Cita pubblicazione|autore= H. Poincaré |anno=1906 |titolo= Sur la dynamique de l'électron |titolotradotto= Sulla dinamica dell'elettrone |title-link=s:fr:Sur la dynamique de l'électron (juillet)|rivista=Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo |volume=21 |pp=129–176 |doi=10.1007/BF03013466|lingua=fr}}</ref> [[Henri Poincaré]] introdusse un termine correttivo ("Poincaré stresses") di natura non elettromagnetica. Come già sostenuto da Abraham, il contributo non elettromagnetico secondo Poincaré risulta pari a
::<math>E_{\rm po} = \frac{1}{3} \, E_{\rm em} = \frac{1}{4} \, E_0</math>.
Lo stress di Poincaré - che risolve il problema dell'instabilità dell'elettrone di Lorentz - resta inalterato per [[Trasformazione di Lorentz|trasformazioni di Lorentz]] (ovvero è Lorentz invariante). Era interpretato come la ragione dinamica della [[contrazione delle lunghezze|contrazione]] di [[Hendrik Lorentz|Lorentz]]-[[George Francis FitzGerald|FitzGerald]] della dimensione longitudinale dell'elettrone.
Restava da capire l'origine del fattore 4/3 che compare nella massa elettromagnetica <math>m_{\rm em}</math> di [[Oliver Heaviside|Heaviside]], derivabile anche dalle equazioni di
[[Max Abraham|Abraham]]–[[Hendrik Lorentz|Lorentz]] dell'elettrone. Se si calcola il contributo puramente elettrostatico alla massa elettromagnetica dell'elettrone, il termine 4/3 scompare:
::<math>m_{\rm es} = \frac {E_{\rm em}}{c^2}</math>,
mettendo in luce l'origine dinamica del contributo non elettromagnetico <math>E_{\rm po}</math>:
::<math>m_{\rm em} - m_{\rm es} = \frac{4}{3} \,\frac{E_{\rm em}}{c^{2}} - \frac{E_{\rm em}}{c^{2}} = \frac{1}{3} \,\frac{E_{\rm em}}{c^{2}} = \frac{E_{\rm po}}{c^{2}}</math>.
Tenendo conto del termine non elettromagnetico di Poincaré, le relazioni tra le diverse masse ed energie diventano:<ref name=miller>{{cita libro | nome= A. I.| cognome= Miller | titolo= Albert Einstein's special theory of relativity. Emergence (1905) and early interpretation (1905–1911) | anno= 1981 | editore= Addison–Wesley | città= Reading |pp=382-383 |isbn=978-0-201-04679-3|lingua=en}}</ref><ref name=macklenburg>{{cita libro |autore1= M. Janssen| autore2= M. Macklenburg| titolo= From classical to relativistic mechanics: Electromagnetic models of the electron |curatore= V. F. Hendricks, ''Interactions: Mathematics, Physics and Philosophy'' |anno= 2007 | editore= Springer | città= Dordrecht |pp=65-134 |lingua=en}}</ref>
::<math>m_{\rm em} = \frac{4}{3} \, m_{\rm es} = \frac{4}{3} \,\frac{E_{\rm em}}{c^{2}} =
\frac{E_{\rm em} + \frac{E_{\rm em}}{3}}{c^2} = \frac{E_{\rm em} + E_{\rm po}}{c^{2}} =
\frac{E_0}{c^2}</math>.
Quindi il fattore 4/3 compare quando la massa elettromagnetica <math>m_{\rm em}</math> viene riferita all'energia elettromagnetica <math>E_{\rm em}</math>, mentre scompare se si considera l'energia a riposo <math>E_0</math>:
::<math>m_{\rm em} = \frac{4}{3} \, \frac{E_{\rm em}}{c^{2}} = \frac{E_0}{c^2}</math>
Le formule precedenti - nonostante contengano il termine non elettromagnetico <math>E_{\rm po}</math> - identificano, come sostenuto da Poincaré,<ref name=poinc/> la massa a riposo dell'elettrone con la massa elettromagnetica: <math>m_{\rm em} = E_0/c^2</math> e presentano quindi un evidente problema interpretativo, che richiederà molti anni per essere risolto.
[[Max von Laue]] nel 1911<ref>{{cita libro | nome= M. | cognome= von Laue | titolo= Das Relativitätsprinzip [Il principio di relatività]| anno= 1911 | editore= Vieweg | città= Braunschweig| lingua= de}} </ref> mostrò che, a causa del fattore 4/3, il [[quadrimpulso]] relativistico non si comporta come un [[quadrivettore]] nello [[spaziotempo di Minkowski]]. Anche von Laue utilizzò lo stress di Poincaré <math>E_{\rm po}</math>, ma dimostrò con un formalismo rigorosamente relativistico che vi sono ulteriori componenti di stress e forze. Per sistemi spazialmente estesi come l'elettrone di Lorentz, in cui si hanno sia energie elettromagnetiche sia non elettromagnetiche, il risultato complessivo è che forze e momenti si trasformano correttamente come quadrivettori che formano un ''sistema chiuso''. Nel formalismo di von Laue il fattore 4/3 si manifesta solo se si considera la massa elettromagnetica:
::<math>m_{\rm em} = \frac{4}{3} \,\frac{E_{\rm em}}{c^{2}}</math>.
Invece nel sistema complessivo la massa a riposo <math>m_0</math> e l'energia risultano connesse dalla formula di Einstein,<ref name=macklenburg/> il cui fattore è uguale a 1 :
::<math>m_0 = \frac{E_0}{c^2}</math>.
La definitiva soluzione al problema dei 4/3 fu trovata, nell'arco di oltre 60 anni, da ben quattro autori diversi: [[Enrico Fermi]] (1922),<ref>{{Cita pubblicazione|autore= E. Fermi |anno=1922 |titolo=Über einen Widerspruch zwischen der elektrodynamischen und relativistischen Theorie der elektromagnetischen Masse [A proposito di una contraddizione tra l'elettrodinamica e la teoria relativistica della massa elettromagnetica]
|rivista=Physikalische Zeitschrift |volume=23 |pp=340–344 |lingua= de}}</ref>
[[Paul Dirac]] (1938),<ref>{{Cita pubblicazione|autore= P. A. M. Dirac |anno=1938 |titolo=Classical Theory of Radiating Electrons |rivista=Proceedings of the Royal Society of London A |volume=167 |numero=929 |pp=148–169 |url=http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56260v/f164 |doi=10.1098/rspa.1938.0124|lingua=en}}</ref> [[Fritz Rohrlich]] (1921 - 2018), fisico americano, (1960),<ref>{{Cita pubblicazione|autore= F. Rohrlich, Fritz |anno=1960 |titolo=Self-Energy and Stability of the Classical Electron
|rivista=American Journal of Physics |volume=28 |numero=7 |pp=639–643 |doi=10.1119/1.1935924|lingua= en}}</ref> [[Julian Schwinger]] (1983).<ref>{{Cita pubblicazione|autore=J. Schwinger |anno=1983
|titolo=Electromagnetic mass revisited |rivista=Foundations of Physics |volume=13 |numero=3 |pp=373–383 |doi=10.1007/BF01906185|lingua= en}}</ref> Divenne chiaro che la stabilità dell'elettrone e la presenza del fattore 4/3 nella massa elettromagnetica sono problemi diversi. Venne inoltre dimostrato che le precedenti definizioni dei [[quadrimpulso|quadrimpulsi]] erano intrinsecamente non relativistiche. Ridefinendoli nella forma relativisticamente corretta di [[quadrivettore|quadrivettori]], anche la massa elettromagnetica viene scritta come
::<math>m_{\rm em} = \frac{E_{\rm em}}{c^2}</math>
e quindi il fattore 4/3 scompare completamente.<ref name=macklenburg/> Ora non solo il ''sistema chiuso'' nella sua totalità, ma ogni parte del sistema si trasforma correttamente come un [[quadrivettore]]. Forze di legame come gli stress di Poincaré sono ancora necessarie per evitare che, per repulsione coulombiana, l'elettrone esploda. Ma si tratta ora di un problema di stabilità dinamica, del tutto distinto dalle formule d'equivalenza massa-energia.
=== La massa della radiazione elettromagnetica: Poincaré (1900-1904) ===
Un altro modo di derivare l<nowiki>'</nowiki>''equivalenza [[massa (fisica)|massa]]-[[energia]]'' è basato sulla [[pressione di radiazione]] o tensione del campo elettromagnetico, introdotta da [[James Clerk Maxwell]] nel 1874 e da [[Adolfo Bartoli]] nel 1876. Nel 1950 [[Albert Einstein]] attribuì l'origine della formula <math>E = mc^2</math> alle equazioni di campo di Maxwell.<ref>{{cita libro |nome= A. | cognome= Einstein | titolo= Out of My Later Years | anno = 1950| città = New York| editore= Philosophical Library| lingua= inglese}}</ref> La pressione di radiazione è
::<math>P = \frac{\phi(E)}{c}</math>
dove <math>\phi(E)</math> è il [[flusso]] d'[[energia]] elettromagnetica. Siccome
::<math>P = \frac{F}{S} = \frac{1}{c S} \, \frac{dE}{dt} = \frac{\phi(E)}{c} </math>
con <math>dE/dt</math> tasso di variazione dell'[[energia]] ricevuta dal corpo, la forza <math>F</math> esercitata su un corpo assorbente della radiazione elettromagnetica risulta essere
::<math>F = \frac{1}{c} \, \frac{dE}{dt}</math>.
D'altra parte, per la [[quantità di moto]] <math>p</math> assorbita dal corpo, vale
::<math> F = \frac{dp}{dt} </math>.
Dal confronto tra le due equazioni si ricava
::<math> \frac{dp}{dt} = \frac{1}{c} \, \frac{dE}{dt} \quad \Longrightarrow \quad p = \frac{E}{c} </math>
Se la [[quantità di moto]] <math>p</math> viene scritta come prodotto della massa <math>m</math> acquisita dal corpo assorbendo la radiazione per la velocità <math>c</math> della radiazione incidente (ipotesi ''ad hoc'' necessaria per ottenere il risultato voluto), si ricava
::<math> p = mc = \frac{E}{c} \quad \Longrightarrow \quad m = \frac{E}{c^2}</math>
Va specificato che l'implicazione sopra indicata ''non'' costituisce una prova della relazione <math>E = mc^2</math> e che l'equivalenza ''ad hoc'' <math>p = mc</math> non si trova né in Maxwell né in Bartoli, ma è stata proposta solo ''a posteriori'' (nel 1950) da Einstein.
Nel 1895 [[Hendrik Lorentz]] riconobbe che tali tensioni del campo elettromagnetico si debbono manifestare anche nella teoria dell'[[etere luminifero]] stazionario da lui proposta.<ref>{{Cita pubblicazione|autore= H. A. Lorentz |anno=1895 |titolo=Versuch einer Theorie der electrischen und optischen Erscheinungen in bewegten Körpern [Tentativo di una teoria dei fenomeni elettrici e ottici nei corpi in movimento] |titolotradotto=[[s:en:Translation:Attempt of a Theory of Electrical and Optical Phenomena in Moving Bodies|Attempt of a Theory of Electrical and Optical Phenomena in Moving Bodies]] |città=Leiden |editore=E. J. Brill|title-link=s:de:Versuch einer Theorie der electrischen und optischen Erscheinungen in bewegten Körpern |lingua=de}}</ref> Ma se l'etere è in grado di mettere in moto dei corpi, per il [[Principi della dinamica|principio d'azione e reazione]] anche l'etere deve essere messo in moto dai corpi materiali. Tuttavia il moto di parti dell'etere è in contraddizione con la caratteristica fondamentale dell'etere, che deve essere immobile. Quindi, per mantenere l'immobilità dell'etere, Lorentz ammetteva esplicitamente un'eccezione al [[Principi della dinamica|principio d'azione e reazione]].
Nel 1900 [[Henri Poincaré]] analizzò il conflitto tra il [[Principi della dinamica|principio d'azione e reazione]] e l'etere di Lorentz.<ref>{{Cita testo |autore=H. Poincaré |anno=1900 |titolo=[[s:fr:La théorie de Lorentz et le principe de réaction|La théorie de Lorentz et le principe de réaction]] [La teoria di Lorentz e il principio di reazione] |pubblicazione=Archives Néerlandaises des Sciences Exactes et Naturelles |volume=5 |pp=252–278 |lingua= fr}} Vedi anche la [http://www.physicsinsights.org/poincare-1900.pdf traduzione inglese].</ref> Cercò di capire se il baricentro o [[centro di massa]] di un corpo si muova ancora a velocità uniforme quando sono coinvolti campo elettromagnetico e radiazione. Notò che il [[Principi della dinamica|principio d'azione e reazione]] non vale per la sola materia, in quanto il campo elettromagnetico ha un sua [[quantità di moto]] (già derivata anche da [[Joseph John Thomson]] nel 1893,<ref>{{Cita pubblicazione|autore=J. J. Thomson |anno=1893 |titolo= Notes on recent researches in electricity and magnetism |editore=Clarendon Press|città=Oxford|lingua=en}}</ref> ma in maniera più complicata). Poicaré concluse che il campo elettromagnetico agisce come un [[fluido]] ''fittizio'' con una [[massa (fisica)|massa]] equivalente a
::<math>m_{\rm em} = \frac{E_{\rm em}}{c^2}</math>.
Se il [[centro di massa]] è definito usando sia la massa ''m'' della materia sia la massa <math>m_{\rm em}</math> del fluido ''fittizio'', e se quest'ultimo non viene né creato né distrutto, allora il moto del [[centro di massa]] risulta uniforme. Ma il fluido elettromagnetico non è indistruttibile, in quanto può essere assorbito dalla materia (per questo motivo Poincaré aveva chiamato il fluido ''fittizio'' anziché ''reale''). Quindi il [[Principi della dinamica|principio d'azione e reazione]] verrebbe ancora violato dall'etere di Lorentz. La soluzione al problema (equivalenza [[massa (fisica)|massa]]-[[energia]]) sarà trovata da Einstein col suo articolo<ref name="einstein"/> del 1905: la massa del campo elettromagnetico viene trasferita alla materia nel processo d'assorbimento. Ma Poincaré formulò invece una diversa ipotesi, assumendo che in ogni punto dello spazio esista un fluido immobile d'energia non-elettromagnetica, dotato di una massa proporzionale alla sua energia. Quando il fluido fittizio elettromagnetico è emesso o assorbito, la sua massa/energia non è emessa o assorbita dalla materia, ma viene invece trasferita al fluido
non-elettromagnetico, rimanendo esattamente nella stessa posizione. Con questa improbabile ipotesi, il moto del [[centro di massa]] del sistema (materia + fluido ''fittizio'' elettromagnetico + fluido ''fittizio'' non-elettromagnetico) risulta uniforme.
Tuttavia - siccome solo la materia e la radiazione elettromagnetica, ma non il fluido
non-elettromagnetico, sono direttamente osservabili in un esperimento - quando si considera empiricamente un processo d'emissione o assorbimento, la soluzione proposta da Poicaré viola ancora il [[Principi della dinamica|principio d'azione e reazione]]. Ciò conduce ad esiti paradossali quando si cambia il [[sistema di riferimento]]. Studiando l'emissione di radiazione da un corpo e il rinculo dovuto alla [[quantità di moto]] del fluido ''fittizio'', Poincaré notò che una [[trasformazione di Lorentz]] (al primo ordine in ''v/c'') dal sistema di riferimento del laboratorio al sistema di riferimento del corpo in movimento risulta conservare l'[[energia]], ma non la [[quantità di moto]]. Ciò comporterebbe la possibilità di un [[moto perpetuo]], ovviamente impossibile. Inoltre le leggi di natura sarebbero differenti nei due diversi [[sistema di riferimento|sistemi di riferimento]], ed il principio di relatività sarebbe violato. Concluse quindi che nell'[[etere luminifero|etere]] debba agire un altro sistema di compensazione, diverso da quello dei [[fluidi]] ''fittizi''.<ref name=miller/><ref>{{Cita pubblicazione|autore= O. Darrigol |titolo=The Genesis of the theory of relativity |anno=2005 |rivista=Séminaire Poincaré |volume=1 |pp=1–22 |url=http://www.bourbaphy.fr/darrigol2.pdf |doi=10.1007/3-7643-7436-5_1|isbn=978-3-7643-7435-8 |lingua=en}}</ref>
Poincaré tornò sull'argomento nel 1904,<ref>{{Cita pubblicazione|autore=H. Poincaré |anno=1904 |capitolo=[[s:The Principles of Mathematical Physics|The Principles of Mathematical Physics]]|titolo=Congress of arts and science, universal exposition, St. Louis, 1904 |volume=1 |pp=604–622 |editore= Houghton, Mifflin and Co. |città=Boston and New York |lingua=en}}</ref> rifiutando la soluzione da lui proposta nel 1900 che movimenti nell'[[etere luminifero|etere]] possano compensare il moto di corpi materiali, perché simili ipotesi sono sperimentalmente inosservabili e quindi scientificamente inutili. Abbandonò inoltre l'idea di un'equivalenza [[massa (fisica)|massa]]-[[energia]] e a proposito del rinculo dei corpi materiali che emettono radiazione elettromagnetica scrisse: ''«L'apparato rinculerà come se un cannone avesse sparato un proiettile, contraddicendo il principio di [[Isaac Newton|Newton]], poiché il proiettile in questo caso non è [[massa (fisica)|massa]], è [[energia]].»''
=== La massa della radiazione di corpo nero: Hasenöhrl (1904-1905) e Planck (1907) ===
L'idea di Poincaré d'associare una massa e una [[quantità di moto]] alla radiazione elettromagnetica si dimostrò feconda. Nel 1902 [[Max Abraham]] introdusse<ref name=abraham/> il termine "momento elettromagnetico" con densità di campo pari a <math>E_{\rm em}/c^2</math> per cm<sup>3</sup> e <math>E_{\rm em}/c</math> per cm<sup>2</sup>. Al contrario di Lorentz e Poincaré, che lo consideravano ''fittizio'', Abraham sostenne che fosse un ente fisico ''reale'', che consentiva la conservazione complessiva della quantità di moto.
Nel 1904 [[Friedrich Hasenöhrl]], studiando la dinamica di un [[corpo nero]] in movimento, associò il concetto d'[[inerzia]] alla radiazione elettromagnetica della cavità.<ref>{{Cita pubblicazione|autore= F. Hasenöhrl |anno=1904 |titolo=Zur Theorie der Strahlung in bewegten Körpern [Sulla teoria della radiazione nei corpi in movimento]
|titolotradotto=[[s:en:Translation:On the Theory of Radiation in Moving Bodies|On the Theory of Radiation in Moving Bodies]]|rivista=Annalen der Physik |volume=320|numero=12
|pp=344–370|title-link=s:de:Zur Theorie der Strahlung in bewegten Körpern |lingua=de}}</ref>
Hasenöhrl suggerì che parte della massa del corpo (che denominò ''massa apparente'') può essere attribuita alla radiazione che rimbalza dentro la cavità. Siccome ogni corpo riscaldato emette radiazione elettromagnetico, la ''massa apparente'' della radiazione dipende dalla temperatura e risulta proporzionale alla sua [[energia]]: <math>m_{\rm ap} = (8/3) E/c^2</math>. Abraham corresse questo risultato di Hasenöhrl: in base alla definizione del "momento elettromagnetico" e della massa elettromagnetica longitudinale <math> m_L = {\gamma}^3 \, m_{\rm em}</math>, il valore della costante di proporzionalità avrebbe dovuto essere 4/3:
::<math>m_{\rm ap} = \frac{4}{3} \, \frac{E}{c^2}</math>,
come per la massa elettromagnetica <math>m_{\rm em}</math> di un corpo elettricamente carico in movimento. Nel 1905 Hasenöhrl rifece i calcoli, confermando il risultato di Abraham. Notò inoltre la similarità tra la ''massa apparente'' <math>m_{\rm ap}</math> di un [[corpo nero]] e quella elettromagnetica <math>m_{\rm em}</math> di un corpo carico.<ref>{{Cita pubblicazione|autore=F. Hasenöhrl|anno=1905|titolo=Zur Theorie der Strahlung in bewegten Körpern. Berichtigung|rivista=Annalen der Physik |volume=321 |numero=3 |pp=589–592 |titolotradotto=Sulla teoria della radiazione nei corpi in movimento. Correzione|lingua=de}}</ref><ref>{{cita libro | nome= A. I.| cognome= Miller | titolo= Albert Einstein's special theory of relativity. Emergence (1905) and early interpretation (1905–1911) | anno= 1981 | editore= Addison–Wesley | città= Reading |pp=359-360 |isbn=978-0-201-04679-3 |lingua=en}}</ref> Circa il termine 4/3 e la sua successiva eliminazione, si veda la parte finale della Sezione [[E=mc²#La massa elettromagnetica dell'elettrone (1881-1906)|''La massa elettromagnetica dell'elettrone (1881-1906)'']].
Nel 1907 [[Max Planck]], generalizzando il lavoro di Hasenöhrl, fornì una derivazione non relativistica della formula <math>E = mc^2</math>:''«mediante ogni assorbimento o emissione di calore la massa inerziale di un corpo si modifica, e l'incremento di massa è sempre uguale alla quantità di calore [...] divisa per il quadrato della velocità della luce nel vuoto.»''<ref>{{Cita pubblicazione|autore= M. Planck|anno=1907 |rivista= Sitzung der preusse Akademie der Wissenschaften (Berlin), Physikalische und Mathematische Klasse (13 Juni, 1907) [Seduta dell'Accademia prussiana delle Scienze (Berlino), Classi di Fisica e Matematica (13 giugno 1907)|pp=542-570; in particolare 566|lingua=de}}</ref>
=== L'articolo di Einstein del 1905 sull'equivalenza massa-energia ===
Einstein non utilizzò i simboli con cui oggi conosciamo la sua equazione nel suo articolo del 1905 "''L'inerzia di un corpo dipende dal suo contenuto di energia?''"<ref name="einstein"/> (uno degli articoli entrato a far parte della raccolta chiamata [[Annus Mirabilis Papers]]), ma lo fece successivamente. In quel suo primo articolo esaminò dapprima il caso della diminuzione di energia di un corpo sotto forma di radiazione in un sistema di riferimento in cui il corpo è in movimento e della conseguente perdita di massa, giungendo all'equazione nella forma:
::<math>\Delta m = \frac{L}{c^2}</math>
dove <math>L</math> (invece di <math>E</math>) rappresentava l'energia irraggiata dal corpo di cui una parte <math>\Delta m</math> della massa veniva convertita in luce, mentre <math>E</math> era usato nella dimostrazione per rappresentare l'energia totale.
Generalizzò quindi il concetto affermando che:
''«Se un corpo perde l'energia L sotto forma di radiazioni, la sua massa diminuisce di L/c². Il fatto che l'energia sottratta al corpo diventi energia di radiazione non fa alcuna differenza, perciò siamo portati alla più generale conclusione che la massa di qualunque corpo è la misura del suo contenuto di energia; se l'energia varia di L, la massa varia nello stesso senso di <math>L \,/\, (9 \times 10^{20})</math>, misurando l'energia in erg e la massa in grammi.»''.
In queste parole c'è la chiara consapevolezza di Einstein sulla validità universale della sua scoperta.
Nella parte finale dell'articolo, Einstein suggerì d'indagare il [[Radio (elemento chimico)|radio]], un elemento radioattivo, per verificare l'equivalenza massa-energia nel caso d'[[radioattività|emissione radioattiva]]: ''«Non è impossibile che nei corpi nei quali il contenuto in energia sia variabile in sommo grado (per esempio nei [[Cloruro di radio|sali di radio]]) la teoria possa essere sperimentata con successo.»''. In effetti, sarà proprio nel campo della fisica nucleare che si avranno sistematiche conferme della validità dell'equazione <math>E = mc^2</math>.
=== Derivazione di Born (1925) ===
Nel suo libro del 1925 ''Vorlesungen über Atommechanik'' (''Lezioni sulla meccanica atomica''), tradotto in italiano col titolo ''Fisica atomica'',<ref>{{cita libro | nome= M. | cognome= Born | titolo= Fisica atomica | anno= 1968 | editore= Boringhieri | città= Torino}}</ref> Max Born fornisce una derivazione meccanica ed elettromagnetica, originariamente proposta da Einstein, della formula <math>E = m c^2.</math><ref>{{cita libro | nome= M. | cognome= Born | titolo= Fisica atomica | pagine = 78-79 e 403|anno= 1968 | editore= Boringhieri | città= Torino}}</ref> Tale dimostrazione viene riportata in una versione modificata dai fisici italiani Enrico Smargiassi<ref>{{cita web|url=http://www-dft.ts.infn.it/~esmargia/physics/emc2.html |titolo= E' possibile ricavare l'equazione E = mc^2 dalla fisica classica ? |accesso= 4 giugno 2019}}</ref> e Gianluca Introzzi (intermittenza dell'emettitore <math>S</math>), in modo da introdurre il [[moto perpetuo]] come esito paradossale che richiede l'equivalenza massa-energia <math>m = E/c^2</math> per essere eliminato.
Si abbia una scatola a forma di parallelepipedo isolata, non soggetta a forze o attriti esterni e ferma rispetto ad un riferimento inerziale. All'interno sono fissati, sulle due pareti minori, un emettitore direzionale di luce intermittente <math>S</math> a sinistra ed un assorbitore <math>A</math> a destra, di ugual massa e distanti <math>l</math> tra loro. La massa complessiva del sistema scatola, emettitore e assorbitore sia <math>M</math>. Se <math>E</math> è l'energia di un segnale luminoso, il momento associato risulta essere <math>p = E/c</math> (vedi Sezione [[E=mc²#La massa della radiazione elettromagnetica: Poincaré (1900-1904)|''La massa della radiazione elettromagnetica: Poincaré (1900-1904)'']]). L'emissione verso destra del segnale luminoso da parte della sorgente <math>S</math> produce un rinculo della scatola verso sinistra, a causa del momento della scatola <math>q = Mv</math>, dove <math>v</math> è la velocità di spostamento della scatola verso sinistra. La scatola continuerà a muoversi verso sinistra, fino a che il segnale luminoso non sarà assorbito dall'assorbitore <math>A</math>. Il momento <math>p</math> trasferito dalla luce all'assorbitore compenserà esattamente quello <math>q</math> della scatola, arrestando il movimento del sistema. Il risultato netto sarà uno spostamento della scatola verso sinistra di una distanza <math>x = v \, t</math>.
Dalla conservazione della quantità di moto (<math>q - p = 0</math>) scritta esplicitamente:
::<math> M v - \frac{E}{c} = 0</math>
si ricava la velocità:
::<math>v = \frac{E}{cM} </math>.
Il tempo <math>t</math> è quello di volo del segnale luminoso dalla sorgente <math>S</math> all'assorbitore <math>A</math>. A meno di termini correttivi dell'ordine di <math>v/c</math>, il suo valore è
::<math>t = \frac{l}{c} </math>.
Quindi
::<math>x = v \, t = \frac{l}{c^2} \, \frac{E}{M} </math>.
Questo riultato è paradossale: un sistema isolato fermo in un riferimento inerziale non può spostare il proprio centro di massa (sarebbe equivalente ad uscire dalle [[sabbie mobili]] tirandosi per i propri capelli, come raccontava d'aver fatto il [[barone di Münchhausen]]).
L'emissione di un secondo segnale luminoso sposterà ulteriormente la scatola a sinistra di una lunghezza <math>x</math>. Continuando l'emissione e l'assorbimento di segnali luminosi nella scatola, sembrerebbe possibile ottenerne lo spostamento per distanze arbitrariamente grandi, senza che nessun altro cambiamento avvenga dentro la scatola o nelle sue vicinanze. Sarebbe la realizzazione del [[moto perpetuo]], ovviamente impossibile. I due apparenti paradossi (spostamento del centro di massa e moto perpetuo) scompaiono se si tien conto dell'equivalenza massa-energia di Einstein. Con l'emissione del segnale luminoso, l'emettitore <math>S</math> perde l'energia <math>E</math>, e quindi una massa <math>m</math> (per ora incognita). Similmente, l'energia e quindi la massa dell'assorbitore <math>A</math> aumentano delle stesse quantità. Per la conservazione della quantità di moto, il momento totale dovuto allo spostamento delle due masse <math>M</math> ed <math>m</math> durante il tempo di volo della luce <math>t</math> è
::<math>M v - m c = 0</math>,
da cui si ricava
::<math>m = \frac{M}{c} \, v</math>.
Sostituendo in questa relazione il valore precedentemente trovato per <math>v</math>, si ottiene infine
::<math>m = \frac{E}{c^2}</math>.
=== Derivazione di Rohrlich (1990) ===
Il fisico americano [[Fritz Rohrlich]] (1921 - 2018) è riuscito a dimostrare nel 1990 la formula <math>E = mc^2</math> senza servirsi di relazioni di tipo relativistico, basandosi esclusivamente sulle leggi della fisica classica, quali il principio di [[conservazione della quantità di moto]] e l'[[effetto Doppler]].<ref>{{cita pubblicazione|nome=F.|cognome=Rohrlich|titolo=An elementary derivation of E{{=}}mc²|rivista=American Journal of Physics|anno=1990|mese=aprile|volume=58|numero=4|p=348|lingua=en}}</ref>
Si consideri un corpo materiale <math>C</math> di massa <math>m_1</math> che si muova rispetto a un osservatore <math>O</math> con la velocità costante <math>v_1</math> molto bassa rispetto a quella della luce. Inoltre si prenda in considerazione un secondo osservatore <math>O_c</math> in quiete rispetto a <math>C</math>.
Si supponga che a un certo istante <math>t</math> il corpo <math>C</math> emetta due fotoni con la stessa energia <math>E = h\nu</math>, dove <math>h</math> è la costante di Planck e <math>\nu</math> la frequenza dei fotoni osservata da <math>O_c</math>, in quiete rispetto a <math>C</math>. I due fotoni sono emessi uno nella direzione del moto, l'altro in direzione opposta. Tenendo conto dell'effetto Doppler, l'osservatore <math>O</math> misurerà invece una frequenza pari a
::<math>\nu' = \nu \left(1 + \frac{v_1}{c}\right)</math>
per il fotone emesso in direzione del moto e pari a
::<math>\nu'' = \nu \left(1 - \frac{v_1}{c}\right)</math>
per quello emesso in direzione opposta.
L'energia radiante <math>E</math> emessa all'istante <math>t</math> che è osservata da <math>O</math> sarà dunque
::<math>E = h\nu\left(1 + \frac{v_1}{c}\right) + h\nu\left(1 - \frac{v_1}{c}\right) = 2h\nu</math>
Inoltre, per il principio di conservazione, la quantità di moto del corpo <math>C</math> osservata da <math>O</math> prima dell'emissione deve essere pari alla somma delle quantità di moto di <math>C</math> e dei due fotoni dopo l'emissione (si noti che la quantità di moto del secondo fotone, poiché emesso in direzione contraria al moto, va presa col segno negativo), quindi:
::<math>m_1 v_1 = m_2 v_2 + q' - q'' = m_2 v_2 + \frac{h\nu}{c} \left(1 + \frac{v_1}{c}\right) - \frac{h\nu}{c} \left(1 - \frac{v_1}{c}\right) = m_2 v_2 + v_1 \, \frac{2h\nu}{c^2}</math>
dove:
* <math>m_1</math> = massa del corpo C prima dell'emissione
* <math>v_1</math> = velocità del corpo C prima dell'emissione
* <math>m_2</math> = massa del corpo C dopo l'emissione
* <math>v_2</math> = velocità del corpo C dopo l'emissione
* <math>q'</math> = quantità di moto del fotone emesso in direzione del moto
* <math>q''</math> = quantità di moto del fotone emesso in direzione contraria a quella del moto
Data la natura simmetrica dell'effetto, l'osservatore <math>O_c</math> non rileverà dopo l'emissione dei due fotoni alcun cambiamento di moto del corpo <math>C</math>, che continuerà quindi a trovarsi in quiete rispetto a lui. Quindi per l'osservatore <math>O</math> dopo l'emissione sia l'osservatore <math>O_c</math>, sia il corpo <math>C</math> continueranno a muoversi con velocità <math>v_1</math> invariata. Perciò si conclude che <math>v_1 = v_2</math>.
Sostituendo <math>v_2</math> con <math>v_1</math> nell'equazione sulla quantità di moto ed introducendo la riduzione di massa <math>m</math> del corpo <math>C</math> dopo l'emissione pari a <math>m = m_1 - m_2</math>, dopo facili passaggi algebrici dalla si ottiene:
::<math>m = m_1 - m_2 = \frac{1}{v_1} \, v_1 \, \frac{2h\nu}{c^2} = \frac{2h\nu}{c^2}</math>
da cui, tenendo presente che <math> E = 2h\nu</math>, si ottiene:
::<math>E = mc^2</math>
ovvero che l'energia <math>E</math> irradiata dal corpo <math>C</math> è pari alla perdita di massa subita da <math>C</math> in seguito all'emissione, moltiplicata per il quadrato della velocità della luce nel vuoto.
==
<references/>
== Voci correlate ==
* [[Teoria della relatività]]
* [[Relatività ristretta]]
* [[Relatività generale]]
* [[Principio di relatività]]
* [[Principio di conservazione]]
* [[Galileo Galilei]]
* [[Isaac Newton]]
* [[Albert Einstein]]
* [[Energia totale relativistica]]
* [[Massa (fisica)]]
* [[Energia]]
==
{{interprogetto}}
== Collegamenti esterni ==
* {{en}} [http://news.bbc.co.uk/2/hi/science/nature/4457020.stm Happy 100th Birthday E=mc²] BBC
* {{en}} [http://news.bbc.co.uk/2/hi/entertainment/4145797.stm Einstein's E=mc² inspires ballet] BBC
* {{cita web|1=http://www.rambert.org.uk/index.html|titolo=Rampart Dance Company: Constant Speed E=mc²|lingua=en|accesso=11 gennaio 2006|urlarchivio=https://web.archive.org/web/20060104025546/http://www.rambert.org.uk/index.html|dataarchivio=4 gennaio 2006|urlmorto=sì}}
* {{cita web|1=http://www.edwardmuller.com/right17.htm|2=Edward Muller's Homepage > Antimatter Calculator|lingua=en|accesso=11 gennaio 2006|urlarchivio=https://web.archive.org/web/20051225230710/http://www.edwardmuller.com/right17.htm|dataarchivio=25 dicembre 2005|urlmorto=sì}}
* {{cita web|http://hypertextbook.com/facts/2000/MuhammadKaleem.shtml|Energy of a Nuclear Explosion|lingua=en}}
* {{cita web|https://www.fourmilab.ch/etexts/einstein/E_mc2/www/|Albert Einstein’s Sep. 27, 1905 paper|lingua=en}}
* {{cita web|url=http://www.symmetrymag.org/cms/?pid=1000067|titolo=Einstein's 1912 manuscript page displaying E=mc²|lingua=en}}
* {{en}} [http://www.pbs.org/wgbh/nova/einstein/ NOVA - Einstein's Big Idea] (PBS Television)
* {{cita web|http://www.cartesio-episteme.net/libro2.htm|Presentazione del libro di Umberto Bartocci}}
{{portale|energia|relatività}}
[[Categoria:Relatività ristretta]]
[[Categoria:Equazioni nella fisica]]
[[Categoria:Energia]]
[[Categoria:Albert Einstein]]
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