Matematica e Discussioni utente:188.152.71.139: differenze tra le pagine

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{{BenvenutoIP}}

[[File:Euclid.jpg|thumb|upright=1.4|[[Euclide]], matematico greco, immaginato da [[Raffaello]] nella sua opera ''[[Scuola di Atene]]'']]

La '''matematica''' (dal [[lingua greca|greco]] μάθημα (''máthema''), traducibile con i termini "scienza", "conoscenza" o "apprendimento";<ref>{{cita web|url=http://www.etimo.it/?term=matematica&find=Cerca|titolo=Matematica, Mattematica|editore=Vocabolario Etimologico della Lingua Italiana di Ottorino Pianigiani}}.</ref> μαθηματικός (''mathematikós'') significa "incline ad apprendere") è la disciplina che studia le [[Quantità (filosofia)|quantità]] (i [[Numero|numeri]]), lo [[Spazio (matematica)|spazio]],<ref name="Kneebone">{{Cita|Kneebone|p. 4|KN}}. {{citazione|Mathematics&nbsp;... is simply the study of abstract structures, or formal patterns of connectedness}}</ref> le [[Struttura (matematica)|strutture]] e i [[Calcolo (matematica)|calcoli]].<ref name="LaTorre">{{Cita|LaTorre|p. 2|QWE}}. {{citazione|Calculus is the study of change—how things change, and how quickly they change}}</ref><ref name="Ramana">{{Cita|Ramana|p. 2.10|RA}}. {{citazione|The mathematical study of change, motion, growth or decay is calculus}}</ref><ref name="Ziegler">{{Cita|Ziegler|p. 7, cap. ''What Is Mathematics?''|Z}}.</ref>

Per l'origine del termine occorre andare al vocabolo egizio ''maat'', nella cui composizione appare il simbolo del [[cubito]], strumento di misura lineare, un primo accostamento al concetto matematico. Simbolo geometrico di questo ordine è un rettangolo, da cui sorge la testa piumata della dea egizia [[Maat]], personificazione dei concetti di ordine, verità e giustizia. Figlia di Ra, unico Uno, creatore di ogni cosa, la sua potenza demiurgica è limitata e ordinata da leggi naturali e matematiche.

All'inizio del [[papiro di Rhind]] si trova questa affermazione: "''Il calcolo accurato è la porta d'accesso alla conoscenza di tutte le cose e agli oscuri misteri''". Il termine ''maat'' riappare in copto, in babilonese e in greco. In greco la radice ''ma'', ''math'', ''met'' entra nella composizione di vocaboli contenenti le idee di ragione, disciplina, scienza, istruzione, giusta misura, e in latino il termine ''materia'' indica ciò che può essere misurato.

Col termine matematica di solito si designa la [[materia di insegnamento|disciplina]] (ed il relativo corpo di conoscenze<ref>{{Cita libro|titolo=Acta Eruditorum|url=http://atena.beic.it/webclient/DeliveryManager?pid=13446956&search_terms=DTL36|accesso=22 maggio 2018|anno=1734|editore=|città=Leipzig|p=28}}</ref>) che studia problemi concernenti [[Numero|quantità]],<ref name="oxford">''Oxford English Dictionary'', lemma «Mathematics». {{Citazione|La scienza dello spazio, dei numeri, della quantità e della disposizione, i cui metodi prevedono un ragionamento logico e, di solito, l'utilizzo di una notazione simbolica, e che comprende la geometria, l'aritmetica, l'algebra e l'analisi.|''N.d.R. la traduzione in italiano non è ufficiale''|The science of space, number, quantity, and arrangement, whose methods involve logical reasoning and usually the use of symbolic notation, and which includes geometry, arithmetic, algebra, and analysis.|lingua=en}}</ref> estensioni e figure spaziali,<ref name="oxford" /> movimenti di corpi, e tutte le strutture che permettono di trattare questi aspetti in modo generale. La matematica fa largo uso degli strumenti della [[logica]] e sviluppa le proprie conoscenze nel quadro di sistemi ipotetico-deduttivi che, a partire da [[definizione|definizioni]] rigorose e da [[assioma|assiomi]] riguardanti proprietà degli oggetti definiti (risultati da un procedimento di [[astrazione (filosofia)|astrazione]], come [[triangolo|triangoli]], [[Funzione (matematica)|funzioni]], [[Vettore (matematica)|vettori]] ecc.), raggiunge nuove certezze, per mezzo delle [[dimostrazione|dimostrazioni]], attorno a proprietà meno intuitive degli oggetti stessi (espresse dai [[Teorema|teoremi]]).

La potenza e la generalità dei risultati della matematica le ha reso l'appellativo di ''regina delle scienze'':<ref>{{Cita|Sartorius von Waltershausen||Sartorius}}.</ref> ogni disciplina scientifica o tecnica, dalla [[fisica]] all'[[ingegneria]], dall'[[economia]] all'[[informatica]], fa largo uso degli strumenti di analisi, di calcolo e di modellizzazione offerti dalla matematica.

== Descrizione ==

=== Evoluzione e finalità della matematica ===

{{vedi anche|Storia della matematica}}

[[File:Egyptian A'h-mosè or Rhind Papyrus (1065x1330).png|thumb|left|upright=0.7|Papiro egiziano che tratta di matematica]]

La matematica ha una lunga tradizione presso tutti i popoli della storia antica e moderna; è stata la prima disciplina a dotarsi di metodi di elevato rigore e portata. Ha progressivamente ampliato gli argomenti della sua indagine e progressivamente ha esteso i settori ai quali può fornire aiuti computazionali e di modellizzazione. È significativo che, in talune lingue e in talune situazioni, al termine singolare si preferisca il plurale ''matematiche''.

Nel corso della sua lunga storia e nei diversi ambienti culturali si sono avuti periodi di grandi progressi e periodi di [[stagnazione]] degli studi.<ref>{{Cita|Boyer|p. 243}}.</ref> Questo in parte è dovuto a singoli personaggi, capaci di dare apporti profondamente innovativi e illuminanti e di stimolare all'indagine matematica grazie alle loro doti didattiche. Si sono avuti anche periodi di arretramento delle conoscenze e dei metodi, specie in relazione a eventi distruttivi o a periodi di decadenza complessiva della vita intellettuale e civile. Negli ultimi 500 anni, per il miglioramento dei mezzi di comunicazione, è prevalsa la crescita del patrimonio di risultati e di metodi,

dovuta alla natura stessa delle attività matematiche, tese alla esposizione precisa di problemi e soluzioni; ciò impone di comunicare col fine ultimo di chiarire ogni dettaglio delle costruzioni logiche e dei risultati (alcuni chiarimenti richiedono un impegno non trascurabile, talora molti decenni). Questo ha corrisposto alla definizione di un [[linguaggio]], strumento esemplare per la trasmissione e la sistemazione delle conoscenze.

=== Il linguaggio e il rigore matematico ===

[[File:Leonhard Euler 2.jpg|thumb|[[Eulero]], che ha creato e reso popolare gran parte della notazione matematica correntemente utilizzata]]

Del linguaggio matematico moderno, fatto di simboli riconosciuti in tutto il mondo, la maggior parte è stata introdotta dopo il XVI secolo.<ref>{{cita web|lingua=en|titolo=Earliest Uses of Various Mathematical Symbols|url=http://jeff560.tripod.com/mathsym.html|editore=http://jeff560.tripod.com/}}</ref> Prima di allora la matematica era scritta usando parole, un processo faticoso che rallentava le scoperte matematiche.<ref>Si osservino, ad esempio, gli scritti di [[Diofanto di Alessandria]].</ref> [[Eulero]] (1707-1783) è stato il responsabile di molte delle notazioni oggi in uso. La notazione matematica moderna rende molto più facile il lavoro del matematico, ma i principianti lo trovano scoraggiante. È estremamente compressa: pochi simboli contengono una grande quantità di informazioni; come le [[nota musicale|note musicali]], la notazione matematica moderna ha una sintassi rigorosa (che in misura limitata varia da autore ad autore, e da disciplina a disciplina) e codifica informazioni difficili da scrivere in qualsiasi altro modo.

[[File:Infinity symbol.svg|thumb|left|upright|Il simbolo dell'[[infinito (matematica)|infinito]] (∞) in caratteri tipografici diversi]]

Il linguaggio matematico può essere difficile per i principianti. Parole come ''o'' e ''solo'' hanno precisi significati, più che nella lingua corrente. Inoltre, parole come [[insieme aperto|aperto]] e [[Campo (matematica)|campo]] hanno specifici significati matematici. Il ''gergo matematico'' comprende moltissimi termini tecnici, come [[omeomorfismo]] e [[integrale|integrabile]], perché la matematica richiede assai più precisione del linguaggio quotidiano.

Nelle [[dimostrazione matematica|dimostrazioni matematiche]] è fondamentale il rigore. Per rigore si intende un utilizzo preciso e [[logica matematica|logico]] di [[teorema|teoremi]] già dimostrati, in modo che, analizzando la dimostrazione in profondità attraverso un processo a ritroso, si arrivi ad [[assiomi]] e [[definizione|definizioni]] ''universalmente accettati''. Il livello di rigore richiesto in matematica è variato col tempo: i Greci richiedevano argomentazioni dettagliate, ma nel periodo di [[Isaac Newton]] il rigore utilizzato nelle dimostrazioni si era alleggerito. I problemi nati dalle definizioni usate da [[Isaac Newton|Newton]] hanno portato alla rinascita di una attenta analisi delle dimostrazioni nel corso del [[XIX secolo|Diciannovesimo secolo]]. Il significato di rigore matematico non è sempre chiaro. Ad esempio i matematici continuano a discutere sull'opportunità di considerare valide le dimostrazioni effettuate attraverso computer: dato che lunghi calcoli sono difficili da verificare, tali dimostrazioni potrebbero essere considerate non sufficientemente rigorose.<ref>{{Cita|Peterson|p. 4|Peterson}}. {{Citazione|A few complain that the computer program can't be verified properly}}</ref>

Gli assiomi, nel pensiero tradizionale, erano considerati le "verità auto-evidenti", ma questa concezione comporta alcuni problemi. A livello formale, un assioma è solo una successione di [[logica matematica|simboli]], che ha un significato intrinseco solo nel contesto di tutte le formule derivabili di un [[sistema assiomatico]]. L'obiettivo del [[programma di Hilbert]] è stato proprio quello di fornire l'intera matematica di una solida base assiomatica, ma secondo il [[Teoremi di incompletezza di Gödel|teorema di incompletezza di Gödel]] una completa assiomatizzazione della matematica è impossibile. Nonostante ciò, la matematica è spesso immaginata consistere (per lo meno nel suo contenuto formale) nella [[teoria degli insiemi]] in una qualche assiomatizzazione, nel senso che ogni enunciato matematico, o dimostrazione, può essere scritto con formule esprimibili all'interno di tale teoria.<ref>{{Cita|Suppes|p. 1|SUP}}.

{{Citazione|Among the many branches of modern mathematics set theory occupies a unique place: with a few rare exceptions the entities which are studied and analyzed in mathematics may be regarded as certain particular sets or classes of objects.}}</ref>

=== Matematica teorica e applicata ===

{{vedi anche|Matematica pura|Matematica applicata}}

[[File:Chinese pythagoras.jpg|thumb|[[Teorema di Pitagora]] in uno scritto cinese datato tra il [[500 a.C.]] e il [[200 a.C.]]. Il teorema ha importanti ricadute pratiche e teoriche]]

Le attività matematiche sono naturalmente interessate alle possibili generalizzazioni e astrazioni, in relazione alle economie di pensiero e ai miglioramenti degli strumenti (in particolare degli strumenti di calcolo) che esse sono portate a realizzare. Le generalizzazioni e le astrazioni quindi spesso conducono a visioni più approfondite dei problemi e stabiliscono rilevanti sinergie tra progetti di indagine inizialmente rivolti ad obiettivi non collegati.

Nel corso dello sviluppo della matematica si possono rilevare periodi ed ambienti nei quali prevalgono alternativamente atteggiamenti generali e valori riconducibili a ''due'' differenti generi di motivazioni e di approcci: le ''motivazioni applicative'', con la loro spinta a individuare procedimenti efficaci, e le esigenze di ''sistemazione concettuale'' con la loro sollecitazione verso generalizzazioni, astrazioni e panoramiche strutturali.

Si tratta di due generi di atteggiamenti tra i quali si costituisce una certa polarizzazione; questa talora può diventare contrapposizione, anche astiosa, ma in molte circostanze i due atteggiamenti stabiliscono rapporti di reciproco arricchimento e sviluppano sinergie. Nel lungo sviluppo della matematica si sono avuti periodi di prevalenza di uno o dell'altro dei due atteggiamenti e dei rispettivi sistemi di valori.

Del resto la stessa nascita della matematica può ragionevolmente ricondursi a due ordini di interessi: da un lato le esigenze applicative che fanno ricercare valutazioni praticabili; dall'altro la ricerca di verità tutt'altro che evidenti, forse tenute nascoste, che risponde ad esigenze immateriali, la cui natura può essere filosofica, religiosa o estetica.

Negli ultimi 30 o 40 anni tra i due atteggiamenti si riscontra un certo equilibrio non privo di tensioni riemergenti, ma con molteplici episodi di mutuo supporto. A questo stato di cose contribuisce non poco la crescita del mondo del computer, rispetto al quale il mondo della matematica presenta sia canali di collegamento (che è ormai assurdo cercare di interrompere) che differenze, ad esempio differenze dovute a diverse velocità di mutazione e a diversi stili comunicativi, che proiettano le due discipline agli antipodi.

== Argomenti principali ==

Cerchiamo ora di segnalare a grandi linee i temi dell'indagine matematica, illustrando una sorta di itinerario per un progressivo accostamento dei problemi, delle argomentazioni e delle sistemazioni teoriche.

=== Aritmetica ===

{{Vedi anche|Aritmetica}}

I primi problemi che inducono ad accostarsi alla matematica sono quelli che si possono affrontare con l'[[aritmetica]] elementare: i calcoli eseguibili con le quattro operazioni possono riguardare contabilità finanziarie, valutazioni di grandezze [[geometria|geometriche]] o [[Meccanica (fisica)|meccaniche]], calcoli relativi agli oggetti ed alle tecniche che si incontrano nella vita quotidiana.

I più semplici di questi calcoli possono effettuarsi servendosi solo di [[Numeri naturali|numeri interi naturali]], ma presto i problemi di calcolo richiedono di saper trattare i [[Numeri interi|numeri interi relativi]] e i [[numeri razionali]].

=== Algebra ===

{{Vedi anche|Algebra}}

I problemi aritmetici più semplici sono risolti mediante formule che forniscono risultati conseguenti. Ad esempio: l'area di un [[rettangolo]] con lati lunghi <math> 3 </math> e <math> 5 </math> è il loro prodotto <math> 3 \times 5 = 15 </math>. Complicando gli enunciati diventa necessario servirsi di [[equazione|equazioni]].

Ad esempio: per il [[teorema di Pitagora]], se un [[triangolo]] rettangolo ha i lati più corti ([[cateto|cateti]]) di lunghezza <math> 3 </math> e <math> 4 </math>, quello più lungo ([[ipotenusa]]) ha come lunghezza il numero positivo <math> x </math> che risolve l'equazione:

<math> x^2 - 3^2 - 4^2 = 0 \;</math>.

Le equazioni più semplici sono le [[Sistema di equazioni lineari|equazioni lineari]], sia perché rappresentano le questioni [[geometria|geometriche]] più semplici, sia perché sono risolvibili con procedimenti standard.

Nelle formule e nelle [[equazione|equazioni]] conviene far entrare [[parametro (matematica)|parametri]] con valori indeterminati: in tal modo si viene a disporre di strumenti di portata più generale, che permettono di conseguire evidenti economie di pensiero.

Ad esempio: in un [[triangolo]] rettangolo con [[cateto|cateti]] di

lunghezza <math> a </math> e <math> b </math>, la lunghezza dell'ipotenusa è il numero positivo <math> x </math> tale che <math> x^2 -a^2 - b^2 = 0 \;</math>.

Per meglio valutare le formule e per risolvere molti tipi di [[equazione|equazioni]] è necessario sviluppare un calcolo letterale che permetta di rimaneggiarle. Le regole di questo calcolo letterale costituiscono la cosiddetta [[algebra elementare]].

L'algebra moderna si occupa anche dello studio delle relazioni fra [[Insieme|insiemi]] e delle [[Struttura algebrica|strutture algebriche]], cioè strutture che caratterizzano insiemi concreti (come i numeri) o astratti sui quali è stata definita una o più operazioni.

=== Geometria ===

{{Vedi anche|Geometria}}

Lo studio della [[geometria piana]] e spaziale riguarda inizialmente [[Concetto primitivo|primitivi]]: il [[punto (geometria)|punto]], la [[retta]], il [[Piano (geometria)|piano]]. Combinando questi elementi nel [[Piano (geometria)|piano]] o nello [[Spazio (matematica)|spazio]] si ottengono altri oggetti quali [[segmento|segmenti]], [[angolo|angoli]], [[angolo solido|angoli solidi]], [[poligono|poligoni]] e [[poliedro|poliedri]].

Punto, retta, piano e spazio hanno [[dimensione]] rispettivamente 0, 1, 2 e 3. Tramite il [[calcolo vettoriale]] si definiscono e studiano [[Spazio (matematica)|spazi]] a [[dimensione]] più alta (anche [[spazio di Hilbert|infinita]]). Gli analoghi "curvi" di questi spazi "piatti" sono le [[curva (matematica)|curve]] e le [[superficie|superfici]], di dimensione rispettivamente 1 e 2.

Uno spazio curvo in [[dimensione]] arbitraria si chiama [[varietà differenziabile|varietà]].

Dentro a questo spazio si possono spesso definire punti e rette (dette [[geodetica|geodetiche]]), ma la [[geometria]] che ne consegue può non soddisfare gli [[geometria euclidea|assiomi di Euclide]]: una tale [[geometria]] è generalmente detta [[geometria non euclidea|non euclidea]]. Un esempio è dato dalla [[superficie]]

terrestre, che contiene [[triangolo|triangoli]] aventi tutti e tre gli angoli retti.

=== Analisi ===

{{Vedi anche|Analisi matematica}}

L'analisi riguarda principalmente il [[calcolo infinitesimale]], introduce la fondamentale nozione di [[Limite (matematica)|limite]], e quindi di [[derivata]] e [[integrale]]. Con questi strumenti sono analizzati i comportamenti delle [[Funzione (matematica)|funzioni]], che spesso non hanno una descrizione esplicita ma sono soluzioni di una [[equazione differenziale]], derivante ad esempio da un problema [[fisica|fisico]].

== Settori ==

[[File:Abacus 6.png|thumb|Un [[abaco]], un semplice mezzo di calcolo utilizzato fin dai tempi antichi]]

Come riportato sopra, le discipline principali sviluppate all'interno della matematica sono nate dalla necessità di eseguire calcoli nel commercio, di capire i rapporti fra i numeri, di misurare la terra e di predire eventi astronomici. Questi quattro bisogni possono essere collegati approssimativamente con la suddivisione della matematica nello studio sulla quantità, sulla struttura, sullo spazio e sul cambiamento (cioè, [[aritmetica]], [[algebra]], [[geometria]] e [[analisi matematica]]). Oltre a queste, vi sono altre suddivisioni come la [[logica]], la [[teoria degli insiemi]], la matematica empirica di varie scienze (matematica applicata) e più recentemente allo studio rigoroso dell'[[incertezza di misura|incertezza]].

=== Quantità ===

Lo studio sulle quantità inizia con i [[numeri]], in primo luogo con i [[numeri naturali]] ([[numeri interi|numeri interi non negativi]]) e tramite operazione aritmetiche su di essi. Le proprietà più profonde dei numeri interi sono studiate nella [[teoria dei numeri]], di cui un esempio famoso è l'[[ultimo teorema di Fermat]]. La teoria dei numeri inoltre presenta due problemi non risolti, largamente considerati e discussi: la [[Congettura dei numeri primi gemelli]] e la [[congettura di Goldbach]].

I numeri interi sono riconosciuti come sottoinsieme dei numeri razionali ("[[frazione (matematica)|frazioni]]"). Questi, a loro volta, sono contenuti all'interno dei [[numeri reali]], usati per rappresentare quantità continue. I numeri reali sono generalizzati ulteriormente dai [[numeri complessi]]. Queste sono i primi punti di una gerarchia dei numeri che continua ad includere i [[quaternioni]] e gli [[ottonioni]]. L'analisi dei numeri naturali conduce inoltre ai numeri infiniti.

{| style="border:1px solid #999; text-align:center;" cellspacing="20" align="center"

| <math>0; 1; 2; \ldots </math> || <math>0; 1; -1; \ldots </math> || <math>\frac{1}{2}; 0{,}7;\ldots </math> || <math>\pi; e; \sqrt{2},\ldots </math> || <math>i; e^{i\pi/3};\ldots </math>

|-

| [[Numeri naturali]] || [[Numeri interi]] || [[Numeri razionali]] || [[Numeri reali]] || [[Numeri complessi]]

|}

=== Strumenti ===

{| style="border:1px solid #999; text-align:center;" cellspacing="20" align="center"

| <math>36 \div 9 =4 </math>

| <math>x^2+3x+1=0 </math>

| <math>\int 1_S\,d\mu=\mu(S) </math>

|-

| [[Aritmetica]]

| [[Algebra]]

| [[Analisi matematica|Analisi]]

|-

| [[File:Vector field.svg|96px]]

| <math>\begin{matrix} A^{\mu \nu} B_{\sigma \tau}= T^{\mu\nu}_{\sigma \tau} \\ A^{\mu}_\nu B^\tau _\sigma = T^{\mu \tau}_{\nu \sigma } \end{matrix} </math>

| <math> \frac {\partial p(x,y)} {\partial y} = \frac {\partial q(x,y) } {\partial x} </math>

|-

| [[Calcolo vettoriale]]

| [[Calcolo tensoriale]]

| [[Equazione differenziale|Equazioni differenziali]]

|-

| [[File:Block diagram.png|96px]]

| [[File:LorenzAttractor.png|96px]]

| [[File:Daubechies20LowPassHighPass2DFilter.png|96px]]

|-

| [[Teoria dei sistemi]]

| [[Teoria del caos]]

| [[Lista di funzioni]]

|}

==== Strumenti informatici ====

Fra gli [[informatica|strumenti informatici]] negli ultimi anni si sono resi disponibili vari generi di pacchetti software volti ad automatizzare l'esecuzione di calcoli numerici, le elaborazioni simboliche, la costruzione di grafici e di ambienti di visualizzazione e, di conseguenza, volti a facilitare lo studio della matematica e lo sviluppo delle applicazioni che possano essere effettivamente incisive.

Particolare importanza ed efficacia vanno assumendo quelli che vengono chiamati [[Sistema di algebra computazionale|sistemi di algebra computazionale]] o addirittura con il termine inglese [[Computer algebra system]]s, abbreviato con [[Sistema di algebra computazionale|CAS]].

Segnaliamo alcuni programmi [[open source]] o comunque gratuitamente disponibili per lo studio della matematica:

{| style="border:1px solid #999; text-align:center;" cellspacing="20" align="center" width="100%"

|| [[File:Maximalogo.png|110px|Maxima logo]]

| align="left" | [[Maxima (software)|Maxima]] è un ''sistema di algebra computazionale (computer algebra system o CAS)'' completo scritto in [[Lisp]]. È basato su DOE-MACSYMA e distribuito con licenza [[GNU GPL]].

|| [http://maxima.sourceforge.net/ http://maxima.sourceforge.net/]

|-

|| [[File:Scilab logo.jpg|110px|Scilab logo]]

| align="left" | [[Scilab]] è un [[software]] creato per il [[analisi numerica|calcolo numerico]], include un gran numero di funzioni sviluppate per le applicazioni scientifiche e [[ingegneria|ingegneristiche]]. Utilizza una sintassi analoga a [[MATLAB]], consente l'aggiunta di nuove funzioni scritte in vari linguaggi ([[C (linguaggio)|C]], [[Fortran]]...) e gestisce vari tipi di strutture (liste, [[polinomio|polinomi]], [[Funzione (matematica)|funzioni razionali]], sistemi lineari).

|| [https://web.archive.org/web/20040727171441/http://scilabsoft.inria.fr/ https://web.archive.org/web/20040727171441/http://scilabsoft.inria.fr/]

|-

|| [[File:R logo.svg|80px|R logo]]

| align="left" | [[R (software)|R]] è un ambiente di sviluppo specifico per l'analisi [[statistica]] dei dati che utilizza un linguaggio di programmazione derivato e in larga parte compatibile con [[S (software)|S]]. Venne scritto inizialmente da [[Robert Gentleman]] e [[Ross Ihaka]].

|| [http://www.r-project.org/ http://www.r-project.org/]

|-

|| [[File:Gnu-octave-logo.svg|80px|Octave logo]]

| align="left"| [[GNU Octave]] è un linguaggio di alto livello pensato principalmente per il calcolo numerico ed elaborato inizialmente da J.W. Eaton e altri (compatible con [[MATLAB]]).

|| [http://www.octave.org http://www.octave.org]

|}

=== Strutture ===

Molti oggetti matematici, come gli insiemi di numeri e [[funzione (matematica)|funzioni]], mostrano la loro struttura interna e coerente. Le proprietà strutturali di questi oggetti sono investigate nello studio di [[gruppo (matematica)|gruppi]], [[Anello (algebra)|anelli]], [[campo (matematica)|campi]] e altri sistemi astratti, i quali sono a loro volta oggetti. Questo è il campo dell'[[algebra astratta]]. In questo campo un concetto importante è rappresentato dai [[vettore (matematica)|vettori]], generalizzati nello [[spazio vettoriale]], e studiati nell'[[algebra lineare]]. Lo studio di vettori combina tre tra le fondamentali aree della matematica: quantità, struttura, e spazio. Il [[calcolo vettoriale]] espande il campo in una quarta area fondamentale, quella delle variazioni.

<div align="center">

{| style="border:1px solid #999; text-align:center;" cellspacing="15"

| [[File:Knot 8sb19.svg|96px]] || [[File:Elliptic curve simple.png|96px]] || [[File:Group diagram d6.svg|96px]]

|-

| [[Algebra astratta]] || [[Teoria dei numeri]] || [[Gruppo (matematica)|Teoria dei gruppi]]

|-

|| [[File:Torus.png|96px]] || [[File:InitialTopology-01.png|96px]] || [[File:Lattice of the divisibility of 60.svg|96px]]

|-

| [[Topologia]] || [[Teoria delle categorie]] || [[Teoria degli ordini]]

|}

</div>

=== Spazi ===

Lo studio dello spazio inizia con la [[geometria]], in particolare con la [[geometria euclidea]]. La [[Trigonometria]] poi combina simultaneamente spazio e numeri. Lo studio moderno dello spazio generalizza queste premesse includendo la [[Geometria non euclidea]] (che assume un ruolo centrale nella teoria della [[relatività generale]]) e la [[topologia]]. Quantità e spazio sono trattati contemporaneamente in [[geometria analitica]], [[geometria differenziale]], e [[geometria algebrica]]. Con la geometria algebrica si ha la descrizione di oggetti geometrici come insiemi di soluzioni di [[equazioni polinomiali]] combinando i concetti di quantità e spazio, e anche lo studio di [[gruppi topologici]], i quali combinano a loro volte spazio e strutture. I [[gruppi di Lie]] sono usati per studiare lo spazio, le strutture e le variazioni. La [[Topologia]] in tutte le sue molte ramificazioni può essere considerata la zona di sviluppo più grande nella matematica del XX secolo ed include la [[congettura di Poincaré]] e il controverso [[teorema dei quattro colori]], di cui l'unica prova, eseguita a computer, non è mai stata verificata da un essere umano.

<div align="center">

{| style="border:1px solid #999; text-align:center;" cellspacing="15"

| [[File:Torus.png|96px]] || [[File:Illustration to Euclid's proof of the Pythagorean theorem.svg|96px]] || [[File:Taylorsine.svg|128px]] || [[File:Osculating circle.svg|96px]] || [[File:Koch curve.png|96px]]

|-

| [[Topologia]] || [[Geometria]] || [[Trigonometria]] || [[Geometria differenziale]] || [[Geometria frattale]]

|} </div>

=== Matematica discreta ===

Matematica discreta è il nome comune per i campi della matematica utilizzati nella maggior parte dei casi nell'[[informatica teorica]]. Questa include [[teoria della computazione]], [[teoria della complessità computazionale]], e [[informatica teorica]]. La teoria della computazione esamina le limitazioni dei vari modelli di computer, compresi i modelli più potenti conosciuti - la [[Macchina di Turing]]. La teoria della complessità è lo studio delle possibilità di trattazione da parte di un calcolatore; alcuni problemi, nonostante siano teoricamente risolvibili attraverso un calcolatore, sono troppo costosi in termini di tempo o spazio tanto che risolverli risulta praticamente impossibile, anche prevedendo una rapida crescita delle potenze di calcolo. Infine la teoria dell'informazione si interessa della quantità di dati che possono essere immagazzinati su un dato evento o mezzo e quindi di concetti come [[compressione dei dati]] e [[entropia (teoria dell'informazione)|entropia]].

Come campo relativamente nuovo, la matematica discreta possiede un numero elevato di problemi aperti. Il più famoso di questi è il problema " [[P=NP|P=NP?]]" uno dei [[problemi per il millennio]].<ref>{{cita news|url=http://www.ilpost.it/mauriziocodogno/2010/08/09/p-np-o-no/|titolo=P != NP (o no?)|editore=Il Post|accesso=22 novembre 2014|anno=9 agosto 2010}}</ref>

<div align="center">

{| style="border:1px solid #999; text-align:center;" cellspacing="15"

| <math>\begin{matrix} \left [ 1,2,3 \right ] & \left [ 1,3,2 \right ] \\ \left [ 2,1,3 \right ] & \left [ 2,3,1 \right ] \\ \left [ 3,1,2 \right ] & \left [ 3,2,1 \right ] \end{matrix} </math> || [[File:Venn A intersect B.svg|96px]] || [[File:DFAexample.svg|96px]] || [[File:Caesar3.svg|96px]] || [[File:6n-graf.svg|96px]]

|-

| [[Calcolo combinatorio]] || [[Teoria ingenua degli insiemi]] || [[Teoria della computazione]] || [[Crittografia]] || [[Teoria dei grafi]]

|} </div>

=== Matematica applicata ===

La matematica applicata considera l'utilizzo della matematica teorica come strumento utilizzato per la risoluzione di problemi concreti nelle [[scienze]], negli affari e in molte altre aree. Un campo importante della matematica è la [[statistica]], la quale utilizza la [[teoria della probabilità]] e permette la descrizione, l'analisi, e la previsione di fenomeni aleatori. La maggior parte degli esperimenti, delle indagini e degli studi d'osservazione richiedono l'utilizzo della statistica (molti statistici, tuttavia, non si considerano come veri e propri matematici, ma come parte di un gruppo collegato ad essi). L'[[analisi numerica]] investiga metodi computazionali per risolvere efficientemente una vasta gamma di problemi matematici che sono, in genere, troppo grandi per le capacità di calcolo umane; essa include lo studio di vari tipi di [[Errore statistico|errore]] che generalmente si verificano nel calcolo.

:{| style="border:1px solid #ddd; text-align:center; margin: auto;" cellspacing="13"

| [[File:Gravitation space source.png|96px]] || [[File:BernoullisLawDerivationDiagram.png|96px]] || [[File:Maximum boxed.png|96px]]

|| [[File:Two red dice 01.svg|96px]] || [[File:Oldfaithful3.png|96px]] || [[File:Market Data Index NYA on 20050726 202628 UTC.png|96px]] || [[File:Arbitrary-gametree-solved.png|96px]] ||

|-

| [[Fisica matematica]] || [[Meccanica dei fluidi|Fluidodinamica matematica]] || [[Ottimizzazione (matematica)|Ottimizzazione]] || [[Probabilità]] || [[Statistica]] || [[Matematica finanziaria]] || [[Teoria dei giochi]]

|}

== Note ==

<references/>

== Bibliografia ==

=== Letture introduttive ===

* {{cita libro |titolo=Mathematical Logic and the Foundations of Mathematics: An Introductory Survey |editore=Dover |autore=G.T. Kneebone |anno=1963 |lingua=en |ISBN=0-486-41712-3 |cid=KN}}

* {{cita libro|lingua=inglese|titolo=Applied Mathematics |editore=Tata McGraw–Hill Education |autore=Ramana |anno=2007 |ISBN=0-07-066753-5|cid=RA}}

* {{cita libro |lingua=inglese|titolo=Calculus Concepts: An Informal Approach to the Mathematics of Change |editore=Cengage Learning |autore=LaTorre, Donald R., John W. Kenelly, Iris B. Reed, Laurel R. Carpenter, e Cynthia R. Harris |anno=2011 |ISBN=1-4390-4957-2 |cid=QWE}}

* {{cita libro|nome= Carl Benjamin |cognome= Boyer|wkautore= Carl B. Boyer |titolo= [[Storia della matematica (Boyer)|Storia della matematica]] |traduttore= Adriano Carugo|editore= Mondadori|anno= 1991|isbn= 88-04-33431-2| cid= Boyer}}

* [[Richard Courant]], [[Herbert Robbins]], [[Ian Stewart (matematico)|Ian Stewart]] (1996): ''[[Che cos'è la matematica?|What Is Mathematics?: An Elementary Approach to Ideas and Methods]]'', 2nd ed., Oxford University Press, ISBN 0-19-510519-2 [trad. it. ''Che cos'è la matematica'', seconda edizione riveduta da Ian Stewart, Bollati Boringhieri, 2000]

* [[Gian-Carlo Rota]] (1997): ''Indiscrete Thoughts'', Birkhäuser, ISBN 0-8176-3866-0

* [[Keith Devlin]] (2000): ''The Language of Mathematics: Making the Invisible Visible'', Owl Books, ISBN 0-8050-7254-3 [trad. it. ''Il linguaggio della matematica'', Bollati Boringhieri, 2002]

* [[Timothy Gowers]] (2002): ''Mathematics, a very short introduction'', Oxford University Press, ISBN 0-19-285361-9 - trad. italiana ''[[Matematica - un'introduzione]]'', Giulio Einaudi (2004).

* [[Philip J. Davis]] e [[Reuben Hersh]]: ''The Mathematical Experience''. Birkhäuser, Boston, Mass., (1980).

* [[Riccardo Bersani]] - [[Ennio Peres]]: '' Matematica, corso di sopravvivenza '' TEA Pratica 2002 1* Edizione Ponte delle Grazie Milano ISBN 88-502-0104-4

* [[Philip J. Davis]]: ''Il mondo dei grandi numeri'' Zanichelli, Matematica Moderna, 1968.

* [[Boris de Rachewiltz]]: ''Egitto Magico Religioso'', edizioni Terra di Mezzo, capitolo: l'universo matematico, il culto di Maat, dea astratta della verità e della Giustizia.

* {{cita libro |titolo=An Invitation to Mathematics: From Competitions to Research |lingua=inglese|editore=Springer |autore=Ziegler, Günter M. |anno=2011 |ISBN=3-642-19532-6|cid=Z}}

=== Approfondimenti ===

* {{cita libro|autore=Wolfgang Sartorius von Waltershausen|anno=1856|titolo=Gauss zum Gedächtniss|lingua=tedesco|editore=Sändig Reprint Verlag H. R. Wohlwend|ISBN=3-253-01702-8|cid=Sartorius}}

* [[Morris Kline]] (1981): ''Mathematics - The loss of Certainty''. Oxford University Press (1980). (Esposizione di livello medio dei cambiamenti di concezione della matematica che si sono imposti nel [[XX secolo]].)

* Björn Engquist, Wilfried Schmid eds. (2001): ''Mathematics Unlimited - 2001 and beyond'', Springer. Raccolta di una ottantina di articoli di matematici militanti sullo stato corrente e sulle prospettive della ricerca matematica.

* {{cita libro|autore=Ivars Peterson|titolo=The Mathematical Tourist|editore=Freeman|anno=1988|ISBN=0-7167-1953-3|cid=Peterson}}

* {{cita libro|autore=Patrick Suppes|cid=SUP|titolo=Axiomatic Set Theory|editore=Dover|anno=1972|ISBN=0-486-61630-4}}

== Voci correlate ==

{{Colonne}}

; Quantità

* [[Numero]]

* [[Numeri naturali]]

* [[Pi Greco]]

* [[Numeri interi]]

* [[Numeri razionali]]

* [[Numeri reali]]

* [[Numeri complessi]]

* [[Numeri ipercomplessi]]

* [[Quaternioni]]

* [[Ottetto (matematica)|Ottetti]]

* [[Sedenioni]]

* [[Numeri iperreali]]

* [[Numeri surreali]]

* [[Numeri ordinali]]

* [[Numeri cardinali]]

* [[Numeri p-adici|Numeri ''p''-adici]]

* [[Successione di interi|Successioni di interi]]

* [[Costanti matematiche]]

* [[Nome dei numeri]]

* [[Infinito (matematica)]]

; Strutture

* [[Algebra astratta]]

* [[Teoria dei numeri]]

* [[Geometria algebrica]]

* [[Gruppo (matematica)]]

* [[Monoide]]

* [[Analisi Matematica]]

* [[Topologia]]

* [[Algebra lineare]]

* [[Teoria dei grafi]]

* [[Algebra universale]]

* [[Teoria delle categorie]]

; Spazi

* [[Topologia]]

* [[Geometria]]

* [[Trigonometria]]

* [[Geometria algebrica]]

* [[Geometria differenziale]]

* [[Topologia differenziale]]

* [[Topologia algebrica]]

* [[Algebra lineare]]

* [[Geometria frattale]]

* [[Teoria della misura]]

* [[Analisi funzionale]]

{{Colonne spezza}}

; Teoremi e congetture famose

* [[Ultimo teorema di Fermat]]

* [[Ipotesi di Riemann]]

* [[Ipotesi del continuo]]

* [[Complessità P e NP]]

* [[Congettura di Goldbach]]

* [[Congettura dei numeri primi gemelli]]

* [[Teoremi di incompletezza di Gödel]]

* [[Congettura di Poincaré]]

* [[Argomento diagonale di Cantor]]

* [[Teorema di Pitagora]]

* [[Teorema del limite centrale]]

* [[Teorema fondamentale del calcolo integrale]]

* [[Teorema fondamentale dell'algebra]]

* [[Teorema fondamentale dell'aritmetica]]

* [[Teorema dei quattro colori]]

* [[Lemma di Zorn]]

* [[Identità di Eulero]]

* [[Congettura di Scholz]]

* [[Teorema del punto fisso di Brouwer]]

* [[Congettura di Collatz]]

* [[Teorema di Dandelin]]

* [[Teorema di Lagrange]]

* [[Congettura abc]]

; Fondamenti e metodi

* [[Filosofia della matematica]]

* [[Intuizionismo matematico]]

* [[Costruttivismo matematico]]

* [[Fondamenti della matematica]]

* [[Logica matematica]]

* [[Teoria dei modelli]]

* [[Teoria assiomatica degli insiemi]]

* [[Theorem-proving]]

* [[Matematica inversa]]

* [[Simboli matematici]]

* [[Logica]]

; Matematica e storia

* [[Storia della matematica]]

* [[Panoramica storica delle notazioni matematiche]]

* [[Cronologia della matematica]]

* [[Storia dell'insegnamento della matematica]]

{{Colonne spezza}}

; Matematica discreta

* [[Calcolo combinatorio]]

* [[Combinatorica]]

* [[Teoria della computazione]]

* [[Crittografia]]

* [[Teoria dei grafi]]

* [[Teoria dei giochi]]

* [[Teoria dei codici]]

; Persone, premi e competizioni

* [[Medaglia Fields]]

* [[Premio Nevanlinna]]

* [[Premio Abel]]

* [[Premio Bartolozzi]]

* [[Premio Caccioppoli]]

* [[Premio Tricerri]]

* [[Premio Vinti]]

* [[Premio Fichera]]

* [[Premio Clay]]

* [[Premio Schock]]

* [[Premio Steele]]

* [[Premio Balzan]]

* [[Olimpiadi della matematica]]

; Comunità della matematica

* [[Organismi associativi dei matematici]]

* [[Matematica su Internet]]

* ''[[Encyclopaedia of Mathematics]]''

; Documentazione della matematica

* [[Classificazione delle ricerche matematiche]]

; Matematica, arte e intrattenimento

* [[Matematica ricreativa]]

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; Disturbi cognitivi

* [[Acalculia]]

* [[Matofobia]]

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