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L' '''[[Effetto Stark]] quantistico confinato''' ('''QCSE''') consiste nella variazione del [[coefficiente di assorbimento]] di un sistema di [[quantum well]] indotta dall'applicazione di un [[campo elettrico]] esterno in direzione perpendicolare alle quantum well stesse. In una [[buca di potenziale quadratica]] gli [[elettroni]] e le [[lacune]] possono occupare soltanto una serie discreta di livelli energetici. Ne consegue che il sistema abbia una serie discreta di transizioni ottiche permesse, ovvero possa assorbire o emettere solamente luce a determinate lunghezza d'onda.
L'applicazione di un campo elettrico esterno perturba i livelli energetici nella buca di potenziale, nello specifico riducendo l'energia dei livelli elettronici e aumentando quella dei livelli relativi alle lacune: le transizioni ottiche, di conseguenza, subiscono un [[red-shift]] verso frequenze minori. Inoltre l'applicazione di un campo elettrico esterno modifica la forma delle [[funzione d'onda|funzioni d'onda]] nella buca di potenziale, diminuendo l'[[integrale di sovrapposizione]] fra i livelli energetici in [[banda di conduzione]] e quelli in [[banda di valenza]] e, di conseguenza, l'intensità dell'assorbimento stesso.
<ref name=Miller1>
{{cite journal
|
|
| title = Band-Edge Electroabsorption in Quantum Well Structures: The Quantum-Confined Stark Effect
| journal = Phys. Rev. Lett.
| volume = 53
| pages = 2173–2176
| date = 1984
| url = http://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.53.2173
| doi = 10.1103/PhysRevLett.53.2173 |bibcode = 1984PhRvL..53.2173M }}
</ref>
Elettroni e lacune sono limitati a muoversi in un piano bidimensionale dal confinamento quantistico derivante dalla buca di potenziale lungo la terza dimensione spaziale. Questo significa che un campo elettrico anche elvato, purché applicato parallelamente alla normale della buca di potenziale, non è in grado di separare gli [[eccitone|eccitoni]] che si formano durante l'assorbimento. Per questo l'effetto Stark quantistico confinato risulta molto più intenso rispetto alla sua controparte in un materiale tridimensionale, l'effetto [[Franz-Keldysh]], e può essere impiegato per la realizzazione modulatori elettro-ottici.<ref name=Miller_r1>{{cite journal |last1=Miller |first1=David A.B. |title=Device Requirements for Optical Interconnects to Silicon Chips |journal=Proceedings of the IEEE |date=2009 |volume=97 |issue=7 |pages=1166 - 1185 |doi=10.1109/JPROC.2009.2014298}}</ref>
== Teoria ==
La variazione dei livelli energetici confinati nella buca di potenziale dovuta all'applicazione di un campo elettrico esterno può essere calcolata con buona approssimazione utilizzando la [[teoria delle perturbazioni]] indipendente dal tempo.
Per fare ciò è necessario innanzitutto risolvere l'[[equazione di Schrödinger]] per il sistema non perturbato, ovvero in assenza di campo applicato.
=== Campo elettrico nullo ===
Il profilo di potenziale della buca di potenziale lungo z può essere scritto come
:<math>
V(z) =
\begin{cases}
0; & |z| < L/2 \\
V_0; & \mbox{otherwise}
\end{cases}
</math>,
dove <math>L</math> e <math>V_0</math> sono rispettivamento lo spessore della well e l'altezza della barriera di potenziale. Gli stati confinati nella well risultano effettivamente confinati solamente in direzione z, comportandosi come onde piane lungo x e y. Il problema può essere trattato partendo dalle [[funzioni di Bloch]] per il cristallo tridimensionale, separando le variabili e utilizzando la funzione inviluppo lungo z, in maniera tale da poter scrivere le funzioni d'onda come:
:<math>\psi(\mathbf{r})=\phi_{n}(z)\frac{1}{\sqrt{A}}e^{i(k_{x}\cdot{x}+k_{y}\cdot{y})}u(\mathbf{r}).</math>
In questa espressione, <math>A</math> è una costante di normalizzazione, <math>u(\mathbf{r})</math> è la parte periodica della funzione di Bloch, <math>e^{i(k_{x}\cdot{x}+k_{y}\cdot{y})}</math> è l'onda piana lungo x e y, e <math>\phi_n(z)</math> è una funzione inviluppo lungo z che varia lentamente rispetto a <math>u(\mathbf{r})</math>.
L'energia di uno stato legato risulterà essere la somma di due contributi, il primo corrispondente all'energia dello stato confinato lungo z, ovvero ad uno degli [[autovalore|autovalori]] di <math>\phi_n(z)</math>, il secondo corrispondente all'energia dell'onda piana nel piano della well. Quest'ultimo contributo risulta essere continuo e, in quanto il sistema è bidimensionale, con una densità degli stati costante.
[[File:Stark-wavefunctions.png|thumb|600px|On the left: wave functions corresponding to the n=1 and n=2 levels in a quantum well with no applied electric field (<math>\vec{F} = 0</math>). On the right: the perturbative effect of the applied electric field <math>\vec{F} \ne 0</math> modifies the wave functions and decreases <math>\Delta E</math>.]]
Per una questione di semplicità la buca di potenziale verrà assunta di profondità infinita (<math>V_0 \to \infty</math>). Si noti che questa approssimazione non cambia in maniera sostanziale i risultati ottenuti pur aumentando notevolmente la complessità della derivazione. Le espressioni analitiche delle funzioni inviluppo in questa approssimazione risultano essere:
:<math>
\phi_n(z) = \sqrt{\frac{2}{L}} \times
\begin{cases}
\cos \left(\frac{n\pi z}{L}\right) & n \, \text{odd} \\
\sin \left(\frac{n\pi z}{L}\right) & n \, \text{even}
\end{cases}.
</math>
mentre lo spettro degli stati legati corrisponde a:
:<math>
E_n = \frac{\hbar^2n^2\pi^2}{2m^*L^2},
</math>
dove <math>m^*</math> è la [[massa efficace (fisica dello stato solido)|massa efficace]] dell'elettrone nel semiconduttore considerato.
=== Campo elettrico non nullo ===
Assumiamo ora la presenza di un campo elettrico non nullo lungo z,
:<math>\mathbf{F}=F\mathbf{z},</math>
il termine perturbativo dell'[[Hamiltoniana]] risulta essere
:<math>H'=eFz.</math>
Il termine correttivo del primo ordine per l'energia risulta essere nulla per simmetria: le funzioni d'onda nella well hanno parità definita e la perturbazione risulta essere dispari.
:<math>E_n^{(1)} = \langle n^{(0)} | eFz | n^{(0)} \rangle =0</math>.
La correzione del secondo ordine, per lo stato n=1, risulta essere
:<math>E_1^{(2)} = \sum_{k \ne 1} \frac{|\langle k^{(0)}|eFz|1^{(0)} \rangle|^2} {E_1^{(0)} - E_k^{(0)}} \approx \frac{|\langle 2^{(0)}|eFz|1^{(0)} \rangle|^2} {E_1^{(0)} - E_2^{(0)}} = -24\left(\frac{2}{3\pi}\right)^{6}\frac{e^{2}F^{2}m_e^{*}L^{4}}{\hbar^{2} }
</math>
dove sono stati approssimati a zero i termini pertubativi sul primo livello energetico confinato derivanti dai livelli energetici per i quali n è pari e maggiore di 2.
Il calcolo appena effettuato è valido per gli elettroni, in quanto è stata utilizzata la massa efficace in banda di conduzione <math>m_e^*</math>. La stessa derivazione può essere applicata alle lacune, sostituendo la massa efficace in banda di valenza <math>m_h^*</math>. Per ottenere la variazione di energia della transizione ottica è sufficiente introdurre la massa efficace totale <math>m_{tot}^* = m_e^* + m_h^*</math>:
:<math>\Delta E \approx -24\left(\frac{2}{3\pi}\right)^{6}\frac{e^{2}F^{2}m_{tot}^{*}L^{4}}{\hbar^{2} }.
</math>
Nonostante le approssimazioni fatte fino a qui siano abbastanza grossolane, le variazioni energetiche sulle transizioni ottiche indotte dall'effetto Stark quantistico confinato hanno sperimentalmente una dipendenza di tipo quadratico rispetto al campo elettrico applicato<ref>{{cite journal |last1=Weiner |first1=Joseph S. |last2=Miller |first2=David A. B. |last3=Chemla |first3=Daniel S. |title=Quadratic electro‐optic effect due to the quantum‐confined Stark effect in quantum wells |journal=Applied Physics Letters |date=30 March 1987 |volume=50 |issue=13 |pages=842–844 |doi=10.1063/1.98008}}</ref>, come predetto dall'ultima equazione.
=== Absorption coefficient ===
[[File:Stark-exp.jpg|thumb|480px|Experimental demonstration of quantum-confined Stark effect in Ge/Si<math>_{0.18}</math>Ge<math>_{0.82}</math> quantum wells.]]
[[File:Stark-sim.jpg|thumb|480px|Numerical simulation of the absorption coefficient of Ge/Si<math>_{0.18}</math>Ge<math>_{0.82}</math> quantum wells]]
Oltre a diminuire le energie relative alle transizioni ottiche, l'applicazione di una campo elettrico esterno perpendicolarmente ad una quantum well induce anche una diminuzione dell'intensità del coefficiente di assorbimento. Ciò dipende dal diverso effetto della perturbazione sulle funzioni d'onda in banda di valenza e di conduzione, che diminuisce gli integrale di proiezione relativi alle transizioni ottiche considerate e di conseguenza i valori degli elementi di matrice ottici secondo la [[regola d'oro di Fermi]].
Con le approssimazioni fatte fino ad ora ed in assenza di campo elettrico applicato lungo z, l'integrale di proiezione per le transizioni <math>n_{valence}=n_{conduction}</math> risulta essere:
:<math>\lang \phi_{c,n} | \phi_{v,n} \rang = 1</math>.
Ancora una volta è possibile ricorrere alla teoria delle perturbazioni indipendenti dal tempo per modellizzare l'effetto del campo elettrico esterno sull'integrale di proiezione appena definito. La correzione al primo ordine per la funzione d'onda è:
:<math>\phi_n^' = \sum_{k \ne n} \frac{\lang \phi_n | H' | \phi_k \rang}{E_n - E_k} | \phi_k \rang</math>.
Anche questa volta consideriamo solamente la perturbazione relativa al livello n=2 sul livello n=1. Come nel caso della correzione al secondo ordine dell'energia, i termini perturbativi relativi ai livelli n dispari sono nulli per considerazioni di simmetria.
Svolgendo i conti per le bande di conduzione e di valenza si ottengono rispettivamente
:<math>\phi_{c,1} = \phi_{c,1}^0 + \phi_{c,1}^' = \frac{1}{A} \left( \cos \left( \frac{\pi z}{L} \right) - \left( \frac{2}{3\pi} \right)^4 \frac{2 m_e^* e F L^3}{\hbar^2} \sin \left( \frac{\pi z}{L} \right) \right) </math>
e
:<math>\phi_{v,1} = \phi_{v,1}^0 + \phi_{v,1}^' = \frac{1}{A} \left( \cos \left( \frac{\pi z}{L} \right) + \left( \frac{2}{3\pi} \right)^4 \frac{2 m_h^* e F L^3}{\hbar^2} \sin \left( \frac{\pi z}{L} \right) \right) </math>
dove è stata introdotta <math>A</math> come costante di normalizzazione. Per qualunque campo elettrico applicato tale che <math>\vec{F} \cdot \hat{z} \ne 0</math> si ottiene
:<math>\lang \phi_{c,1} | \phi_{v,1} \rang < 1</math>.
Ne consegue che, secondo la regola d'oro di Fermi, l'intensità delle transizioni ottiche considerate risulta ridotta dal campo elettrico applicato nell'effetto Stak quantistico confinato.
=== Effetti eccitonici ===
The description of quantum-confined Stark effect given by second order perturbation theory is extremely simple and intuitive. However to correctly depict QCSE the role of [[exciton#Wannier–Mott exciton|exciton]]s has to be taken into account. Excitons are quasiparticles consisting of a bound state of an electron-hole pair, whose binding energy in a bulk material can be modelled as that of an [[hydrogenic]] atom
:<math>E_{exc,n} = \frac{\mu}{m_e\epsilon_r^2}\frac{R_H}{n^2}</math>
where <math>R_H</math> is the [[Rydberg constant]], <math>\mu</math> is the [[reduced mass]] of the electron-hole pair and <math>\epsilon_r</math> is the relative electric permittivity.
The exciton binding energy has to be included in the energy balance of photon absorption processes:
:<math>h\nu > E_g - E_{exc}</math>.
Exciton generation therefore red-shift the optical [[band gap]] towards lower energies.
If an electric field is applied to a bulk semiconductor, a further red-shift in the absorption spectrum is observed due to [[Franz–Keldysh effect]]. Due to their opposite electric charges, the electron and the hole constituting the exciton will be pulled apart under the influence of the external electric field. If the field is strong enough
:<math>-e \vec{F} \cdot \vec{r_{exc}} > |E_{exc}|</math>
then excitons cease to exist in the bulk material. This somewhat limits to applicability of Franz-Keldysh for modulation purposes, as the red-shift induced by the applied electric field is countered by shift towards higher energies due to the absence of exciton generations.
This problem does not exist in QCSE, as electrons and holes are confined in the quantum wells. As long as the quantum well depth is comparable to the excitonic [[Bohr radius]], strong excitonic effects will be present no matter the magnitude of the applied electric field. Furthermore quantum wells behave as two dimensional systems, which strongly enhance excitonic effects with respect to bulk material. In fact, solving the [[Schrödinger equation]] for a [[Electric_potential#Electric potential due to a point charge|Coulomb potential]] in a two dimensional system yields an excitonic binding energy of
:<math>E_{exc,n} = \frac{\mu}{m_e\epsilon_r^2}\frac{R_H}{n^2-1/2}</math>
which is four times as high as the three dimensional case for the <math>1s</math> solution<ref>{{cite book |last1=Chuang |first1=Shun Lien |title=Physics of Photonics Devices, Chapter 3 |date=2009 |publisher=Wiley |isbn=978-0470293195}}</ref>.
== Optical Modulation ==
Quantum-confined Stark effect most promising application lies in its ability to perform optical modulation in the near [[infrared]] spectral range, which is of great interest for [[silicon photonics]] and down-scaling of [[optical interconnect]]s<ref name=Miller_r1/><ref>{{cite journal |last1=Miller |first1=David A.B. |title=Attojoule Optoelectronics for Low-Energy Information Processing and Communications |journal=Journal of Lightwave Technology |date=2017 |volume=35 |issue=3 |pages=346-396}}</ref>.
A QCSE based electro-absorption modulator consists of a [[PIN diode|PIN]] structure where the [[Intrinsic semiconductor|instrinsic]] region contains multiple quantum wells and acts as a waveguide for the [[carrier wave|carrier signal]]. An electric field can be induced perpendicularly to the quantum wells by applying an external, reverse bias to the PIN diode, causing QCSE. This mechanism can be employed to modulate wavelengths below the band gap of the unbiased system and within the reach of the QCSE induced red-shift.
Although first demonstrated in [[gallium arsenide|GaAs]]/[[aluminum gallium arsenide|Al_{x}Ga_{1-x}As]] quantum wells<ref name=Miller1/>, QCSE started to generate interest after its demonstration in [[germanium|Ge]]/[[silicon-germanium|SiGe]]<ref>{{cite journal |last1=Kuo |first1=Yu-Hsuan |last2=Lee |first2=Yong Kyu |last3=Ge |first3=Yangsi |last4=Ren |first4=Shen |last5=Roth |first5=Jonathan E. |last6=Kamins |first6=Theodore I. |last7=Miller |first7=David A. B. |last8=Harris |first8=James S. |title=Strong quantum-confined Stark effect in germanium quantum-well structures on silicon |journal=Nature |date=October 2005 |volume=437 |issue=7063 |pages=1334–1336 |doi=10.1038/nature04204}}</ref>. Differently from III/V semiconductors, Ge/SiGe quantum well stacks can be [[epitaxial growth|epitaxially grown]] on top of a silicon substrate, provided the presence of some buffer layer in between the two. This is a decisive advantage as it allows Ge/SiGe QCSE to be integrated with [[CMOS]] technology<ref name=lever>{{cite journal |last1=Lever |first1=L |last2=Ikonić |first2=Z |last3=Valavanis |first3=A |last4=Cooper |first4=J D |last5=Kelsall |first5=R W |title=Design of Ge–SiGe Quantum-Confined Stark Effect Electroabsorption Heterostructures for CMOS Compatible Photonics |journal=Journal of Lightwave Technology |date=November 2010 |doi=10.1109/JLT.2010.2081345}}</ref> and silicon photonics systems.
Germanium is an [[Direct and indirect band gaps|indirect gap]] semiconductor, with a bandgap of 0.66 [[electronvolt|eV]]. However it also has a relative minimum in the conduction band at the [[Brillouin zone#critical points|<math>\Gamma</math> point]], with a direct bandgap of 0.8 eV, which corresponds to a wavelength of 1550 [[nanometre|nm]]. QCSE in Ge/SiGe quantum wells can therefore be used to modulate light at 1.55 <math>\mu m</math><ref name=lever/>, which is crucial for silicon photonics applications as 1.55 <math>\mu m</math> is the [[optical fiber]]`s transparency window and the most extensively employed wavelength for telecommunications.
By fine tuning material parameters such as quantum well depth, biaxial strain and silicon content in the well, it is also possible to tailor the optical band gap of the Ge/SiGe quantum well system to modulate at 1310 nm<ref name=lever/><ref>{{cite journal |last1=Rouifed |first1=Mohamed Said |last2=Chaisakul |first2=Papichaya |last3=Marris-Morini |first3=Delphine |last4=Frigerio |first4=Jacopo |last5=Isella |first5=Giovanni |last6=Chrastina |first6=Daniel |last7=Edmond |first7=Samson |last8=Roux |first8=Xavier Le |last9=Coudevylle |first9=Jean-René |last10=Vivien |first10=Laurent |title=Quantum-confined Stark effect at 13 μm in Ge/Si_035Ge_065 quantum-well structure |journal=Optics Letters |date=18 September 2012 |volume=37 |issue=19 |pages=3960 |doi=10.1364/OL.37.003960}}</ref>, which also corresponds to a transparency window for optical fibers.
Electro-optic modulation by QCSE using Ge/SiGe quantum wells has been demostrated up to 23 Ghz with energies per bit as low as 108 fJ<ref>{{cite journal |last1=Chaisakul |first1=Papichaya |last2=Marris-Morini |first2=Delphine |last3=Rouifed |first3=Mohamed-Saïd |last4=Isella |first4=Giovanni |last5=Chrastina |first5=Daniel |last6=Frigerio |first6=Jacopo |last7=Le Roux |first7=Xavier |last8=Edmond |first8=Samson |last9=Coudevylle |first9=Jean-René |last10=Vivien |first10=Laurent |title=23 GHz Ge/SiGe multiple quantum well electro-absorption modulator |journal=Optics Express |date=26 January 2012 |volume=20 |issue=3 |pages=3219 |doi=10.1364/OE.20.003219}}</ref> and integrated in a waveguide configuration on a SiGe waveguide<ref>{{cite journal |last1=Chaisakul |first1=Papichaya |last2=Marris-Morini |first2=Delphine |last3=Frigerio |first3=Jacopo |last4=Chrastina |first4=Daniel |last5=Rouifed |first5=Mohamed-Said |last6=Cecchi |first6=Stefano |last7=Crozat |first7=Paul |last8=Isella |first8=Giovanni |last9=Vivien |first9=Laurent |title=Integrated germanium optical interconnects on silicon substrates |journal=Nature Photonics |date=11 May 2014 |volume=8 |issue=6 |pages=482–488 |doi=10.1038/NPHOTON.2014.73}}</ref>.
== Voci correlate ==
*[[effetto Franz–Keldysh]]
== Referenze ==
{{reflist}}
== Bibliografia ==
# Mark Fox, ''Optical properties of solids'',Oxford, New York, 2001.
# Hartmut Haug, ''Quantum Theory of the Optical and Electronic Properties of Semiconductors'', World Scientific, 2004.
# https://web.archive.org/web/20100728030241/http://www.rle.mit.edu/sclaser/6.973%20lecture%20notes/Lecture%2013c.pdf
# Shun Lien Chuang, ''Physics of Photonics Devices'', Wiley, 2009.
{{DEFAULTSORT:Quantum-Confined Stark Effect}}
[[Categoria:Meccanica Quantistica]]
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