Excubitores e Effetto Stark quantistico confinato: differenze tra le pagine

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L' '''[[Effetto Stark]] quantistico confinato''' ('''QCSE''') consiste nella variazione del [[coefficiente di assorbimento]] di un sistema di [[quantum well]] indotta dall'applicazione di un [[campo elettrico]] esterno in direzione perpendicolare alle quantum well stesse. In una [[buca di potenziale quadratica]] gli [[elettroni]] e le [[lacune]] possono occupare soltanto una serie discreta di livelli energetici. Ne consegue che il sistema abbia una serie discreta di transizioni ottiche permesse, ovvero possa assorbire o emettere solamente luce a determinate lunghezza d'onda.
{{Nota disambigua|l'asteroide|[[8591 Excubitor]]}}
L'applicazione di un campo elettrico esterno perturba i livelli energetici nella buca di potenziale, nello specifico riducendo l'energia dei livelli elettronici e aumentando quella dei livelli relativi alle lacune: le transizioni ottiche, di conseguenza, subiscono un [[red-shift]] verso frequenze minori. Inoltre l'applicazione di un campo elettrico esterno modifica la forma delle [[funzione d'onda|funzioni d'onda]] nella buca di potenziale, diminuendo l'[[integrale di sovrapposizione]] fra i livelli energetici in [[banda di conduzione]] e quelli in [[banda di valenza]] e, di conseguenza, l'intensità dell'assorbimento stesso.
<ref name=Miller1>
{{cite journal
| last = Miller
| first = D.
| title = Band-Edge Electroabsorption in Quantum Well Structures: The Quantum-Confined Stark Effect
| journal = Phys. Rev. Lett.
| volume = 53
| pages = 2173–2176
| date = 1984
| url = http://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.53.2173
| doi = 10.1103/PhysRevLett.53.2173 |bibcode = 1984PhRvL..53.2173M }}
</ref>
Elettroni e lacune sono limitati a muoversi in un piano bidimensionale dal confinamento quantistico derivante dalla buca di potenziale lungo la terza dimensione spaziale. Questo significa che un campo elettrico anche elvato, purché applicato parallelamente alla normale della buca di potenziale, non è in grado di separare gli [[eccitone|eccitoni]] che si formano durante l'assorbimento. Per questo l'effetto Stark quantistico confinato risulta molto più intenso rispetto alla sua controparte in un materiale tridimensionale, l'effetto [[Franz-Keldysh]], e può essere impiegato per la realizzazione modulatori elettro-ottici.<ref name=Miller_r1>{{cite journal |last1=Miller |first1=David A.B. |title=Device Requirements for Optical Interconnects to Silicon Chips |journal=Proceedings of the IEEE |date=2009 |volume=97 |issue=7 |pages=1166 - 1185 |doi=10.1109/JPROC.2009.2014298}}</ref>
 
== Teoria ==
Gli '''Escubitori''' (in [[lingua latina|latino]] ''excubitores'' o ''excubiti'', letteralmente "quelli fuori dal letto", cioè "sentinelle"; trascritto in [[lingua greca|greco]] come ἐξκουβίτορες o ἐξκούβιτοι) sono attestati da [[Svetonio]] come guardie degli imperatori della [[dinastia giulio-claudia]]. Ricomparvero intorno al 460, rifondati dall'imperatore d'Oriente Leone I. I loro comandanti acquisirono ben presto una grande influenza diventando persino imperatori nel corso del VI secolo. Gli ''Excubitores'' non sono più attestati dalle fonti nel tardo VII secolo, ma a metà del VIII secolo, furono ricostituiti in una delle unità di elite [[Tagma|tagmatiche]], il nucleo professionale dell'[[esercito bizantino]] nel periodo medio-bizantino. Gli Excubitores sono attestati per l'ultima volta nel 1081.
La variazione dei livelli energetici confinati nella buca di potenziale dovuta all'applicazione di un campo elettrico esterno può essere calcolata con buona approssimazione utilizzando la [[teoria delle perturbazioni]] indipendente dal tempo.
Per fare ciò è necessario innanzitutto risolvere l'[[equazione di Schrödinger]] per il sistema non perturbato, ovvero in assenza di campo applicato.
 
=== Campo elettrico nullo ===
== Storia ==
Il profilo di potenziale della buca di potenziale lungo z può essere scritto come
La parola latina ''excubitores'' indicava propriamente sentinelle di ogni sorta,<ref>Cfr. Cesare, ''De bello gallico'', VII, 69.</ref> ma più specificatamente denotava i soldati della [[coorte]] posta a guardia del palazzo dell'[[imperatore romano]].<ref>Cfr. Svetonio, ''Nerone'', 8 e Svetonio, ''Otone'', 6.</ref> Il loro comandante era denominato ''tribunus excubitor''.<ref>Cfr. Svetonio, ''Claudio'', 42.</ref> Sembra inoltre che gli ''excubitores'' scortassero l'Imperatore ogniqualvolta che si recava a svagarsi in case altrui.<ref>Cfr. Svetonio, ''Otone'', 4.</ref>
:<math>
V(z) =
\begin{cases}
0; & |z| < L/2 \\
V_0; & \mbox{otherwise}
\end{cases}
</math>,
dove <math>L</math> e <math>V_0</math> sono rispettivamento lo spessore della well e l'altezza della barriera di potenziale. Gli stati confinati nella well risultano effettivamente confinati solamente in direzione z, comportandosi come onde piane lungo x e y. Il problema può essere trattato partendo dalle [[funzioni di Bloch]] per il cristallo tridimensionale, separando le variabili e utilizzando la funzione inviluppo lungo z, in maniera tale da poter scrivere le funzioni d'onda come:
:<math>\psi(\mathbf{r})=\phi_{n}(z)\frac{1}{\sqrt{A}}e^{i(k_{x}\cdot{x}+k_{y}\cdot{y})}u(\mathbf{r}).</math>
In questa espressione, <math>A</math> è una costante di normalizzazione, <math>u(\mathbf{r})</math> è la parte periodica della funzione di Bloch, <math>e^{i(k_{x}\cdot{x}+k_{y}\cdot{y})}</math> è l'onda piana lungo x e y, e <math>\phi_n(z)</math> è una funzione inviluppo lungo z che varia lentamente rispetto a <math>u(\mathbf{r})</math>.
 
L'energia di uno stato legato risulterà essere la somma di due contributi, il primo corrispondente all'energia dello stato confinato lungo z, ovvero ad uno degli [[autovalore|autovalori]] di <math>\phi_n(z)</math>, il secondo corrispondente all'energia dell'onda piana nel piano della well. Quest'ultimo contributo risulta essere continuo e, in quanto il sistema è bidimensionale, con una densità degli stati costante.
In età bizantina gli ''Excubitores'' furono rifondati dall'[[Leone I il Trace|Imperatore Leone I]] (r. 457-474) intorno al 460 e annoveravano 300 uomini, spesso reclutati presso i bellicosi [[Isauri]], come parte del tentativo di Leone di controbilanciare l'influenza del ''[[magister militum]]'' [[Ardaburio Aspare|Aspar]] e dei soldati di origini germaniche, che costituivano una larga parte dell'esercito romano-orientale.<ref>{{cita|Treadgold 1995|pp. 13–14.}}</ref><ref>{{cita|Treadgold 1997|p. 152}}</ref><ref>{{cita|Cameron, Ward-Perkins e Whitby|pp. 47, 291.}}</ref> A differenza dei più vecchi reggimenti di palazzo delle ''[[Schola (unità romana)|Scholae Palatinae]]'', che erano sotto il controllo del ''[[magister officiorum]]'' e che finirono per degenerare in formazioni da parata, gli Excubitores rimasero a lungo una forza da combattimento.<ref>{{cita|Evans 1996|pp. 11–12, 41.}}</ref><ref>{{cita|Cameron, Ward-Perkins e Whitby|p. 291}}</ref><ref>{{cita|Treadgold 1995|p. 92}}</ref> Inoltre, mentre le ''Scholae'' erano disperse per la [[Tracia]] e la [[Bitinia]], gli Excubitores avevano sede nel [[Gran Palazzo|palazzo imperiale]] e costituivano di fatto l'unica guarnigione di [[Costantinopoli]] nel VI secolo. Il loro alto rango è ulteriormente confermato dal fatto che sia ufficiali che Excubitores ordinari erano spesso inviati in missioni speciali, anche a carattere diplomatico, dagli imperatori.<ref>{{cita|Haldon 1984|pp. 136–139.}}</ref>
 
[[File:Stark-wavefunctions.png|thumb|600px|On the left: wave functions corresponding to the n=1 and n=2 levels in a quantum well with no applied electric field (<math>\vec{F} = 0</math>). On the right: the perturbative effect of the applied electric field <math>\vec{F} \ne 0</math> modifies the wave functions and decreases <math>\Delta E</math>.]]
[[File:Tremissis-Justin I-sb0058.jpg|thumb|right|250px|''[[Tremissis]]'' dell'Imperatore [[Giustino I]], il primo comandante degli Excubitores a salire al trono.]]
 
Per una questione di semplicità la buca di potenziale verrà assunta di profondità infinita (<math>V_0 \to \infty</math>). Si noti che questa approssimazione non cambia in maniera sostanziale i risultati ottenuti pur aumentando notevolmente la complessità della derivazione. Le espressioni analitiche delle funzioni inviluppo in questa approssimazione risultano essere:
L'unità era comandata dal '''Conte degli Escubitori''' (in latino ''comes excubitorum''; in greco κόμης τῶν ἐξκουβίτων/ἐξκουβιτόρων, ''komes ton exkoubiton/exkoubitoron''), che, in virtù della sua vicinanza all'imperatore, divenne un ufficiale di grande rilievo nel VI e nel VII secolo.<ref>{{cita|Kazhdan 1991|pp. 646–647.}}</ref> Questo incarico, attestato per l'ultima volta intorno al 680, era detenuto in genere da membri stretti della famiglia imperiale, spesso eredi apparenti.<ref>{{cita|Cameron, Ward-Perkins e Whitby|p. 291.}}</ref><ref>{{cita|Bury 1911|p. 57.}}</ref> Inoltre fu il sostegno dei suoi uomini che assicurò il trono a [[Giustino I]] (r. 518-527), che deteneva la carica al tempo della morte di [[Anastasio I Dicoro|Anastasio I]] (r. 491-518).<ref>{{cita|Evans 1996|pp. 11–13}}</ref><ref>{{cita|Bury 1911|p. 57.}}</ref> In maniera analoga [[Giustino II]] (r. 565-578) contò sul sostegno degli excubitores per la sua ascesa al trono senza opposizioni; il loro comes, Tiberio, era un amico intimo che aveva ricevuto quella carica per intercessione di Giustino. Tiberio sarebbe stato il braccio destro dell'imperatore nel corso del suo regno, e alla fine gli succedette al trono come [[Tiberio II]] (r. 578-582).<ref>{{cita|Treadgold 1997|p. 218.}}</ref><ref>{{cita|Evans 1996|pp. 264, 267.}}</ref> Sarebbe stato a sua volta succeduto dal suo ''comes excubitorum'', [[Maurizio (imperatore)|Maurizio]] (r. 582-602).<ref>{{cita|Treadgold 1997|p. 227.}}</ref> Sotto Maurizio, la carica fu detenuta dal cognato [[Filippico]], e sotto [[Foca (imperatore)|Foca]] (r. 602-610) da [[Prisco (generale bizantino)|Prisco]].<ref>{{cita|Bury 1911|p. 57.}}</ref> Un altro potente ''comes excubitorum'' fu [[Valentino (usurpatore)|Valentino]], che se lo assicurò durante le lotte interne che caratterizzarono la reggenza dell'imperatrice [[Martina (imperatrice)|Martina]] nel 641, prima di deporla insieme al figlio [[Eraclio II|Eracleona]] imponendo come imperatore [[Costante II]] (r. 641-668). Valentino dominò il nuovo regime, ma il suo tentativo di usurpare il trono nel 644 terminò con l'essere linciato dalla popolazione.<ref>{{cita|Treadgold 1997|pp. 309–310.}}</ref> Il potere associato a tale carica, e gli intrighi di uomini come Prisco e il futuro usurpatore Valentino, condannò l'incarico alla castrazione e all'eclissi finale nel corso dell'ultima metà del VII secolo.<ref>{{cita|Kaegi 1981|p. 174.}}</ref>
:<math>
\phi_n(z) = \sqrt{\frac{2}{L}} \times
\begin{cases}
\cos \left(\frac{n\pi z}{L}\right) & n \, \text{odd} \\
\sin \left(\frac{n\pi z}{L}\right) & n \, \text{even}
\end{cases}.
</math>
mentre lo spettro degli stati legati corrisponde a:
:<math>
E_n = \frac{\hbar^2n^2\pi^2}{2m^*L^2},
</math>
dove <math>m^*</math> è la [[massa efficace (fisica dello stato solido)|massa efficace]] dell'elettrone nel semiconduttore considerato.
 
=== Campo elettrico non nullo ===
Dopo un periodo di scomparsa dalle fonti tra la fine del VII secolo e la prima metà del VIII secolo, gli Excubitores ricompaiono nelle fonti storiche, sotto un nuovo comandante, il '''Domestico degli Escubitori''' (in greco δομέστικος τῶν ἐξκουβίτων/ἐξκουβιτόρων, ''[[domestikos]] ton exkoubiton/exkoubitoron'') e in un nuovo ruolo, come una dei ''[[Tagma|tagmata]]'' imperiali, l'esercito centrale professionale di elite costituito da [[Costantino V]] (r. 741-775).<ref>{{cita|Kazhdan 1991|pp. 646–647.}}</ref><ref>{{cita|Haldon 1999|p. 78.}}</ref> In quanto uno dei ''tagmata'', gli Excubitores non erano più guardie di palazzo, ma un'unità attivamente coinvolta nelle campagne militari. Allo stesso tempo, i ''tagmata'' rappresentavano un modo per controbilanciare le armate [[Thema|tematiche]] delle province e costituiva al contempo un potente strumento per implementare la [[iconoclastia|politica iconoclasta]] di Costantino V.<ref>{{cita|Whittow 1996|p. 168.}}</ref> Nonostante tutto, il probabilmente primo comandante del ''tagma'', [[Strategio Podopagouros]], era tra i leader di un complotto fallito contro la vita di Costantino V nel 766, e fu giustiziato in seguito alla scoperta di tale congiura.<ref>{{cita|Treadgold 1997|pp. 363–364.}}</ref> A partire dal 780 circa, tuttavia, in seguito ad anni di favore imperiale e di vittorie militari sotto Costantino V e il figlio [[Leone IV il Cazaro]] (r. 775-780), i ''tagmata'' erano diventati fermi sostenitori della causa iconoclasta.<ref>{{cita|Whittow 1996|p. 168}}</ref> In meno di due mesi dalla morte di Leone IV nel 780, l'imperatrice reggente [[Irene di Atene]] dovette sventare un tentativo condotto dal Domestico degli Escubitori per collocare sul trono il secondogenito esiliato di Costantino V [[Niceforo (Cesare)|Niceforo]],<ref>{{cita|Treadgold 1997|p. 417.}}</ref> e nel 786 Irene disarmò ed esiliò circa 1.500 soldati tagmatici a causa della resistenza da loro opposta alla [[Secondo concilio di Nicea|restaurazione delle icone]].<ref>{{cita|Whittow 1996|pp. 168–170.}}</ref><ref>{{cita|Treadgold 1997|pp. 419–420.}}</ref>
Assumiamo ora la presenza di un campo elettrico non nullo lungo z,
:<math>\mathbf{F}=F\mathbf{z},</math>
il termine perturbativo dell'[[Hamiltoniana]] risulta essere
:<math>H'=eFz.</math>
Il termine correttivo del primo ordine per l'energia risulta essere nulla per simmetria: le funzioni d'onda nella well hanno parità definita e la perturbazione risulta essere dispari.
:<math>E_n^{(1)} = \langle n^{(0)} | eFz | n^{(0)} \rangle =0</math>.
La correzione del secondo ordine, per lo stato n=1, risulta essere
:<math>E_1^{(2)} = \sum_{k \ne 1} \frac{|\langle k^{(0)}|eFz|1^{(0)} \rangle|^2} {E_1^{(0)} - E_k^{(0)}} \approx \frac{|\langle 2^{(0)}|eFz|1^{(0)} \rangle|^2} {E_1^{(0)} - E_2^{(0)}} = -24\left(\frac{2}{3\pi}\right)^{6}\frac{e^{2}F^{2}m_e^{*}L^{4}}{\hbar^{2} }
</math>
dove sono stati approssimati a zero i termini pertubativi sul primo livello energetico confinato derivanti dai livelli energetici per i quali n è pari e maggiore di 2.
 
Il calcolo appena effettuato è valido per gli elettroni, in quanto è stata utilizzata la massa efficace in banda di conduzione <math>m_e^*</math>. La stessa derivazione può essere applicata alle lacune, sostituendo la massa efficace in banda di valenza <math>m_h^*</math>. Per ottenere la variazione di energia della transizione ottica è sufficiente introdurre la massa efficace totale <math>m_{tot}^* = m_e^* + m_h^*</math>:
[[File:Michael II and Theophilos solidus.jpg|thumb|right|250px|''Solidus'' dell'imperatore Michele II e di suo figlio, [[Teofilo (imperatore)|Teofilo]].]]
:<math>\Delta E \approx -24\left(\frac{2}{3\pi}\right)^{6}\frac{e^{2}F^{2}m_{tot}^{*}L^{4}}{\hbar^{2} }.
</math>
Nonostante le approssimazioni fatte fino a qui siano abbastanza grossolane, le variazioni energetiche sulle transizioni ottiche indotte dall'effetto Stark quantistico confinato hanno sperimentalmente una dipendenza di tipo quadratico rispetto al campo elettrico applicato<ref>{{cite journal |last1=Weiner |first1=Joseph S. |last2=Miller |first2=David A. B. |last3=Chemla |first3=Daniel S. |title=Quadratic electro‐optic effect due to the quantum‐confined Stark effect in quantum wells |journal=Applied Physics Letters |date=30 March 1987 |volume=50 |issue=13 |pages=842–844 |doi=10.1063/1.98008}}</ref>, come predetto dall'ultima equazione.
 
=== Absorption coefficient ===
I Domestici erano in origine di basso [[Burocrazia e aristocrazia bizantine|rango di corte]] (meri ''[[spatharios|spatharioi]]''), ma gradualmente crebbero di importanza: mentre nel ''[[Taktikon Uspensky]]'' redatto intorno al 842 il Domestico degli Escubitori veniva dopo tutti i comandanti tematici (''[[strategos|strategoi]]'') in ordine di precedenza, nel ''[[Kletorologion|Kletorologion]]'' del 899, il Domestico risulta essere di rango superiore rispetto ai ''strategoi'' dei themata europei e persino all'[[Eparca di Costantinopoli]]. Al contempo, le cariche di corte detenute crebbero a quelle di ''[[protospatharios|protospatharios]]'' e persino ''[[patrikios]]''.<ref>{{cita|Kazhdan 1991|pp. 646–647.}}</ref><ref>{{cita|Bury 1911|p. 58.}}</ref> Gli Excubitores presero parte alla disastrosa [[Battaglia di Pliska|campagna di Pliska]] nel 811, in cui l'esercito bizantino fu pesantemente sconfitto dallo Tsar [[Krum di Bulgaria]]; il Domestico degli Escubitori cadde sul campo insieme agli altri generali maggiori bizantini, compreso l'imperatore [[Niceforo I il Logoteta]] (r. 802-811).<ref>{{cita|Treadgold 1997|pp. 428–429.}}</ref> Il più importante Domestico degli Escubitori in questo periodo fu [[Michele II l'Amoriano]] (r. 820-829), i cui seguaci rovesciarono l'imperatore [[Leone V l'armeno]] (r. 813-820) e lo elevarono al trono.<ref>{{cita|Treadgold 1997|p. 433.}}</ref> Nella seconda metà del X secolo, probabilmente sotto [[Romano II]] (r. 959-963), il reggimento, insieme al ''tagma'' delle ''Scholae'', fu suddiviso in due unità, una per l'Occidente e uno per l'Oriente, ognuno condotto da un Domestico.<ref>{{cita|Kazhdan 1991|pp. 646–647.}}</ref><ref>{{cita|Treadgold 1997|p. 494.}}</ref>
[[File:Stark-exp.jpg|thumb|480px|Experimental demonstration of quantum-confined Stark effect in Ge/Si<math>_{0.18}</math>Ge<math>_{0.82}</math> quantum wells.]]
[[File:Stark-sim.jpg|thumb|480px|Numerical simulation of the absorption coefficient of Ge/Si<math>_{0.18}</math>Ge<math>_{0.82}</math> quantum wells]]
Oltre a diminuire le energie relative alle transizioni ottiche, l'applicazione di una campo elettrico esterno perpendicolarmente ad una quantum well induce anche una diminuzione dell'intensità del coefficiente di assorbimento. Ciò dipende dal diverso effetto della perturbazione sulle funzioni d'onda in banda di valenza e di conduzione, che diminuisce gli integrale di proiezione relativi alle transizioni ottiche considerate e di conseguenza i valori degli elementi di matrice ottici secondo la [[regola d'oro di Fermi]].
Con le approssimazioni fatte fino ad ora ed in assenza di campo elettrico applicato lungo z, l'integrale di proiezione per le transizioni <math>n_{valence}=n_{conduction}</math> risulta essere:
:<math>\lang \phi_{c,n} | \phi_{v,n} \rang = 1</math>.
Ancora una volta è possibile ricorrere alla teoria delle perturbazioni indipendenti dal tempo per modellizzare l'effetto del campo elettrico esterno sull'integrale di proiezione appena definito. La correzione al primo ordine per la funzione d'onda è:
:<math>\phi_n^' = \sum_{k \ne n} \frac{\lang \phi_n | H' | \phi_k \rang}{E_n - E_k} | \phi_k \rang</math>.
Anche questa volta consideriamo solamente la perturbazione relativa al livello n=2 sul livello n=1. Come nel caso della correzione al secondo ordine dell'energia, i termini perturbativi relativi ai livelli n dispari sono nulli per considerazioni di simmetria.
Svolgendo i conti per le bande di conduzione e di valenza si ottengono rispettivamente
:<math>\phi_{c,1} = \phi_{c,1}^0 + \phi_{c,1}^' = \frac{1}{A} \left( \cos \left( \frac{\pi z}{L} \right) - \left( \frac{2}{3\pi} \right)^4 \frac{2 m_e^* e F L^3}{\hbar^2} \sin \left( \frac{\pi z}{L} \right) \right) </math>
e
:<math>\phi_{v,1} = \phi_{v,1}^0 + \phi_{v,1}^' = \frac{1}{A} \left( \cos \left( \frac{\pi z}{L} \right) + \left( \frac{2}{3\pi} \right)^4 \frac{2 m_h^* e F L^3}{\hbar^2} \sin \left( \frac{\pi z}{L} \right) \right) </math>
dove è stata introdotta <math>A</math> come costante di normalizzazione. Per qualunque campo elettrico applicato tale che <math>\vec{F} \cdot \hat{z} \ne 0</math> si ottiene
:<math>\lang \phi_{c,1} | \phi_{v,1} \rang < 1</math>.
Ne consegue che, secondo la regola d'oro di Fermi, l'intensità delle transizioni ottiche considerate risulta ridotta dal campo elettrico applicato nell'effetto Stak quantistico confinato.
 
=== Effetti eccitonici ===
Gli Excubitores presero parte alla fallita [[Battaglia di Azaz (1030)|campagna di Azaz]] del 1030, dove furono colti in un'imboscata e dispersi dai [[Mirdasidi]], mentre il loro comandante, il ''[[patrikios]]'' [[Leone Choirosphaktes (XI secolo)|Leone Choirosphaktes]], fu fatto prigioniero.<ref>{{cita|Wortley 2010|p. 359.}}</ref> Come la maggior parte dei ''tagmata'', il reggimento degli Escubitori non sopravvisse agli sconvolgimenti del tardo XI secolo, allorquando una combinazione di invasioni straniere e di costanti guerre civili distrussero la maggior parte dell'esercito bizantino. L'ultima attestazione degli Escubitori è nella ''[[Alessiade]]'' di [[Anna Comnena]], che attesta che presero parte alla [[Battaglia di Durazzo (1081)|Battaglia di Dyrrhachium]] contro i [[Normanni]] nel 1081, sotto il comando di [[Costantino Opos (megas doux)|Costantino Opos]].<ref>{{cita|Birkenmeier 2002|pp. 156–159.}}</ref><ref>{{cita|Haldon 1999|pp. 91–93}}</ref><ref>{{cita|Treadgold 1995|p. 41.}}</ref>
The description of quantum-confined Stark effect given by second order perturbation theory is extremely simple and intuitive. However to correctly depict QCSE the role of [[exciton#Wannier–Mott exciton|exciton]]s has to be taken into account. Excitons are quasiparticles consisting of a bound state of an electron-hole pair, whose binding energy in a bulk material can be modelled as that of an [[hydrogenic]] atom
:<math>E_{exc,n} = \frac{\mu}{m_e\epsilon_r^2}\frac{R_H}{n^2}</math>
where <math>R_H</math> is the [[Rydberg constant]], <math>\mu</math> is the [[reduced mass]] of the electron-hole pair and <math>\epsilon_r</math> is the relative electric permittivity.
The exciton binding energy has to be included in the energy balance of photon absorption processes:
:<math>h\nu > E_g - E_{exc}</math>.
Exciton generation therefore red-shift the optical [[band gap]] towards lower energies.
If an electric field is applied to a bulk semiconductor, a further red-shift in the absorption spectrum is observed due to [[Franz–Keldysh effect]]. Due to their opposite electric charges, the electron and the hole constituting the exciton will be pulled apart under the influence of the external electric field. If the field is strong enough
:<math>-e \vec{F} \cdot \vec{r_{exc}} > |E_{exc}|</math>
then excitons cease to exist in the bulk material. This somewhat limits to applicability of Franz-Keldysh for modulation purposes, as the red-shift induced by the applied electric field is countered by shift towards higher energies due to the absence of exciton generations.
 
This problem does not exist in QCSE, as electrons and holes are confined in the quantum wells. As long as the quantum well depth is comparable to the excitonic [[Bohr radius]], strong excitonic effects will be present no matter the magnitude of the applied electric field. Furthermore quantum wells behave as two dimensional systems, which strongly enhance excitonic effects with respect to bulk material. In fact, solving the [[Schrödinger equation]] for a [[Electric_potential#Electric potential due to a point charge|Coulomb potential]] in a two dimensional system yields an excitonic binding energy of
== Struttura ==
:<math>E_{exc,n} = \frac{\mu}{m_e\epsilon_r^2}\frac{R_H}{n^2-1/2}</math>
La struttura interna del reggimento originario di ''excubitores'' è ignota, a parte il fatto che si trattasse di una unità di cavalleria, e che aveva ufficiali denominati ''scribones''. Lo studioso [[Warren Treadgold]] specula che rivestivano un ruolo simile a quello dei [[decurione|decurioni]] della cavalleria regolare, comandanti 30&nbsp;uomini ciascuno,<ref>{{cita|Treadgold 1995|p. 92.}}</ref> ma [[J.B. Bury|John B. Bury]] ha proposto che gli ''scribones'', seppur associati agli ''excubitores'', fossero reggimenti separati.<ref>{{cita|Bury 1911|p. 59.}}</ref>
which is four times as high as the three dimensional case for the <math>1s</math> solution<ref>{{cite book |last1=Chuang |first1=Shun Lien |title=Physics of Photonics Devices, Chapter 3 |date=2009 |publisher=Wiley |isbn=978-0470293195}}</ref>.
 
Nella sua successiva incarnazione come ''tagma'', il reggimento (spesso chiamato collettivamente τὸ ἐξκούβιτον or τὰ ἐξκούβιτα) era strutturato lungo linee standardizzate seguite dagli altri ''tagmata'', con alcune variazioni. Il ''[[domestikos]]'' era assistito da un ''[[topoteretes|topotērētēs]]'' (τοποτηρητής, let. "facente le funzioni", "luogotenente") e da un ''[[chartoularios]]'' (χαρτουλάριος, "segretario").<ref>{{cita|Bury 1911|p. 58.}}</ref> Il reggimento stesso era suddiviso in almeno diciotto ''[[bandon (esercito bizantino)|banda]]'', ognuna probabilmente comandata da uno ''skribōn'' (σκρίβων).<ref>{{cita|Bury 1911|pp. 58–59.}}</ref> Ognuna di loro era ulteriormente suddivisa in sub-unità condotte da un ''drakonarios'' (δρακονάριος, derivante dal tardo romano ''[[draconarius]]''), e comprendeva tre classi di portabandiera che fungevano da ufficiali di rango minore: lo ''skeuophoroi'' (σκευοφόροι, "portatore dello stendardo"), ''signophoroi'' (σιγνοφόροι, cioè i [[signifer]]) e ''sinatores'' (σινάτορες, dal rango tardo-romano di ''senator'').<ref>{{cita|Bury 1911|pp. 59–60.}}</ref><ref>{{cita|Treadgold 1995|pp. 102, 104.}}</ref> Vi erano anche gli usuali messaggeri (μανδάτορες, ''[[mandator]]es'') sotto il comando di un ''prōtomandatōr'', alcuni dei quali erano anche denominati ''legatarioi'' (λεγατάριοι).<ref>{{cita|Bury 1911|pp. 59–60.}}</ref>
 
== Optical Modulation ==
La dimensione del ''tagma'' degli Excubitores e le sue suddivisioni non possono essere determinate con certezza; come con altri ''tagmata'', gli studiosi hanno opinioni discordanti riguardo la sua forza numerica. Basandosi sulle liste degli ufficiali e sui resoconti dei geografi arabi [[Ibn Khordadhbeh|Ibn Khurdādhbah]] e [[Qudama ibn Ja'far|Qudāmah]], lo studioso [[Warren Treadgold]] ha stimato che alla loro istituzione i tagmata avessero ciascuno circa 4.000 uomini, che per le ''Scholae'' e gli Excubitores crebbe a circa 6.000 con la suddivisione dei reggimenti avvenuta a metà X secolo.<ref>{{cita|Treadgold 1995|p. 103.}}</ref> Altri studiosi, tra cui [[John Haldon]], hanno revisionato le stime proponendo che ogni ''tagma'' avesse 1.000 uomini.<ref>{{cita|Haldon 1999|p. 102.}}</ref> Per ragioni di sicurezza, sia le ''Scholae'' che gli Excubitores erano dispersi nelle guarnigioni nella Tracia e in Bitinia invece di essere stazionati dentro Costantinopoli, in modo da rendere loro più difficile il loro possibile utilizzo in un eventuale colpo di stato.<ref>{{cita|Treadgold 1997|p. 359.}}</ref>
Quantum-confined Stark effect most promising application lies in its ability to perform optical modulation in the near [[infrared]] spectral range, which is of great interest for [[silicon photonics]] and down-scaling of [[optical interconnect]]s<ref name=Miller_r1/><ref>{{cite journal |last1=Miller |first1=David A.B. |title=Attojoule Optoelectronics for Low-Energy Information Processing and Communications |journal=Journal of Lightwave Technology |date=2017 |volume=35 |issue=3 |pages=346-396}}</ref>.
A QCSE based electro-absorption modulator consists of a [[PIN diode|PIN]] structure where the [[Intrinsic semiconductor|instrinsic]] region contains multiple quantum wells and acts as a waveguide for the [[carrier wave|carrier signal]]. An electric field can be induced perpendicularly to the quantum wells by applying an external, reverse bias to the PIN diode, causing QCSE. This mechanism can be employed to modulate wavelengths below the band gap of the unbiased system and within the reach of the QCSE induced red-shift.
 
Although first demonstrated in [[gallium arsenide|GaAs]]/[[aluminum gallium arsenide|Al_{x}Ga_{1-x}As]] quantum wells<ref name=Miller1/>, QCSE started to generate interest after its demonstration in [[germanium|Ge]]/[[silicon-germanium|SiGe]]<ref>{{cite journal |last1=Kuo |first1=Yu-Hsuan |last2=Lee |first2=Yong Kyu |last3=Ge |first3=Yangsi |last4=Ren |first4=Shen |last5=Roth |first5=Jonathan E. |last6=Kamins |first6=Theodore I. |last7=Miller |first7=David A. B. |last8=Harris |first8=James S. |title=Strong quantum-confined Stark effect in germanium quantum-well structures on silicon |journal=Nature |date=October 2005 |volume=437 |issue=7063 |pages=1334–1336 |doi=10.1038/nature04204}}</ref>. Differently from III/V semiconductors, Ge/SiGe quantum well stacks can be [[epitaxial growth|epitaxially grown]] on top of a silicon substrate, provided the presence of some buffer layer in between the two. This is a decisive advantage as it allows Ge/SiGe QCSE to be integrated with [[CMOS]] technology<ref name=lever>{{cite journal |last1=Lever |first1=L |last2=Ikonić |first2=Z |last3=Valavanis |first3=A |last4=Cooper |first4=J D |last5=Kelsall |first5=R W |title=Design of Ge–SiGe Quantum-Confined Stark Effect Electroabsorption Heterostructures for CMOS Compatible Photonics |journal=Journal of Lightwave Technology |date=November 2010 |doi=10.1109/JLT.2010.2081345}}</ref> and silicon photonics systems.
== Note ==
 
<references/>
Germanium is an [[Direct and indirect band gaps|indirect gap]] semiconductor, with a bandgap of 0.66 [[electronvolt|eV]]. However it also has a relative minimum in the conduction band at the [[Brillouin zone#critical points|<math>\Gamma</math> point]], with a direct bandgap of 0.8 eV, which corresponds to a wavelength of 1550 [[nanometre|nm]]. QCSE in Ge/SiGe quantum wells can therefore be used to modulate light at 1.55 <math>\mu m</math><ref name=lever/>, which is crucial for silicon photonics applications as 1.55 <math>\mu m</math> is the [[optical fiber]]`s transparency window and the most extensively employed wavelength for telecommunications.
By fine tuning material parameters such as quantum well depth, biaxial strain and silicon content in the well, it is also possible to tailor the optical band gap of the Ge/SiGe quantum well system to modulate at 1310 nm<ref name=lever/><ref>{{cite journal |last1=Rouifed |first1=Mohamed Said |last2=Chaisakul |first2=Papichaya |last3=Marris-Morini |first3=Delphine |last4=Frigerio |first4=Jacopo |last5=Isella |first5=Giovanni |last6=Chrastina |first6=Daniel |last7=Edmond |first7=Samson |last8=Roux |first8=Xavier Le |last9=Coudevylle |first9=Jean-René |last10=Vivien |first10=Laurent |title=Quantum-confined Stark effect at 13 μm in Ge/Si_035Ge_065 quantum-well structure |journal=Optics Letters |date=18 September 2012 |volume=37 |issue=19 |pages=3960 |doi=10.1364/OL.37.003960}}</ref>, which also corresponds to a transparency window for optical fibers.
Electro-optic modulation by QCSE using Ge/SiGe quantum wells has been demostrated up to 23 Ghz with energies per bit as low as 108 fJ<ref>{{cite journal |last1=Chaisakul |first1=Papichaya |last2=Marris-Morini |first2=Delphine |last3=Rouifed |first3=Mohamed-Saïd |last4=Isella |first4=Giovanni |last5=Chrastina |first5=Daniel |last6=Frigerio |first6=Jacopo |last7=Le Roux |first7=Xavier |last8=Edmond |first8=Samson |last9=Coudevylle |first9=Jean-René |last10=Vivien |first10=Laurent |title=23 GHz Ge/SiGe multiple quantum well electro-absorption modulator |journal=Optics Express |date=26 January 2012 |volume=20 |issue=3 |pages=3219 |doi=10.1364/OE.20.003219}}</ref> and integrated in a waveguide configuration on a SiGe waveguide<ref>{{cite journal |last1=Chaisakul |first1=Papichaya |last2=Marris-Morini |first2=Delphine |last3=Frigerio |first3=Jacopo |last4=Chrastina |first4=Daniel |last5=Rouifed |first5=Mohamed-Said |last6=Cecchi |first6=Stefano |last7=Crozat |first7=Paul |last8=Isella |first8=Giovanni |last9=Vivien |first9=Laurent |title=Integrated germanium optical interconnects on silicon substrates |journal=Nature Photonics |date=11 May 2014 |volume=8 |issue=6 |pages=482–488 |doi=10.1038/NPHOTON.2014.73}}</ref>.
 
== Voci correlate ==
*[[effetto Franz–Keldysh]]
 
== Referenze ==
{{reflist}}
 
== Bibliografia ==
# Mark Fox, ''Optical properties of solids'',Oxford, New York, 2001.
* {{cita libro | cognome=Bury | nome=John Bagnell | wkautore=J. B. Bury | titolo=The Imperial Administrative System of the Ninth Century - With a Revised Text of the Kletorologion of Philotheos | anno=1911 | città=London | editore=Oxford University Press | url=https://archive.org/details/imperialadminist00buryrich | cid=Bury 1911}}
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*{{cita libro | cognome=Birkenmeier | nome=John W. | titolo=The Development of the Komnenian Army: 1081–1180 | città=Leiden | editore=Brill Academic Publishers | anno=2002 | isbn=90-04-11710-5 | url=https://books.google.com/?id=p8OOoGWRC2EC | cid=Birkenmeier 2002}}
# https://web.archive.org/web/20100728030241/http://www.rle.mit.edu/sclaser/6.973%20lecture%20notes/Lecture%2013c.pdf
*{{cita libro | autore=Averil Cameron | autore2=Brian Ward-Perkins | autore3=Michael Whitby | titolo=The Cambridge Ancient History, Volume 14 - Late Antiquity: Empire and Successors, AD 425-600 | città=Cambridge | editore=Cambridge University Press | anno=2000 | isbn=0-521-32591-9 | url=https://books.google.com/books?id=Qf8mrHjfZRoC | cid=Cameron, Ward-Perkins e Whitby}}
# Shun Lien Chuang, ''Physics of Photonics Devices'', Wiley, 2009.
*{{cita libro | cognome=Evans | nome=James Allan Stewart | titolo=The Age of Justinian: The Circumstances of Imperial Power | città=New York | editore=Routledge | anno=1996 | isbn=0-415-02209-6 | url=https://books.google.com/books?id=1-0ac8p8fM4C | cid=Evans 1996}}
 
*{{cita libro | cognome=Haldon | nome=John F. | titolo=Byzantine Praetorians: An Administrative, Institutional and Social Survey of the Opsikion and Tagmata, c. 580–900 | anno=1984 | città=Bonn | editore=R. Habelt | isbn=3-7749-2004-4 | url=https://books.google.com/books?id=uEVoAAAAMAAJ | cid=Haldon 1984}}
*{{cita libro | cognome=Haldon | nome=John F. | titolo=Warfare, State and Society in the Byzantine World, 565-1204 | città=London | editore=University College London Press (Taylor & Francis Group) | anno=1999 | isbn=1-85728-495-X | url=https://books.google.com/books?id=5G1rV7tS79sC | cid=Haldon 1999}}
*{{cita libro | cognome=Kaegi | nome=Walter Emil | wkautore=Walter Kaegi | titolo=Byzantine Military Unrest, 471–843: An Interpretation | editore=Adolf M. Hakkert | città=Amsterdam | anno=1981 | isbn=90-256-0902-3 | cid=Kaegi}}
*{{cite encyclopedia | editor-last=Kazhdan | editor-first=Alexander | editor-link=Alexander Kazhdan | encyclopedia=[[The Oxford Dictionary of Byzantium]]| ___location=New York and Oxford | publisher=Oxford University Press | year=1991 | isbn=0-19-504652-8 | ref=harv}}
*{{cita libro | cognome=Treadgold | nome=Warren T. | wkautore = Warren Treadgold | titolo=Byzantium and Its Army, 284–1081 | anno=1995 | città=Stanford, California | editore=Stanford University Press | isbn=0-8047-3163-2 | url=https://books.google.com/?id=xfV0LkMNaLUC | cid=Treadgold 1995}}
*{{cita libro | cognome=Treadgold | nome=Warren | wkautore = Warren Treadgold | titolo=A History of the Byzantine State and Society | url=https://books.google.com/?id=nYbnr5XVbzUC | città=Stanford, California | editore=Stanford University Press | anno=1997 | isbn=0-8047-2630-2 | cid=Treadgold 1997}}
*{{cita libro | cognome=Whittow | nome=Mark | titolo=The Making of Byzantium, 600–1025 | città=Berkeley and Los Angeles, California | editore=University of California Press | anno=1996 | isbn=0-520-20496-4 | url=https://books.google.com/books?id=bFh-ASmKksYC | cid=Whittow 1996}}
*{{cita libro|curatore=John Wortley|titolo=John Skylitzes: A Synopsis of Byzantine History, 811-1057|città=Cambridge|editore=Cambridge University Press|anno=2010|isbn=978-0-521-76705-7|url=https://books.google.com/books?id=vGE8Xq832A0C|cid=Wortley 2010}}
 
{{DEFAULTSORT:Quantum-Confined Stark Effect}}
[[Categoria:Esercito bizantino]]
[[Categoria:Meccanica Quantistica]]