|
Una cacata lasciate perdere
iede due lati congruenti.
Vale il seguente ''teorema'': "Un triangolo ha due lati congruenti se e solo se ha due angoli congruenti". Questo teorema costituisce la quinta proposizione del Libro I degli [[Elementi di Euclide]] ed è noto come [[Pons asinorum]], ponte degli asini.
== Avviso Vandalismo su [[9 giugno]] ==
In un triangolo isoscele la [[bisettrice]] relativa all'angolo al vertice coincide con la [[Mediana (geometria)|mediana]] e l'[[Altezza (geometria)|altezza]] relative alla base.
{{Vandalismo|1=9 giugno}} <span style="text-shadow:#BBBBBB 0.2em 0.2em 0.1em; class=texhtml">[[Utente:Nubifer|Nubifer]]</span> <small>([[Discussioni utente:Nubifer|dicaaa]])</small> 08:57, 12 lug 2019 (CEST)
Particolari triangoli isosceli sono i [[triangolo equilatero|triangoli equilateri]] e i [[triangolo rettangolo|triangoli rettangoli]] isosceli.
Esistono anche triangoli isosceli [[triangolo acutangolo|acutangoli]] e [[triangolo ottusangolo|ottusangoli]].
I triangoli isosceli rettangoli sono tutti simili tra di loro, come i triangoli equilateri.
== Simmetrie ==
Un triangolo isoscele che non sia equilatero è invariante solo per la riflessione rispetto alla bisettrice dell'angolo diverso dai due rimanenti. Il suo [[gruppo di simmetria]], oltre alla [[Funzione identità|trasformazione identità]], comprende solo questa riflessione e quindi è isomorfo al gruppo di due elementi, ovvero al gruppo moltiplicativo sull'insieme <math>\{1, -1\}</math>.
== Triangoli isosceli in geometria analitica ==
'''Teorema 1:''' Condizione necessaria e sufficiente affinché un triangolo con la base parallela agli assi sia isoscele è che abbia i due lati di [[coefficiente angolare]] opposto.
'''Dimostrazione.'''
Date le tre rette
# <math> y = k </math>
# <math> y = mx </math>
# <math> y = -mx </math>
ne calcoliamo l'intersezione.
:<math>\left\{\begin{array}{rl}&y = k\\&y = mx\end{array}\right.</math>
:<math>\left\{\begin{array}{rl}&x = \frac{k}{m}\\&y = m\end{array}\right.</math>
:<math> A \left(\frac{k}{m}, m\right) </math>
:<math>\left\{\begin{array}{rl}&y = k\\&y = -mx\end{array}\right.</math>
:<math>\left\{\begin{array}{rl}&x = -\frac{k}{m}\\&y = m\end{array}\right.</math>
:<math> B \left(-\frac{k}{m}, m\right) </math>
:<math>\left\{\begin{array}{rl}&y = mx\\&y = -mx\end{array}\right.</math>
:<math>\left\{\begin{array}{rl}&x = 0\\&y = 0\end{array}\right.</math>
:<math>{\rm C}(0, 0)</math>
Ora calcoliamo la distanza dei segmenti <math>AC</math> e <math>BC</math>.
:<math> AC = \sqrt{\left(\frac{k}{m}\right)^{2} + k^{2}} </math>
:<math> BC = \sqrt {\left(-\frac{k}{m}\right)^{2} + k^{2}} </math>
Quindi il triangolo è isoscele sulla base <math>AB</math>. In modo analogo si dimostra il caso della base parallela all'asse <math>y</math>.
Viceversa costruiamo un triangolo isoscele con la base parallela all'asse delle ascisse.
Dati i due punti:
# <math> {\rm A} (x_1, k) </math>
# <math> {\rm B} (x_2, k) </math>
poiché il vertice di un triangolo isoscele giace sulla stessa retta del punto medio della base, prima troviamo <math>M</math> e poi <math>C</math>.
:<math> M \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, k\right) </math>
Quindi troviamo <math>C</math>, che avrà la stessa ascissa di <math>M</math> e diversa ordinata.
:<math> C \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, h\right) </math>
Verifichiamo che il triangolo è isoscele:
:<math> AC = \sqrt{\left(\frac{x_1 - x_2}{2}\right)^{2} + (k - h)^{2}} </math>
:<math> BC = \sqrt{\left(\frac{x_2 - x_1}{2}\right)^{2} + (k - h)^{2}} </math>
Ora calcoliamo il coefficiente angolare dei due lati:
:<math> m AC = (h - k) \cdot \left(\frac{2}{x_2 - x_1}\right) = \frac{2(h - k)}{x_2 - x_1} </math>
:<math> m BC = (h - k) \cdot \left(\frac{2}{x_1 - x_2}\right) = \frac{2(h - k)}{x_1 - x_2} </math>
'''Teorema 2:''' Condizione necessaria e sufficiente affinché un triangolo con la base parallela alla [[bisettrice]] di due quadranti sia isoscele è che abbia i due lati di [[coefficiente angolare]] inverso.
'''Dimostrazione.'''
Date le tre rette
# <math> y = x + q </math>
# <math> y = mx </math>
# <math> y = \frac{1}{m}x </math>
ne calcoliamo l'intersezione.
:<math>\left\{\begin{array}{rl}&y = x + q\\&y = mx\end{array}\right.</math>
:<math>\left\{\begin{array}{rl}&x (m - 1)= q\\&y = mx\end{array}\right.</math>
:<math>\left\{\begin{array}{rl}&x = \frac{q}{m - 1}\\&y = \frac{mq}{m - 1}\end{array}\right.</math>
:<math> A \left(\frac{q}{m - 1}, \frac{mq}{m - 1}\right) </math>
:<math>\left\{\begin{array}{rl}&y = x + q\\&y = \frac{1}{m}x\end{array}\right.</math>
:<math>\left\{\begin{array}{rl}&x (1 - m)= mq\\&y = \frac{1}{m}x\end{array}\right.</math>
:<math>\left\{\begin{array}{rl}&x = \frac{mq}{1 - m}\\&y = \frac{q}{1 - m}\end{array}\right.</math>
:<math> B \left(\frac{mq}{1 - m}, \frac{q}{1 - m}\right) </math>
:<math>\left\{\begin{array}{rl}&y = \frac{1}{m}x\end{array}\right.</math>
:<math>\left\{\begin{array}{rl}&x = 0\\&y = 0\end{array}\right.</math>
:<math>{\rm C}(0, 0)</math>
Ora calcoliamo la distanza dei segmenti <math>AC</math> e <math>BC</math>.
:<math> AC = \sqrt{\left(\frac{q}{m-1}\right)^{2} + \left(\frac{mq}{m-1}\right)^{2}} </math>
:<math> BC = \sqrt {\left(\frac{mq}{1-m}\right)^{2} + \left(\frac{q}{1-m}\right)^{2}} </math>
Quindi il triangolo è isoscele sulla base <math>AB</math>. In modo analogo si dimostra il caso della base parallela all'asse <math>y</math>.
Viceversa costruiamo un triangolo isoscele con la base parallela alla bisettrice del primo e terzo quadrante (lo stesso vale per quella parallela alla bisettrice del secondo e quarto quadrante).
Dati i due punti:
# <math> {\rm A} (0, q) </math>
# <math> {\rm B} (-q, 0) </math>
poiché il vertice di un triangolo isoscele giace sulla stessa retta del punto medio della base, prima troviamo <math>M</math> e poi <math>C</math>.
:<math> M \left(-\frac{q}{2}, \frac{q}{2}\right) </math>
Quindi troviamo <math>C</math>, che si trova sulla retta di equazione <math>y=-x</math> perpendicolare alla base e passante per <math>M</math>.
:<math>C(h,-h)</math>
dove <math>h</math> è un [[numero reale]] arbitrario diverso da <math>0</math>.
Verifichiamo che il triangolo è isoscele:
:<math> AC = \sqrt{h^{2} + (q + h)^{2}} </math>
:<math> BC = \sqrt{(-q -h)^{2} + h^{2}} </math>
Ora calcoliamo il coefficiente angolare dei due lati:
:<math> m AC = \frac{-h - q}{h} = -\frac{h + q}{h} </math>
:<math> m BC = \frac{-h}{h + q} = -\frac{h}{h + q} </math>
== Voci correlate ==
* [[Triangolo]]
* [[Triangolo equilatero]]
* [[Triangolo scaleno]]
* [[Teorema diretto dei triangoli isosceli]]
== Altri progetti ==
{{interprogetto}}
{{Poligoni}}
{{Portale|matematica}}
[[Categoria:Triangoli|Isoscele]]
| 