Ultimo teorema di Fermat e Wikipedia:Pagine da cancellare/Conta/2019 luglio 11: differenze tra le pagine

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{{Conteggio cancellazioni}}

[[File:Diophantus-II-8-Fermat.jpg|thumb|upright=1.6|L'edizione del 1670 dell'''Arithmetica'' di [[Diofanto di Alessandria]] include a margine il commento di Fermat, in latino, che espone il teorema (''Observatio Domini Petri de Fermat'').]]

{{Conteggio cancellazioni/In corso/Start|10:32, 15 lug 2019 (CEST)}}

L<nowiki>'</nowiki>'''ultimo teorema di Fermat''' (più correttamente definibile come '''ultima congettura di Fermat''', non essendo dimostrata all'epoca), affermò che non esistono soluzioni intere positive all'[[equazione]]:

{{Conteggio cancellazioni/In corso/Voce|i = 1 |voce = Premio Rhegium Julii |turno = |tipo = consensuale prorogata |data = 2019 luglio 11 |multipla = |argomenti = letteratura |temperatura = 23 }}

{{Conteggio cancellazioni/In corso/Voce|i = 2 |voce = Sheila Carter |turno = |tipo = consensuale |data = 2019 luglio 11 |multipla = |argomenti = Televisione |temperatura = 48 }}

:<math>a^n + b^n = c^n </math>

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se <math>n > 2 </math>.

{{Conteggio cancellazioni/In corso/Voce|i = 4 |voce = Massih Wassey |turno = |tipo = semplificata |data = 2019 luglio 11 |multipla = |argomenti = calcio |temperatura = 2 }}

{{Conteggio cancellazioni/In corso/Voce|i = 5 |voce = Ruben Sammut |turno = |tipo = semplificata |data = 2019 luglio 11 |multipla = |argomenti = calcio |temperatura = 0 }}

== Storia ==

{{Conteggio cancellazioni/In corso/Voce|i = 6 |voce = Dejan Iliev |turno = |tipo = semplificata |data = 2019 luglio 11 |multipla = |argomenti = calcio |temperatura = 0 }}

L'enunciato fu formulato da [[Pierre de Fermat]] nel [[1637]], il quale tuttavia non rese nota la dimostrazione che affermò di aver trovato. Scrisse in proposito, ai margini di una copia dell'''Arithmetica'' di [[Diofanto di Alessandria]] sulla quale era solito formulare molte delle sue famose teorie:

{{Conteggio cancellazioni/In corso/Voce|i = 7 |voce = Jordan Williams (calciatore) |turno = |tipo = semplificata |data = 2019 luglio 11 |multipla = |argomenti = calcio |temperatura = 1 }}

{{Conteggio cancellazioni/In corso/Voce|i = 8 |voce = Regan Poole |turno = |tipo = semplificata |data = 2019 luglio 11 |multipla = |argomenti = calcio |temperatura = 0 }}

:''"Dispongo di una meravigliosa dimostrazione di questo teorema, che non può essere contenuta nel margine troppo stretto della pagina"''.

{{Conteggio cancellazioni/In corso/Voce|i = 9 |voce = Foday Trawally |turno = |tipo = semplificata |data = 2019 luglio 11 |multipla = |argomenti = calcio |temperatura = 4 }}

{{Conteggio cancellazioni/In corso/Voce|i = 10 |voce = Ardit Gashi |turno = |tipo = semplificata |data = 2019 luglio 11 |multipla = |argomenti = calcio |temperatura = 2 }}

Nei secoli successivi diversi matematici hanno tentato di fornire una dimostrazione alla congettura di Fermat, tra questi vi sono:

{{Conteggio cancellazioni/In corso/Voce|i = 11 |voce = Isabella d'Orléans (1900-1983) |turno = |tipo = semplificata |data = 2019 luglio 11 |multipla = |argomenti = biografie, nobiltà |temperatura = 2 }}

# [[Leonhard Euler|Eulero]], che, nel [[XVIII secolo]], formulò una dimostrazione valida solo per <math>n=3</math>,

{{Conteggio cancellazioni/In corso/Voce|i = 12 |voce = Louise Windsor |turno = |tipo = semplificata |data = 2019 luglio 11 |multipla = |argomenti = biografie, nobiltà |temperatura = 2 }}

# [[Adrien-Marie Legendre]], che risolse il caso <math>n=5</math>,

{{Conteggio cancellazioni/In corso/Voce|i = 13 |voce = Joseph Pace |turno = 3 |tipo = semplificata |data = 2019 luglio 11 |multipla = |argomenti = biografie, arte |temperatura = 72 }}

# [[Sophie Germain]], che, lavorando sul teorema, ''scoprì'' che esso era probabilmente vero per <math>n</math> uguale a un particolare [[numero primo]] <math>p</math>, tale che <math>2p + 1</math> è anch'esso primo: i [[Numero primo di Sophie Germain|primi di Sophie Germain]].

{{Conteggio cancellazioni/In corso/Voce|i = 14 |voce = Medioevo extraeuropeo |turno = |tipo = semplificata |data = 2019 luglio 11 |multipla = |argomenti = storia |temperatura = 1 }}

{{Conteggio cancellazioni/In corso/Voce|i = 15 |voce = Marcy G. Kaplan |turno = |tipo = semplificata |data = 2019 luglio 11 |multipla = |argomenti = biografie, televisione |temperatura = 19 }}

Solo nel [[1994]], dopo sette anni di dedizione completa al problema e dopo un "falso allarme" nel [[1993]], [[Andrew Wiles]], affascinato dal teorema che fin da bambino sognava di risolvere, riuscì a dare finalmente una dimostrazione. Da allora ci si può riferire all'ultimo teorema di Fermat come al '''teorema di Fermat-Wiles'''.

{{Conteggio cancellazioni/In corso/Voce|i = 16 |voce = Sanix International Youth Rugby Tournament |turno = |tipo = semplificata |data = 2019 luglio 11 |multipla = |argomenti = sport |temperatura = 17 }}

Wiles utilizzò tuttavia elementi di matematica e algebra moderna che Fermat non poteva conoscere: la dimostrazione che Fermat affermava di avere, se fosse stata corretta, era pertanto diversa.

{{Conteggio cancellazioni/In corso/Voce|i = 17 |voce = Prima tappa del Giro d'Italia 2019 |turno = |tipo = semplificata |data = 2019 luglio 11 |multipla = |argomenti = ciclismo |temperatura = 3 }}

{{Conteggio cancellazioni/In corso/Voce|i = 18 |voce = Diego Acoglanis |turno = |tipo = semplificata |data = 2019 luglio 11 |multipla = |argomenti = calcio |temperatura = 7 }}

La soluzione di Wiles fu pubblicata nel [[1995]] e premiata il 27 giugno [[1997]] con il [[Premio Wolfskehl]], consistente in una borsa di {{formatnum:50000}} [[dollaro statunitense|dollari]].

{{Conteggio cancellazioni/In corso/Voce|i = 19 |voce = Bruno Lombardi |turno = |tipo = semplificata |data = 2019 luglio 11 |multipla = |argomenti = calcio |temperatura = 0 }}

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Nel 2016 l'[[Norwegian Academy of Science and Letters|Accademia norvegese di Scienze e Lettere]] ha assegnato a Sir Andrew J. Wiles il [[Premio Abel]] "per la sua splendida dimostrazione dell'Ultimo Teorema di Fermat (...), che apre una nuova era nella teoria dei numeri".

{{Conteggio cancellazioni/In corso/Voce|i = 21 |voce = Cosimo Savastano |turno = 3 |tipo = semplificata |data = 2019 luglio 11 |multipla = |argomenti = letteratura, arte |temperatura = 22 }}

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== Il contesto matematico ==

L'ultimo teorema di Fermat è una generalizzazione dell'[[equazione diofantea]] <math>a^2 + b^2 = c^2</math>. Già antichi [[Greci]] e [[Babilonesi]] sapevano che questa equazione ha delle soluzioni intere, come <math>(3, 4, 5)</math> (infatti <math>3^2 + 4^2 = 5^2</math>) o <math>(5, 12, 13)</math>. Queste soluzioni, conosciute come [[Terna pitagorica|terne pitagoriche]], sono infinite anche escludendo le soluzioni banali per cui <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math> hanno un [[divisore]] in comune e quelle, ancor più banali, in cui almeno uno dei numeri sia uguale a zero.

Secondo l'ultimo teorema di Fermat non esistono soluzioni intere positive quando l'esponente <math>2</math> è sostituito da un numero intero maggiore. Mentre il teorema stesso non si presta a nessuna applicazione, cioè non è stato usato per dimostrare altri teoremi, esso è particolarmente noto per la sua correlazione con molti argomenti matematici che apparentemente non hanno nulla a che vedere con la teoria dei numeri. La ricerca di una sua dimostrazione è stata all'origine dello sviluppo di importanti aree della matematica.

== Le origini ==

Il teorema deve essere dimostrato soltanto per <math>n=4</math> e nel caso in cui <math>n</math> sia un [[numero primo]]: se infatti si trovasse una soluzione <math>a^{kp} + b^{kp} = c^{kp}</math>, si avrebbe immediatamente una soluzione <math>(a^k)^p + (b^k)^p = (c^k)^p</math>.

Fermat stesso dimostrò in un altro suo lavoro il caso <math>n=4</math> o, più precisamente, che non esiste una terna <math>(a, b, c)</math> tale che <math>a^4 + b^4 = c^2</math> (ovviamente, se non esiste un <math>c</math> elevato al quadrato, non può nemmeno essercene uno elevato alla quarta potenza). Per la dimostrazione ha fatto uso della tecnica dimostrativa detta "della [[discesa infinita]]". Nel corso degli anni il teorema fu dimostrato per un numero sempre maggiore di esponenti specifici <math>n</math>, ma il caso generale rimaneva irrisolto.

[[Eulero]] dimostrò il teorema per <math>n=3</math>, mentre [[Dirichlet]] e [[Legendre]] fecero lo stesso per <math>n=5</math> nel [[1825]]. [[Gabriel Lamé]] dimostrò il caso <math>n=7</math> nel [[1839]].

Nel [[1983]] [[Gerd Faltings]] dimostrò la [[congettura di Mordell]]: per ogni <math>n > 2</math> c'è al massimo un numero finito di interi [[coprimo|coprimi]] <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math> con <math>a^n + b^n = c^n</math>.

== La dimostrazione ==

Utilizzando sofisticati strumenti della [[geometria algebrica]] (in particolare la teoria degli [[schema (matematica)|schemi]]), della [[teoria di Galois]] (in particolare le [[rappresentazioni di Galois]]), della teoria delle [[curva ellittica|curve ellittiche]] e delle [[forma modulare|forme modulari]] (in particolare le proprietà dell'[[algebra di Hecke]]), [[Andrew Wiles]], dell'[[università di Princeton]], con l'aiuto del suo primo studente [[Richard Taylor (matematico)|Richard Taylor]], diede una dimostrazione dell'ultimo teorema di Fermat, pubblicata nel [[1995]] sulla rivista ''[[Annals of Mathematics]]''. Nel [[1986]], [[Ken Ribet]] aveva dimostrato la [[congettura epsilon]] di [[Gerhard Frey]] secondo la quale ogni controesempio <math>a^n + b^n = c^n</math> all'ultimo teorema di Fermat avrebbe prodotto una curva ellittica, definita come

:<math>y^2 = x(x - a^n)(x + b^n),</math>

che a sua volta fornirebbe un controesempio alla [[Teorema di Taniyama-Shimura|congettura di Taniyama-Shimura]] (una congettura che lega curve ellittiche e forme modulari).

Wiles dimostrò un caso speciale della congettura di Taniyama-Shimura, mostrando che quest'ultima congettura non può avere controesempi di tal tipo, dimostrando quindi il teorema di Fermat.

Wiles impiegò sette anni per risolvere quasi tutti i particolari, da solo e in assoluta segretezza (tranne una fase finale di revisione, per la quale si avvalse dell'aiuto di un suo collega di Princeton, [[Nicholas Katz]]).

Quando, nel corso di tre conferenze tenute all'[[università di Cambridge]] tra il 21-23 giugno [[1993]], Wiles annunciò la dimostrazione, stupì per il gran numero di idee e tecniche usate. Dopo un controllo più attento fu però scoperto un serio errore che sembrava condurre al ritiro definitivo della dimostrazione.

Wiles trascorse circa un anno per rivedere la dimostrazione, avvalendosi anche dell'aiuto di Taylor, e nel settembre [[1994]] pubblicò la versione finale e corretta suddividendola in due articoli. Il primo, più corposo, contiene gran parte delle idee usate (e si basa su un approccio in parte diverso da quello usato per la prima dimostrazione integrando idee inizialmente scartate), mentre il secondo, scritto con Taylor, contiene un risultato tecnico necessario per concludere la dimostrazione.

Gli strumenti matematici utilizzati da Wiles e Taylor non erano conosciuti ai tempi di Fermat, quindi continua a sussistere il mistero – ed il dubbio – sulla dimostrazione che Fermat avrebbe potuto fornire.

== Fermat ha dato realmente una dimostrazione? ==

La citazione in [[Lingua latina|latino]] diceva:

{{Citazione|È impossibile separare un cubo in due cubi, o una potenza quarta in due potenze quarte, o in generale, tutte le potenze maggiori di 2 come somma della stessa potenza. Dispongo di una meravigliosa dimostrazione di questo teorema, che non può essere contenuta nel margine troppo stretto della pagina|Pierre de Fermat|Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi.

Hanc marginis exiguitas non caperet.|lingua=la}}

Ci sono seri dubbi riguardo alla rivendicazione di Fermat di aver trovato una dimostrazione veramente importante, che fosse corretta.

La dimostrazione di [[Andrew Wiles|Wiles]], di circa 200 pagine nella prima dimostrazione, ridotte a 130 nella versione definitiva, è considerata unanimemente al di là della comprensione della maggior parte dei matematici di oggi. Spesso le dimostrazioni iniziali della maggior parte dei risultati non sono tipicamente le più dirette ed è quindi possibile che, data la complessità, possa esistere una dimostrazione più sintetica ed elementare. Non è però verosimile che la dimostrazione di Wiles possa essere semplificata in maniera significativa, soprattutto fino a essere esprimibile con gli strumenti matematici posseduti da Fermat.

I metodi utilizzati da Wiles erano difatti sconosciuti quando Fermat scriveva e pare estremamente improbabile che Fermat sia riuscito a derivare tutta la matematica necessaria per dimostrare una soluzione. Andrew Wiles stesso ha affermato "''è impossibile; questa è una dimostrazione del [[XX secolo]]''".

Dunque, o esiste una dimostrazione più semplice che i matematici finora non hanno trovato, o Fermat semplicemente si sbagliò. Per questo sono particolarmente interessanti diverse dimostrazioni errate, ma in prima analisi plausibili, che erano alla portata di Fermat. La più nota si basa sul presupposto erroneo che l'unicità della scomposizione in fattori primi funzioni in tutti gli anelli degli elementi integrali dei campi sui numeri algebrici (vedi [[Dominio a fattorizzazione unica]] e [[Fattorizzazione (teoria degli anelli)#Origini]]).

Questa è una spiegazione accettabile per molti esperti della [[teoria dei numeri]] considerando anche che molti dei maggiori matematici successivi che hanno lavorato sul problema hanno seguito questo percorso e talvolta hanno anche sinceramente creduto di aver dimostrato il teorema, salvo successivamente dover ammettere di avere fallito.

Il fatto che Fermat non abbia mai reso pubblico, né comunicato a qualche amico o collega, nemmeno un'enunciazione circa l'esistenza di una dimostrabilità (come invece faceva di solito per le sue soluzioni di cui era certo), può essere un forte indizio di un suo successivo ripensamento, dovuto a una tardiva scoperta di un errore nel suo tentativo di dimostrazione. Di fatto l'unica "enunciazione" consistette solo in un suo appunto personale manoscritto ai margini di un libro.

Fermat, inoltre, pubblicò successivamente un suo lavoro di dimostrazione per il caso speciale ''n''=4 (ovvero <math>a^4 + b^4 = c^4</math>). Se realmente avesse ancora ritenuto di possedere una dimostrazione completa per il teorema, non avrebbe pubblicato un tale lavoro parziale, indice che la ricerca non era per lui né soddisfacente e neppure conclusa.

Lo stesso dicasi dei matematici che, dopo di lui, dimostrarono il teorema per dei numeri singoli. Si trattò senz'altro di eventi notevoli ma di portata non risolutiva, dato che per definizione i numeri sono infiniti. Ciò che si richiedeva era un procedimento che permettesse la generalizzazione della dimostrazione.

== L'"ultimo teorema" nella finzione ==

{{C|[[WP:CULTURA]], [[WP:CURIOSITÀ]]|matematica|dicembre 2016}}

* Nel romanzo ''[[La ragazza che giocava con il fuoco]]'', di [[Stieg Larsson]], la protagonista Lisbeth Salander si avvicina al problema e ha un'intuizione sulla sua (semplice, quasi banale) soluzione, mentre attraversa uno spazio all'aperto per nascondersi. La soluzione da lei intravista viene comunque completamente dimenticata dopo essere stata colpita alla testa.

* Nel romanzo ''[[Un uomo (romanzo)|Un uomo]]'' di [[Oriana Fallaci]], il protagonista [[Alekos Panagulis]], durante gli anni di isolamento in prigione, arriva alla soluzione del teorema di Fermat ma, non essendogli concesse carta e penna, non riesce a fissare il suo ragionamento, perdendolo per sempre.

* Nel primo episodio della quinta stagione moderna di [[Doctor Who]], intitolato ''[[Episodi di Doctor Who (nuova serie) (quinta stagione)#The Eleventh Hour|The Eleventh Hour]]'', [[Dottore (Doctor Who)|il Dottore]] afferma di essere stato lui ad aver suggerito il risultato corretto a Fermat.

* Nel romanzo ''[[Il teorema del pappagallo]]'', di [[Denis Guedj]], un vecchio matematico, Grosrouvre, manda una lettera al suo vecchio amico Pierre Ruche affermando di aver dimostrato due congetture: l'ultimo teorema di Fermat e la [[congettura di Goldbach]], anche se voleva tener segrete le dimostrazioni.

* Nell'episodio ''[[Episodi di Star Trek: The Next Generation (seconda stagione)#Hotel Royale|Hotel Royale]]'' di [[Star Trek: The Next Generation]] il capitano [[Jean-Luc Picard]], parlando col comandante [[William Riker]] racconta del teorema di Fermat e di come da 800 anni si tenti, invano, di risolverlo. Come nonostante tutta la loro civiltà, la loro tecnologia il loro grado di avanzamento, ancora non siano riusciti a risolvere una così semplice equazione. Si deve considerare che l'episodio è andato in onda nel 1989, pochi anni prima che il teorema venisse risolto. Il teorema viene citato per la seconda volta in [[Viaggi nella memoria]], un episodio di [[Star Trek - Deep Space Nine]], quando viene rivelato che anche Tobin Dax aveva cercato di risolvere questa equazione e che Jadzia Dax si sarebbe ripromessa di cercare sempre soluzioni originali per ogni problema.

* Nel numero 28 degli albi speciali estivi della serie a fumetti ''[[Martin Mystère]]'' della casa editrice [[Sergio Bonelli Editore|Bonelli]], intitolato "''Numeri immaginati''",<ref>[http://www.sergiobonelli.it/scheda/8030/I-dolori-del-giovane-Martin.html ''Numeri immaginati'' in ''Speciale Martin Msytere #28 - I DOLORI DEL GIOVANE MARTIN'']</ref> si racconta come è nata la storia del teorema e successivamente come si è evoluta. La storia è scritta da [[Alfredo Castelli]] e si trova nel piccolo albo accluso all'albo principale.

* Nel film del 2000 ''[[Indiavolato]]'', il problema che [[Elizabeth Hurley]], il diavolo, mostra alla classe è un'applicazione dell'ultimo teorema di Fermat, del quale molti studiosi usavano dire che avrebbero venduto l'anima al diavolo per risolverlo.

* In due episodi de ''[[I Simpson]]'' ("[[La paura fa novanta I-X#La paura fa novanta VI|La paura fa novanta VI]]" e "[[Episodi de I Simpson (decima stagione)#L.27inventore di Springfield|L'inventore di Springfield]]") compaiono due diverse equazioni che sembrano smentire il teorema di Fermat. Il trucco usato dagli sceneggiatori risiede nell'approssimazione a 10 cifre delle calcolatrici tradizionali.

* Nel romanzo ''[[L'Ultimo Teorema]]'' di [[Arthur Charles Clarke|Arthur C. Clarke]] e [[Frederick Pohl]], il protagonista Ranjit Subramanian riesce a dimostrare il teorema.

* Nel film ''[[Oxford Murders - Teorema di un delitto]]'' il Teorema di Bormat è in realtà l'ultimo Teorema di Fermat.

== Note ==

<references/>

== Bibliografia ==

* {{cita libro | autore = [[Amir D. Aczel]]| titolo = L'enigma di Fermat| editore = Net | anno = 1998 | isbn = 88-515-2082-8}}

* {{cita libro | autore = [[Simon Singh]] | titolo = [[L'ultimo teorema di Fermat]] | editore = [[Rizzoli Editore|Rizzoli]] | città = Milano | anno = 1999 | isbn = 88-17-11291-7 }}

== Voci correlate ==

* [[Andrew Wiles]]

* [[Il teorema del pappagallo]], romanzo che ruota intorno all'ultimo teorema di Fermat

* [[Numero primo]]

* [[Teoria dei numeri]]

* [[Teorema di Pitagora]]

* [[Curva ellittica]]

* [[Forma modulare]]

* [[Congettura di Eulero]]

== Altri progetti ==

{{interprogetto|commons=Category:Fermat's last theorem|b=L'ultimo teorema di Fermat|b_etichetta=L'ultimo teorema di Fermat}}

== Collegamenti esterni ==

* {{Thesaurus BNCF}}

{{Controllo di autorità}}

{{Portale|matematica}}

[[Categoria:Teoria dei numeri]]

[[Categoria:Teoremi|Fermat, ultimo teorema di]]

[[Categoria:Equazioni diofantee|Fermat, ultimo teorema di]]