Equazione di Eulero e Discussioni utente:117.53.138.161: differenze tra le pagine

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Le '''equazioni lineari omogenee a coefficienti variabili di Eulero''' sono equazioni di tipo particolare del tipo:

== Avviso Test su [[Discussioni utente:117.53.138.161]] ==

:<math>x^n y^{(n)} + a_1 x^{n-1} y^{(n-1)} + \ldots + a_{n-1} x y' + a_{n} y = 0</math>

{{Test|1=Discussioni utente:117.53.138.161}} <em><span style="color:#000000;"><span style="font-family:georgia,serif;">[[Utente:Superpes15|Superpes15]]</span></span></em><span style="color:#0000ff;">[[Discussioni utente:Superpes15|^{<u>(talk)</u>}]]</span> 05:11, 18 lug 2019 (CEST)

le cui soluzioni si possono trovare facilmente sottoforma di potenze <math>y(x) = x^{\lambda}</math>.

{{Yc}} <em><span style="color:#000000;"><span style="font-family:georgia,serif;">[[Utente:Superpes15|Superpes15]]</span></span></em><span style="color:#0000ff;">[[Discussioni utente:Superpes15|^{<u>(talk)</u>}]]</span> 05:17, 18 lug 2019 (CEST)

==Esempio==

Facciamo un esempio di equazione di [[Eulero]] di secondo grado:

:<math>x^{2} y'' + a_{1} x y' + a_{2} y = 0</math>

allora sostituiamo <math>y(x) = x^{\lambda}</math> ottenendo il polinomio associato:

:<math>x^2 \lambda (\lambda - 1) + a_{1} \lambda x^2 + a_{2} x^2 = 0</math>

:<math>\lambda (\lambda - 1) + a_{1} \lambda + a_{2} = 0</math>

Una volta trovate le radici si risolve secondo un'equazione lineare ordinaria, con integrale generale che dipende dal segno del delta; nel caso il delta sia maggiore di zero, e quindi, per soluzioni reali e positive, l'integrale sarà pari alla seguente forma:

:<math>y(x) = a x^{\lambda_{1}} + b x^{\lambda_{2}}</math>

Per delta nullo avremo:

:<math>y(x) = a x^{\lambda_{0}} + b x^{\lambda_{0}} ln(x) </math>

Per delta negativo, avremo invece soluzioni immaginarie del tipo

:<math> \lambda_{1} = u + iv </math> e :<math> \lambda_{2} = u - iv

che daranno soluzioni del tipo:

:<math>y(x) = x^{u} [ cos(ln(x)v) + sen(ln(x)v)] </math>

==Voci correlate==

*[[Equazione differenziale ordinaria]]

*[[Equazioni differenziali lineari di ordine superiore]]

{{Portale|matematica}}

[[Categoria:Equazioni differenziali ordinarie|Omogenea]]

[[de:Eulersche Differentialgleichung]]

[[en:Cauchy–Euler equation]]

[[fa:معادله کوشی-اولر]]

[[fr:Équation différentielle d'Euler]]

[[ko:코시-오일러 방정식]]

[[km:សមីការកូស៊ី-អយល័រ]]

[[pl:Równanie różniczkowe Eulera]]

[[pt:Equação de Euler]]

[[ru:Уравнение Коши — Эйлера]]

[[zh:柯西－歐拉方程]]