Funzione eta di Dirichlet e Marco Scaramellini: differenze tra le pagine

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{{Carica pubblica

Per ogni ''s'' con <math> Re(s) > 0 </math> la '''funzione eta di Dirichlet''' si definisce come<ref name=aas>M. Abramowitz e I. Stegun (1964) [[Handbook of Mathematical Functions]] Governement Printing Office [http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_807.htm p. 807]</ref>:

|nome = Marco Scaramellini

|carica = [[Sindaci di Sondrio|Sindaco di Sondrio]]

|mandatoinizio = 26 giugno [[2018]]

|mandatofine =

|predecessore = [[Alcide Molteni]]

|successore =

|partito = [[Lega Nord]]

|titolo di studio = Laurea in ingegneria civile

|alma mater = [[Politecnico di Milano]]

|professione = Ingegnere

}}

{{Bio

|Nome = Marco

|Cognome = Scaramellini

|Sesso = M

|LuogoNascita = Chiavenna

|GiornoMeseNascita = 15 ottobre

|AnnoNascita = 1965

|LuogoMorte =

|GiornoMeseMorte =

|AnnoMorte =

|Attività = politico

|Attività2 = ingegnere

|Nazionalità = italiano

|PostNazionalità = , sindaco di [[Sondrio]] dal 26 giugno [[2018]]

}}

==Biografia==

:<math>\eta(s) = \sum_{n=1}^{\infty}{(-1)^{n-1} \over n^s}=1 - \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} - \cdots </math>

Figlio di Egidio Scaramellini, nasce a [[Chiavenna]], in provincia di [[Sondrio]], nel [[1965]]. Verso la fine degli anni '80 frequenta il [[Politecnico di Milano]], dove si laurea in ingegneria civile nel [[1990]]. Successivamente si iscrive all'Ordine Professionale degli ingegneri della Provincia di Sondrio e dopo essersi iscritto anche all'Albo dei collaudatori della [[Regione Lombardia]], dal [[1996]] al [[2007]] diventa cultore della materia urbanistica presso il Dipartimento di architettura e pianificazione del Politecnico di Milano.

Nel 2018 si candida alla carica di sindaco di [[Sondrio]] appoggiato da una coalizione di [[centro-destra]] formata da [[Lega Nord]], [[Forza Italia (2013)|Forza Italia]], [[FdI|Fratelli d'Italia]] e tre liste civiche. Dopo aver prevalso al primo turno delle elezioni, vince anche il ballottaggio del 24 giugno con il 60,37% delle preferenze, imponendosi sul candidato di [[centro-sinistra]] Nicola Giugni.

Sono disponibili alcune estensioni che portano la [[serie]] a convergere per ogni <math>s \in \mathbb{C}</math>

==Collegamenti esterni==

==Correlazione con la funzione zeta di Riemann==

* {{Cita web|url=https://amministratori.interno.gov.it/amministratori/ServletNomeReg3?campo1=780366&campo2=a|titolo=Marco Scaramellini|sito=[[Ministero dell'interno]]|accesso=17 maggio 2019}}

{{Approfondimento|titolo=Dimostrazione|contenuto=

* {{Cita web|url=http://www.studioscaramellini.it/wp-content/uploads/2018/05/CURRICULUM-2018.pdf|titolo=Curriculum Vitae|accesso=17 maggio 2019}}

È possibile dare una semplice giustificazione di questo fatto che non costituisce però una dimostrazione rigorosa.

Poiché la funzione zeta è definita come:

:<math>\zeta(s) = 1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{4^s} + \cdots</math>

Possiamo dire che:

:<math>\frac{1}{2^s} \zeta(s) = \frac{1}{2^s} + \frac{1}{4^s} + \frac{1}{6^s} + \cdots</math>

Ora se aggiungiamo questa somma alla funzione eta avremo che:

:<math>\eta(s) + \frac{1}{2^s} \zeta(s) =</math>

:<math>= 1 - \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} - \frac{1}{4^s} + \cdots + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{4^s} + \frac{1}{6^s} + \cdots =</math>

:<math>= 1 + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{5^s} + \cdots</math>

Se ci aggiungiamo un'altra volta :<math>\frac{1}{2^s} \zeta(s)</math> avremo che:

:<math>\eta(s) + \frac{1}{2^s} \zeta(s) + \frac{1}{2^s} \zeta(s) =</math>

:<math>= 1 + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{5^s} + \cdots +\frac{1}{2^s} + \frac{1}{4^s} + \frac{1}{6^s} + \cdots </math>

Ossia:

:<math>\eta(s) + \frac{1}{2^{s-1}} \zeta(s) = 1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{4^s} + \cdots = \zeta(s)</math>

E dunque:

:<math>\eta(s)= \zeta(s)- \frac{1}{2^{s-1}} \zeta(s)=\left(1-2^{1-s}\right) \zeta(s)</math>

[[Come volevasi dimostrare|QED]]

{{Sindaco

|città = Sondrio

|stemma = Sondrio-Stemma.png

|periodo = dal 26 giugno [[2018]]

|precedente = [[Alcide Molteni]]

|successivo = ''in carica''

}}

Si può stabilire una correlazione tra la funzione eta e la [[funzione zeta di Riemann]] ζ:

:<math>\eta(s) = \left(1-2^{1-s}\right) \zeta(s)</math>

Poiché la funzione eta converge per ogni <math> Re(s) > 0 </math> mentre la [[funzione zeta]] solo per <math> Re(s) > 1 </math> la funzione eta può rappresentare un [[prolungamento analitico]] dell'altra.

==Relazione di Riflessione==

Analogamente alla [[funzione zeta di Riemann]] si può dimostrare questa formula di riflessione

:<math>\eta(-s) = 2\pi^{-s-1} s \sin\left({\pi s \over 2}\right) \Gamma(s)\eta(s+1).</math>

Che ci fornisce un [[prolungamento analitico]] per il [[piano complesso|semipiano complesso]] negativo.

==Valori particolari==

Grazie alla suddetta formula che collega la funzione eta a la funzione zeta si possono ricavare delle forme esatte (o chiuse) per ogni valore in cui la [[funzione zeta di Riemann]] è definita esattamente, ovvero per i [[numero pari|valori pari]] di ''s'', mentre per i valori dispari non si dispone ancora di una forma esatta. Nel caso ''s=0'' (nel quale la formula è indeterminata) invece si dispone di un valore adatto poiché è un caso particolare della [[serie di Mercator]].

Ecco dunque i valori per cui si dispone di una forma esatta:

:<math> \!\ \eta(1) = \ln2 </math>, ossia la [[serie armonica a segni alterni]]

:<math>\eta(2) = {\pi^2 \over 12} </math>

:<math>\eta(4) = {{7\pi^4} \over 720} </math>

:<math>\eta(6) = {{31\pi^6} \over 30240} </math>

:<math>\eta(8) = {{127\pi^8} \over 1209600} </math>

:<math>\eta(10) = {{73\pi^{10}} \over 6842880} </math>

:<math>\eta(12) = {{61499\pi^{12}} \over {56855407305}} </math>

Più in generale per ogni valore pari di ''s'':

<math>\eta(2s) = {{B_{2s}\pi^{2s}(4^{s} - 1)} \over {(2s!)}} </math>

Dove <math> B_s </math> sono i [[numeri di Bernoulli]]

Per i valori di ''s'' minori di 1 la [[serie]] diverge ma è possibile trovare dei prolungamenti analitici:

<math>\eta(0) =1-1+1-1+1-\cdots =\frac{1}{2}</math>

<math>\eta(-1) =1-2+3-4+5-\cdots =\frac{1}{4}</math>

Generalizzando per ogni ''s'' minore di uno

<math>\eta(1-k) = \frac{2^k-1}{k} B_k.</math>

==Note==

<references/>

==Bibliografia==

* Borwein, P., ''[https://web.archive.org/web/20070221200342/http://www.cecm.sfu.ca/personal/pborwein/PAPERS/P117.ps An Efficient Algorithm for the Riemann Zeta Function]'', Constructive experimental and nonlinear analysis, CMS Conference Proc. 27 (2000), 29-34.

* Xavier Gourdon and Pascal Sebah, ''[http://numbers.computation.free.fr/Constants/Miscellaneous/zetaevaluations.pdf Numerical evaluation of the Riemann Zeta-function]'', Numbers, constants and computation (2003)

* Borwein, P., http://www.cecm.sfu.ca/~pborwein/

*{{Cita libro |cognome=Knopp |nome=Konrad |wkautore=Konrad Knopp |titolo=Theory and Application of Infinite Series |anno=1990 |annooriginale=1922 |editore=Dover |isbn=0-486-66165-2 }}

*John Derbyshire. ''L'ossessione dei numeri primi: Bernhard Riemann e il principale problema irrisolto della matematica''. Torino, Bollati Boringhieri, 2006. ISBN 88-339-1706-1.

==Voci correlate==

*[[Funzione zeta di Riemann]]

*[[Serie di Mercator]]

*[[serie armonica a segni alterni]]

== Altri progetti ==

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[[Categoria:Serie matematiche]]

[[Categoria:Studenti del Politecnico di Milano]]