Numero razionale e Pilou Asbæk: differenze tra le pagine

Versione delle 16:37, 1 mar 2019

Versione delle 12:05, 27 lug 2019

Riga 1:

{{Bio

U piccion d mamat In [[matematica]], un '''numero razionale''' è un [[numero]] ottenibile come [[rapporto]] tra due [[numero intero|numeri interi]], il secondo dei quali diverso da 0. Ogni numero razionale quindi può essere espresso mediante una [[Frazione (matematica)|frazione]] ''a/b'', di cui '''a''' è detto il [[numeratore]] e '''b''' il [[denominatore]]. Sono ad esempio numeri razionali i seguenti:

|Nome = Johan Philip

:<math>1</math>, <math>-5</math>, <math>�rac{3}{2}</math>.

|Cognome = Asbæk

|PostCognome = noto come '''Pilou Asbæk'''

|Sesso = M

|LuogoNascita = Copenaghen

|GiornoMeseNascita = 2 marzo

|AnnoNascita = 1982

|LuogoMorte =

|GiornoMeseMorte =

|AnnoMorte =

|Attività = attore

|Nazionalità = danese

|Immagine = Ghost In The Shell World Premiere Red Carpet- Pilou Asbæk (36734941733).jpg

|Didascalia = Pilou Asbæk alla première di ''[[Ghost in the Shell]]'' nel 2017

}}

== Biografia ==

I numeri razionali formano un [[campo (matematica)|campo]], indicato con il simbolo <math>mathbb{Q}</math>, che sta per [[quoziente]]. In gran parte dell'[[analisi matematica]] i numeri razionali sono visti come particolari [[numeri reali]], nel senso che esiste un [[isomorfismo]] tra i numeri reali dotati di parte decimale finita o periodica e i numeri razionali, il quale preserva la struttura di <math>mathbb{Q}</math> come [[Campo (matematica)#Sottocampi e estensione di campi|(sotto)-campo]] di <math>mathbb{R}</math>; i numeri reali che non sono razionali sono detti ''[[numero irrazionale|irrazionali]]''. Ad esempio, sono irrazionali i seguenti:

Figlio di Maria Patricia e Jacob A. Asbæk, proprietari della galleria d'arte ''Galerie Asbæk'' a [[Copenaghen]]<ref name=":0">{{Cita news|lingua=en|url=https://www.thesun.co.uk/tvandshowbiz/4001961/pilou-asbaek-game-of-thrones-euron-greyjoy-borgen/|titolo=Who is Pilou Asbæk, the man behind Game Of Thrones' Euron Greyjoy?|pubblicazione=The Sun|data=31 luglio 2017|accesso=4 agosto 2017}}</ref>. Ha due fratelli maggiori: Thomas, consulente d'arte, e Martin, proprietario della galleria d'arte ''Martin Asbæk Gallery''. Nel 2009 fa una comparsa in iun episodio della serie televisiva danese [[The Killing (serie televisiva 2007)|''The Killing'']]. L'anno successivo interpreta Rune<ref>{{Cita news|lingua=en|nome=Stephen|cognome=Holden|url=https://www.nytimes.com/2011/06/17/movies/r-pilou-asbaek-in-film-about-danish-prison-review.html|titolo=‘R,’ Pilou Asbaek in Film About Danish Prison - Review|pubblicazione=The New York Times|data=16 giugno 2011|accesso=4 agosto 2017}}</ref>, nel film campione di critica, ''[[R (film)|R]]'', ambientato in un carcere di massima sicurezza. Per la sua performance, Asbæk vince il ''Robert Award'' dalla Danish Film Academy.<ref name=":1">{{Cita web|url=http://cineuropa.org/nw.aspx?t=newsdetail&l=it&did=296345|titolo=Tobias Lindholm scatenerà A War nella sezione Orizzonti di Venezia|sito=Cineuropa - il meglio del cinema europeo|accesso=4 agosto 2017}}</ref>

:<math>sqrt 2</math>, <math>mathrm{e}</math>, <math>pi</math>.

Nessuno di questi numeri può infatti essere descritto come rapporto di due numeri interi. I numeri <math>mathrm{e}</math> e <math>pi</math> indicano rispettivamente la [[costante di Nepero]] e [[pi greco]].

Dal 2010 al 2013 interpreta lo [[spin doctor]] Kasper Juul in ''[[Borgen - Il potere]]'', che racconta la storia di Birgitte Nyborg, una politica carismatica che inaspettatamente diventa il primo ministro donna di Danimarca<ref>{{Cita news|lingua=en|url=https://www.independent.co.uk/arts-entertainment/tv/features/fancy-a-danish-what-about-pilou-asbaek-the-man-who-plays-kasper-juul-in-borgen-8603842.html|titolo=Fancy a Danish? What about Pilou Asbaek - the man who plays Kasper|pubblicazione=The Independent|data=4 maggio 2013|accesso=4 agosto 2017}}</ref>. Successivamente interpreta, per 7 episodi, Paolo Orsini nella serie [[I Borgia (serie televisiva canadese)|''I Borgia'']]. Nel 2012 è tra i protagonisti di ''[[A Hijacking]]'', docufilm sui pirati somali, diretto da [[Tobias Lindholm]]<ref name=":1" /> e presentato alla [[69ª Mostra internazionale d'arte cinematografica di Venezia]]<ref>{{Cita news|url=http://cinema.everyeye.it/notizie/a-hijacking-un-inteso-trailer-del-regista-tobias-lindholm-in-concorso-a-venezia-132316.html|titolo=A Hijacking: un inteso trailer del regista Tobias Lindholm in concorso a Venezia|pubblicazione=Everyeye.it|accesso=4 agosto 2017}}</ref>. Nel 2014, accanto all'attrice [[Scarlett Johansson]], interpreta Richard nel film [[Lucy (film 2014)|''Lucy'']], diretto da [[Luc Besson]]<ref name=":2">{{Cita web|url=https://eurovisionireland.net/2014/08/26/eurovision-2014-host-pilou-asbaek-in-hollywood-film-lucy-with-scarlett-johansson/|titolo=Eurovision 2014 Host Pilou Asbæk In Hollywood Film ‘Lucy’ with Scarlett Johansson|sito=Eurovision Ireland|data=25 agosto 2014|lingua=en|accesso=4 agosto 2017}}</ref><ref>{{Cita news|url=http://www.vogue.it/l-uomo-vogue/people-stars/2017/07/17/pilou-asbaek-borgen-game-of-thrones/|titolo=Pilou Asbæk, da Borgen a Game of Thrones - Vogue.it|pubblicazione=Vogue.it|data=17 luglio 2017|accesso=4 agosto 2017|urlarchivio=https://web.archive.org/web/20170729211856/http://www.vogue.it/l-uomo-vogue/people-stars/2017/07/17/pilou-asbaek-borgen-game-of-thrones|dataarchivio=29 luglio 2017|urlmorto=sì}}</ref>. Lo stesso anno, ha presentato, insieme a Lise Rønne e Nikolaj Koppel, l'[[Eurovision Song Contest 2014|Eurovision Song Contest]]<ref name=":2" />.

Mentre oggi spesso l'insieme dei numeri razionali è visto come sottoinsieme di quello dei [[numeri reali]], storicamente e naturalmente i razionali sono stati introdotti prima dei reali, per permettere l'operazione di [[divisione (matematica)|divisione]] fra [[numeri interi]]. I numeri reali si possono introdurre servendosi dei numeri razionali in vari modi: mediante le [[sezione di Dedekind|sezioni di Dedekind]], con una [[costruzione dei numeri reali#Costruzione tramite successioni di Cauchy|costruzione tramite successioni di Cauchy]], con serie convergenti di numeri razionali.

Alla quarta collaborazione con il regista [[Tobias Lindholm]]<ref>{{Cita news|lingua=en|nome=Ursula|cognome=Kenny|url=https://www.theguardian.com/film/2015/dec/20/pilou-asbaek-interview-borgen-the-war|titolo=Pilou Asbæk: ‘I didn’t know what I had with Borgen’|pubblicazione=The Guardian|data=20 dicembre 2015|accesso=4 agosto 2017}}</ref>, Asbæk interpreta nel 2015 un soldato in [[Afghanistan]] in ''[[Krigen]]''<ref name=":1" />, il film viene presentato alla [[72ª Mostra internazionale d'arte cinematografica di Venezia]]<ref>{{Cita news|lingua=en|url=https://www.hollywoodreporter.com/review/a-war-krigen-venice-review-820703|titolo='A War' ('Krigen'): Venice Review|pubblicazione=The Hollywood Reporter|accesso=4 agosto 2017}}</ref> e riceve una candidatura all'[[Oscar al miglior film in lingua straniera]] nel 2016<ref>{{Cita news|url=https://www.comingsoon.it/cinema/news/oscar-2016-nuovo-trailer-americano-per-a-war-candidato-come-miglior-film/n53589/|titolo=Oscar 2016: nuovo trailer americano per A War, candidato come miglior film straniero|pubblicazione=ComingSoon.it|accesso=4 agosto 2017}}</ref>. Nel 2016 affianca [[Jack Huston]] e [[Morgan Freeman]] nel remake di ''[[Ben-Hur (film 2016)|Ben-Hur]]'', dove interpreta [[Ponzio Pilato]], e l'anno successivo è nel film ''[[Ghost in the Shell (film 2017)|Ghost in the Shell]]'', adattamento live-action dell'[[Ghost in the Shell|omonima saga d'animazione giapponese]], nel ruolo di Batou.<ref>{{Cita web|url=http://www.ilcineocchio.it/cinema/pilou-asbaek-ritrova-di-scarlett-johansson-in-ghost-in-the-shell/|titolo=Pilou Asbæk ritrova Scarlett Johansson in Ghost in the Shell|sito=www.ilcineocchio.it|accesso=4 agosto 2017}}</ref> Dal 2016 al 2019 ha interpretato il ruolo di [[Casa Greyjoy#Euron|Euron Greyjoy]] nella serie televisiva ''[[Il Trono di Spade (serie televisiva)|Il Trono di Spade]]''.<ref>{{Cita news|lingua=en|url=http://watchersonthewall.com/sources-report-euron-cast-major-scene-filmed-today-in-ballintoy-harbour/|titolo=CONFIRMED: Euron cast, major scene filmed today in Ballintoy Harbour|pubblicazione=Watchers on the Wall|data=1º settembre 2015|accesso=4 agosto 2017}}</ref><ref>{{Cita news|url=http://talkyseries.it/post/17246/game-of-thrones-7-pilou-asbaek-euron-spoiler/|titolo=Pilou Asbæk parla di Euron in Got 7 e dell'odio verso gli spoiler|pubblicazione=Talky! Series|data=2 aprile 2017|accesso=4 agosto 2017|urlarchivio=https://web.archive.org/web/20170711120918/http://talkyseries.it/post/17246/game-of-thrones-7-pilou-asbaek-euron-spoiler/|dataarchivio=11 luglio 2017|urlmorto=sì}}</ref>

In [[fisica]], il risultato di una misurazione è solitamente esprimibile come numero razionale, dipendente dalla precisione dello strumento.

=== StoriaVita privata ===

È sposato con la drammaturga Anna Bro, con cui ha una relazione dal 2008. La coppia ha una figlia, Agnes, nata nel 2012.<ref name=":0" />

I numeri razionali (positivi<ref>I [[numero negativo|numeri negativi]] erano ritenuti nell'antichità "assurdi", così come le equazioni che li avevano per soluzioni. Di conseguenza, l'uso dei numeri razionali era limitato alle quantità positive.</ref>) furono il primo tipo di numeri, dopo i [[numero naturale|naturali]] (ossia gli interi positivi) ad essere riconosciuti come numeri e ad essere comunemente usati in matematica.

==Filmografia parziale==

Gli antichi [[Egizi]] li usavano scomponendoli come somme di frazioni dal numeratore unitario (ancora oggi chiamate [[frazione egiziana|frazioni egiziane]]), rappresentandoli ponendo un simbolo sopra la rappresentazione dell'intero corrispondente; i Babilonesi usavano invece una scrittura posizionale (come per gli interi) a [[base sessagesimale]].

===Cinema===

*''[[The Whistleblower]]'', regia di [[Larysa Kondracki]] (2010)

*''[[R (film)|R]]'', regia di [[Tobias Lindholm]] (2010)

*''[[A Hijacking]]'', regia di Tobias Lindholm (2012)

*''[[Lucy (film 2014)|Lucy]]'', regia di [[Luc Besson]] (2014)

*''[[The Absent One - Battuta di caccia]]'' (''Fasandræberne''), regia di [[Mikkel Nørgaard]] (2014)

*''[[Krigen]]'', regia di Tobias Lindholm (2015)

*''[[Ben-Hur (film 2016)|Ben-Hur]]'', regia di [[Timur Bekmambetov]] (2016)

* ''[[The Great Wall]]'', regia di [[Zhang Yimou]] (2016)

* ''[[Ghost in the Shell (film 2017)|Ghost in the Shell]]'', regia di [[Rupert Sanders]] (2017)

* ''[[Woodshock (film 2017) | Woodshock]] '', regia di [[ Kate Mulleavy e Laura Mulleavy]] (2017)

* ''[[Overlord (film 2018)|Overlord]]'', regia di [[Julius Avery]] (2018)

===Televisione===

[[Pitagora]] e i [[pitagorici]] basavano la loro concezione del mondo sui rapporti tra numeri interi, ovvero sui numeri razionali, e pensavano che ogni cosa esistente al mondo potesse essere ridotta a tali numeri: la loro scoperta dell'[[numero irrazionale|irrazionalità]] della [[radice quadrata di due]] distrusse questa concezione. Lo stesso concetto di "rapporto" non è del tutto chiaro nemmeno negli ''[[Elementi (Euclide)|Elementi]]'' di [[Euclide]], dove l'intero quinto libro è dedicato alla teoria delle proporzioni. Secondo le sue definizioni, un rapporto è un "tipo di relazione dimensionale tra due grandezze dello stesso tipo"<ref>Euclide, ''Elementi'', libro V, definizione 3</ref>, mentre due grandezze possono essere poste in rapporto se "esiste un multiplo intero della prima che supera l'altro"<ref>Euclide, ''Elementi'', libro V, definizione 4</ref> (definizione dovuta probabilmente a [[Eudosso]], che ricalca quello che viene oggi chiamato [[assioma di Archimede]]). L'uguaglianza di rapporti implica un'altra definizione complicata: in notazione moderna, equivale a dire che <math>\frac{a}{b}=\frac{c}{d}</math> se e solo se, dati due numeri ''m'' ed ''n'', si ha che

*''[[The Killing (serie televisiva 2007)|The Killing]]'' (''Forbrydelsen'') – serie TV, [[Episodi di The Killing (serie televisiva 2007) (seconda stagione)|2x03]] (2009)

* ''ma'' < ''nb'' implica ''mc'' < ''nd'';

*''[[Borgen - Il potere]]'' (''Borgen'') – serie TV, 29 episodi (2010-2013)

* ''ma'' = ''nb'' implica ''mc'' = ''nd'';

*''[[I Borgia (serie televisiva canadese)|I Borgia]]'' (''The Borgias'') – serie TV, 7 episodi (2013)

* ''ma'' > ''nb'' implica ''mc'' > ''nd''.

*''1864'' - serie TV, 8 episodi (2014)

La definizione di ''grandezze commensurabili'' è invece la prima del libro X, e stabilisce che queste sono le grandezze che hanno una misura comune, ovvero sono multipli interi dello stesso numero.

*''[[Il Trono di Spade (serie televisiva)|Il Trono di Spade]]'' (''Game of Thrones'') – serie TV, 9 episodi (2016-2019)

== Doppiatori italiani ==

La notazione decimale dei numeri fu introdotta da [[Stevino]] verso la fine del XVI secolo, sebbene lui non accettasse sviluppo decimali che non si concludessero, lasciando fuori così un gran numero di razionali. Più tardi [[Clavius]] e [[Nepero]] eliminarono questa limitazione.

Nelle versioni in italiano dei suoi film, Pilou Asbæk è stato [[doppiaggio|doppiato]] da:

* [[Gabriele Sabatini]] in ''Ben-Hur'', ''Ghost in the Shell'', ''Overlord''

=== Origine del termine ===

* [[Francesco Pezzulli]] in ''Borgen - Il potere''

Il termine ''razionale'' deriva dal [[lingua latina|latino]] ''ratio'', nel suo significato di ''rapporto''.

* [[Christian Iansante]] in ''Lucy''

* Maurizio Merluzzo ne ''I Borgia''

Molte entità e strutture matematiche, come i [[polinomio|polinomi]] o gli [[spazio vettoriale|spazi vettoriali]], nella loro definizione fanno riferimento ad un [[campo (matematica)|campo]]; l'aggettivo "razionale" attribuito ad una di queste entità è spesso usato per specificare che il campo scelto è quello dei numeri razionali. Per esempio si dice polinomio razionale ogni polinomio i cui coefficienti sono solo numeri razionali.

* Stefano Alessandroni ne ''Il Trono di Spade''

Va rilevato che sono dette ''operazioni razionali'' le quattro operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione definite su strutture algebriche come i campi o gli [[anello (algebra)|anelli]]. Ne consegue che in vari casi l'aggettivo "razionale" riguarda entità ottenibili servendosi delle quattro operazioni razionali a partire da certi oggetti di base. Ad esempio si dicono [[funzione razionale|funzioni razionali]] (in una o più variabili) le funzioni ottenibili componendo con operazioni razionali la variabile o le variabili e gli elementi di un campo.

== Costruzione formale ==

[[File:Konstrukcja liczb wymiernych.svg|thumb|Costruzione dei numeri razionali: ogni classe di equivalenza può essere rappresentata come una retta passante per l'origine, che passa per ogni coppia ordinata che rappresenta quel numero razionale.]]

Da un punto di vista formale, non è possibile definire i numeri razionali semplicemente come coppie di numeri interi (cioè come l'insieme delle frazioni del tipo <math>a/b</math>), perché in questo caso, ad esempio, le coppie (3,2) e (6,4) sarebbero numeri diversi, mentre tra i razionali vale l'uguaglianza

:<math>\frac{3}{2}=\frac{6}{4}.</math>

È necessario quindi introdurre le nozioni di [[relazione d'equivalenza|relazione]] e [[classe d'equivalenza]], nel modo seguente.

Ogni numero razionale è una [[classe di equivalenza]] di [[coppia ordinata|coppie ordinate]] di numeri interi

<math>(a, b)</math>, con <math>b</math> diverso da zero. La [[relazione di equivalenza]] è la seguente

:<math>\left(a, b\right) \sim (c, d) \mbox{ se e solo se } ad = bc</math>

L'addizione e la moltiplicazione di numeri razionali sono definite come

:<math>\begin{align}

\left(a, b\right) + (c, d) &= (ad + bc, bd) \\

\left(a, b\right) \times (c, d) &= (ac, bd)

\end{align}</math>

Si verifica che entrambe le operazioni così definite sono compatibili con la relazione di equivalenza: il loro risultato, infatti, non dipende dalle particolari coppie ordinate scelte per indicare i numeri razionali da sommare o moltiplicare. L'[[insieme quoziente]] di questa relazione è quindi '''Q'''.

Si noti che le operazioni ora definite non sono altro che la formalizzazione delle consuete operazioni tra [[frazione (matematica)|frazioni]]:

:<math>\begin{align}

\frac{a}{b} + \frac{c}{d} &= \frac{ad+bc}{bd} \\

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} &= \frac{ac}{bd}

\end{align}</math>

Con le operazioni di cui sopra, <math>Q</math> risulta un campo, ove la classe di <math>(0,1)</math> gioca il ruolo dello zero, e la classe di <math>(1,1)</math> quello di uno. L'[[elemento inverso|opposto]] della classe di <math>(a,b)</math> è la classe di <math>(-a,b)</math>. Inoltre, se <math>a \ne 0</math>, ovvero la classe di <math>(a,b)</math> è diversa da zero, allora la classe di <math>(a,b)</math> è invertibile, ed ha per inverso la classe di <math>(b,a)</math>.

La classe di equivalenza corrisponde all'esistenza di più rappresentazioni come frazione dello stesso numero razionale:

:<math>\frac{a}{b}=\frac{ka}{kb}</math>

per ogni ''k'' intero non nullo.

Possiamo definire anche un [[ordine totale]] su '''Q''' nel modo seguente:

:<math>(a, b) \le (c, d) \mbox{ se e solo se } (bd>0\mbox{ e } ad \le bc)\mbox{ oppure }(bd<0\mbox{ e } ad \ge bc)</math>

== Scrittura decimale ==

Come tutti i [[numeri reali]], i numeri razionali possono essere rappresentati tramite il [[sistema numerico decimale]]. Lo sviluppo decimale dei numeri razionali ha la particolarità di essere ''periodico'': un numero reale è razionale se e solo se nella sua scrittura esiste una sequenza finita di cifre (detta ''[[numero decimale periodico|periodo]]'') che si ripete all'infinito, da un certo punto in poi dopo la virgola.<ref>Nel calcolo delle cifre decimali del quoziente fra numeri interi, si può arrivare a un resto nullo (nel qual caso il calcolo si interrompe, e il quoziente risulta essere decimale limitato), oppure si continuerà sempre ad avere un resto maggiore di zero e minore del divisore. Quando nel calcolo delle singole cifre decimali si trova un resto già trovato in precedenza, da lì in poi parte una nuova serie di cifre/resti identica alla serie di cifre/resti che iniziava al ritrovamento precedente dello stesso resto: la lunghezza del periodo sarà quindi sempre compresa fra 1 e il divisore ridotto di un'unità (es. 1/3=0,333... in cui ogni cifra decimale del quoziente è 3 mentre il resto vale sempre e solo 1; e 1/7=0,142857... in cui il calcolo presenta un ciclo che comprende tutti i resti possibili, da 1 a 6). Ecco quindi esclusa la possibilità che la rappresentazione decimale di un numero razionale possa avere uno sviluppo infinito non periodico.</ref>

[[0,999...|Si può facilmente dimostrare]] che nessun numero razionale, nel suo sviluppo decimale in base 10, può ammettere periodo 9.

Ad esempio:

:<math>1/3 = 0,\bar 3 = 0,333... </math> (si ripete il periodo "3" all'infinito)

:<math>50/41 = 1, \overline{21951} = 1,219512195121951...</math>

:<math>3/4 = 0,75\bar 0 = 0,75000... = 0,75 </math>

:<math>1 = 1,\bar 0 = 1,00000...</math>

Un numero razionale può essere descritto quindi "soprallineando" il periodo, come in questi esempi.

Questa equivalenza tra razionali e numeri periodici implica che nessun numero razionale è [[numero normale|normale]] in una qualunque base. Può essere usata anche per dimostrare l'[[numero irrazionale|irrazionalità]] di molti numeri: ad esempio

:<math>0,11010010001\cdots</math>

dove ogni 1 è separato da una sequenza di zeri di lunghezza crescente, è irrazionale in qualsiasi base, in quanto, se fosse razionale, il suo periodo conterrebbe una sequenza finita di zeri separati da 1. Tuttavia nell'espansione possono essere trovati gruppi di zeri di qualsiasi lunghezza, e quindi un periodo di tal genere non può esistere. Con metodi simili si può dimostrare che la [[costante di Copeland-Erdős]]

<math>0,23571113...</math>

formata, in base dieci, dalla giustapposizione dei [[numero primo|numeri primi]], è irrazionale.

Questa tecnica è tuttavia inutile per provare l'irrazionalità di numeri non definiti in base alla loro espansione decimale, come <math>\sqrt{2}</math> e [[pi greco]].

=== Frazioni continue ===

I numeri razionali hanno una rappresentazione in [[frazione continua]] semplice finita, e sono gli unici a possedere questa proprietà. Inoltre sono gli unici in cui la rappresentazione non è unica, ma doppia: ad esempio

:<math>\frac{38}{15}=2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{7}}}=2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{6+\cfrac{1}{1}}}}</math>

== Struttura algebrica ==

Munito di addizione, moltiplicazione e relazione d'ordine, l'insieme <math>\left(\mathbb{Q},+,\dot,<\right)</math> ha la [[struttura algebrica]] di un [[campo ordinato]] [[campo archimedeo|archimedeo]], e tuttavia non è un [[campo completo]] (si può dimostrare che il sottoinsieme <math>A = \{x \in \mathbb{Q} \quad x^2 < 2\}</math> ha come estremante superiore il valore <math>\sqrt{2}</math>, che non è un numero razionale).

L'unico sottocampo del campo dei numeri razionali è se stesso. Gli elementi neutri per la somma ed il prodotto sono rispettivamente 0 ed 1. La [[caratteristica (algebra)|caratteristica]] del campo è 0; si può dimostrare inoltre che ogni campo con caratteristica 0 contiene un [[sottocampo]] [[isomorfismo|isomorfo]] ai numeri razionali, e quindi che ogni campo di questo tipo può essere considerato come un'estensione dei razionali. In particolare, i razionali ne formano il [[sottocampo fondamentale]].

La [[chiusura algebrica]] dei numeri razionali non è formata dai numeri reali, ma dai [[numeri algebrici]], i quali formano uno [[spazio vettoriale]] di [[dimensione di uno spazio vettoriale|dimensione]] infinita sui razionali.

Il campo dei numeri razionali è inoltre il [[campo dei quozienti]] dell'insieme <math>\mathbb{Z}</math> dei [[numero intero|numeri interi]].

== I razionali come spazio metrico ==

Per il [[teorema di Ostrowski]], i razionali sono uno [[spazio metrico]] rispetto solo a due tipi di [[valore assoluto]]: l'usuale modulo

:<math>|x|_\infty:=\begin{cases} x & \mathrm{~se~} x\geq 0\\ -x & \mathrm{~se~} x<0. \end{cases}</math>

e il valore assoluto [[numero p-adico|''p''-adico]]

:<math>|x|_p:=\begin{cases} 0 & \mathrm{~se~} x=0\\ p^{-n} & \mathrm{~altrimenti}. \end{cases}</math>

dove ''p'' è un qualsiasi numero primo e ''n'' è tale che <math>x=p^n\frac{a}{b}</math> e ''a'', ''b'' e ''p'' sono a due a due [[interi coprimi|coprimi]]. Le [[norma (matematica)|norme]] riferiti a questi due valori assoluti sono rispettivamente

:<math>d(x,y)=|x-y|_\infty</math>

e

:<math>d_p(x,y)=|x-y|_p</math>

I razionali non sono [[spazio completo|completi]] rispetto a nessuna di queste due norme: i completamenti sono rispettivamente i [[numero reale|numeri reali]] e i [[numero p-adico|numeri ''p''-adici]]. Quest'ultimo è particolarmente usato in [[teoria dei numeri]], mentre l'introduzione dei numeri reali è necessaria per poter stabilire alcuni teoremi fondamentali dell'[[analisi matematica|analisi]], tra cui il [[teorema degli zeri]] e il [[teorema di Weierstrass]].

== Numerabilità ==

[[File:Diagonal argument.svg|thumb|Schema che illustra la dimostrazione di Cantor: le frazioni in rosso sono quelle che non rappresentano nuovi numeri razionali.]]

<math>\mathbb{Q}</math> è [[insieme numerabile|numerabile]], cioè esiste una [[corrispondenza biunivoca]] tra i razionali e i numeri naturali. Questo risultato, apparentemente paradossale (è naturale, infatti, pensare che le frazioni siano "molte di più" degli interi), è stato dimostrato da [[Georg Cantor]]. Il suo ragionamento si basa sul diagramma a fianco: possiamo infatti ordinare i razionali positivi, seguendo le frecce, in modo che ad ognuno di essi sia assegnato un numero naturale<ref>Ad esempio, la funzione <math>f: \mathbb N \times \mathbb N \to \mathbb N</math> data da <math>f(n,m) = \frac{1}{2}\left((n + m)^2 + 3n + m\right)</math> assegna un numero diverso a elementi diversi di una tabella, le cui coordinate sono (n,m). Intuitivamente, questa funzione "percorre" le diagonali della tabella, partendo dal vertice in alto a sinistra.</ref>; anzi, ogni numero sarà contato infinite volte (perché ognuno ha un'infinità di rappresentazioni diverse), ma questo non può rendere l'insieme <math>\mathbb{Q}</math> più grande. Lo stesso argomento può essere usato per dimostrare che i razionali negativi sono numerabili. Poiché l'unione di due insiemi numerabili è ancora numerabile, <math>\mathbb{Q}</math> risulta essere numerabile.

Al contrario, l'insieme dei numeri reali non è numerabile, e quindi "quasi tutti" i numeri reali sono irrazionali. Questo implica che, sebbene <math>\mathbb{Q}</math> sia [[insieme denso|denso]] in <math>\mathbb{R}</math>, abbia [[misura di Lebesgue]] nulla.

== Polinomi ==

L'[[anello (algebra)|anello]] dei [[polinomio|polinomi]] a coefficienti razionali si indica con <math>\mathbb{Q}[X]</math>. Al contrario dei polinomi a coefficienti reali o [[numero complesso|complessi]], non esiste un criterio semplice per individuare l'eventuale [[polinomio irriducibile|irriducibilità]] di un polinomio a coefficienti razionali.

La maggior parte dei criteri usati si basano sul [[lemma di Gauss (polinomi)|lemma di Gauss]], il quale afferma che un polinomio a coefficienti interi è

riducibile nell'anello <math>\mathbb{Q}[X]</math> se e solo se è riducibile in fattori di grado maggiore di 0 nell'anello <math>\mathbb{Z}[X]</math> dei polinomi a coefficienti interi. Poiché ogni polinomio a coefficienti razionali può essere trasformato in uno a coefficienti interi moltiplicando per il [[massimo comun divisore]] dei denominatori senza cambiare la sua irriducibilità, questo lemma permette di applicare ai polinomi a coefficienti razionali alcuni criteri, come il [[criterio di Eisenstein]], che si applicano sui polinomi a coefficienti interi.

In particolare, questo criterio permette di costruire polinomi irriducibili di qualunque grado: ad esempio

:<math>P(x)=x^6+3x^5+33x^4+6x^2+9x+12</math>

è irriducibile. Questo non avviene negli anelli di polinomi a coefficienti reali o complessi: nel primo caso i polinomi irriducibili possono essere solamente di primo o di secondo grado, mentre nel caso complesso, in conseguenza del [[teorema fondamentale dell'algebra]], ogni polinomio si scompone in fattori di primo grado.

=== Radici razionali ===

{{vedi anche|teorema delle radici razionali}}

Al contrario di quanto avviene con le [[radice (matematica)|radici]] reali (o complesse), esiste un [[algoritmo]] molto veloce per stabilire quali siano (se esistono) gli zeri razionali di un polinomio (a coefficienti interi, forma a cui può essere ridotto ogni polinomio a coefficienti razionali). Il ''teorema delle radici razionali'' afferma infatti che, se

:<math>P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0</math>

con gli <math>a_i</math> interi, allora, nelle eventuali radici razionali ''p''/''q'', ''p'' è un divisore di <math>a_0</math> e ''q'' di <math>a_n</math>. Poiché i divisori di questi due numeri sono in numero finito, sarà sufficiente, per il [[teorema del resto]], controllare se per ogni coppia di divisori si ha P(''p''/''q'')=0 (nel qual caso ''p''/''q'' è una radice) oppure no.

== Razionali complessi ==

{{vedi anche|razionale gaussiano}}

I ''razionali complessi'', o ''razionali gaussiani'' per analogia con gli [[interi gaussiani]], sono quei [[numero complesso|numeri complessi]] nella forma ''a+ib'', dove ''a'' e ''b'' sono razionali e ''i'' rappresenta l'[[unità immaginaria]]. L'insieme dei razionali gaussiani forma un campo, che è il [[campo dei quozienti]] dell'[[anello (algebra)|anello]] degli interi gaussiani.

Tale insieme si denota generalmente con <math>\mathbb{Q}(i)</math>, cioè il più piccolo campo contenente i razionali e l'unità immaginaria ''i''.

== Approssimazioni razionali ==

{{vedi anche|approssimazione diofantea}}

Poiché i razionali sono [[insieme denso|densi]] in <math>\mathbb{R}</math>, possono essere usati per [[approssimazione|approssimare]] i numeri reali. Il primo risultato ad essere dimostrato è che per ogni [[numero irrazionale|irrazionale]] <math>\alpha</math> esistono infiniti razionali ''p/q'' tali che

:<math>\left|\alpha-\frac{p}{q}\right|< \frac{1}{q^2}</math>

Un risultato importante è il [[teorema di Liouville]], dimostrato nel 1844 da [[Joseph Liouville]]: esso asserisce che se <math>\alpha</math> è un [[numero algebrico]] di grado ''n'', allora esiste una costante ''c''>0 tale che

:<math>\left|\alpha-\frac{p}{q}\right|\geq \frac{c}{q^n}</math>

per ogni razionale ''p''/''q''. Da questo Liouville riuscì a costruire i primi esempi di [[numero trascendente|numeri trascendenti]] (detti oggi [[numero di Liouville|numeri di Liouville]]), mostrando che per questi esistevano delle successioni di razionali che rendevano impossibile l'esistenza di un tale ''c''.

Nel 1955 [[Klaus Roth]] dimostrò<ref>K. F. Roth, ''Rational approximations to algebraic numbers'' and ''Corrigendum'', Mathematika, '''2''', pages 1-20 and 168 (1955)</ref> che per ogni algebrico <math>\alpha</math> e per ogni <math>\epsilon>0</math> la disuguaglianza

:<math>\left|\alpha - \frac{p}{q}\right| < \frac{1}{q^{2 + \epsilon}}</math>

può avere solamente un numero finito di soluzioni in cui ''p'' e ''q'' sono [[interi coprimi]]. Tale risultato migliorava quelli ottenuti in precedenza da [[Axel Thue]] e [[Carl Ludwig Siegel]].

== Note ==

<references/>

==Altri Bibliografia progetti==

{{interprogetto}}

* Harold Davenport, ''Aritmetica superiore''. Zanichelli, Bologna, 1994. ISBN 88-08-09154-6

* Giulia Maria Piacentini Cattaneo, ''Algebra - un approccio algoritmico''. Decibel-Zanichelli, Padova 1996, ISBN 978-88-08-16270-0

* Enrico Giusti, ''Analisi matematica 1'', Giusti, Torino 1988, ISBN 88-339-5684-9

* Carl B. Boyer, ''Storia della matematica''. Mondadori, Milano, 1990. ISBN 978-88-04-33431-6

== Voci correlate ==

* [[Numero decimale periodico]]

* [[Numero irrazionale]]

* [[Numero naturale]]

== Altri progetti ==

{{interprogetto|preposizione=sui|etichetta=numeri razionali|commons=Category:Rational numbers|v_oggetto=una lezione|v=Le Frazioni e i Numeri Razionali (superiori)}}

== Collegamenti esterni ==

* {{Collegamenti esterni}}

{{algebra}}

{{Controllo di autorità}}

{{Portale|matematicabiografie|cinema|televisione}}

[[Categoria:Numeri razionali| ]]

[[Categoria:Teoria dei campi]]

[[Categoria:Matematica di base]]