Metodo di MacCormack e Flos Leonardi Bigolli Pisani super solutionibus quarundam questionibus ad numerum et ad geometriam, vel ad utrumque pertinentium: differenze tra le pagine

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{{Libro

|titolo = Flos

|annoorig = sconosciuto

|genere = trattato

|sottogenere = [[matematica]]

|lingua = la

}}

Il '''''Flos''''' di [[Leonardo Fibonacci]] ci è stato tramandato senza l'anno di composizione all'interno del ms. E 75 Sup. della [[Biblioteca Ambrosiana|Veneranda Biblioteca Ambrosiana]] di Milano. Il codice presenta due epistole di dedica, la prima delle quali è indirizzata al cardinale Raniero Capocci di Viterbo<ref>N. Kamp, ''Raniero Capocci'', in ''Dizionario Biografico degli Italiani'' XVIII, 1975, pp. 608-616.</ref>, mentre la seconda è rivolta all’imperatore [[Federico II]] di Svevia:

{{Citazione|Quando Maestro Domenico a Pisa mi condusse ai piedi di vostra altezza, principe illustrissimo signore Federico, essendo presente Maestro Giovanni da Palermo, mi propose il problema scritto più sotto appartenente alla geometria non meno che all’aritmetica|Leonardo Fibonacci, ''Flos'', Epistola a Federico II.|lingua=la|Cum Magister Dominicus pedibus celsitudinis vestre princeps gloriosissime domine F. me Pisis duceret presentandum, occurrens Magister Johannes panormitanus, questionem mihi proposuit infrascriptam, non minus ad geometriam quam ad numerum pertinentem.

Il '''metodo di MacCormack''' è un [[Analisi numerica|metodo numerico]] alle [[Metodo delle differenze finite|differenze finite]] e viene impiegato per la soluzione di [[Equazioni iperboliche|equazioni o sistemi di equazioni differenziali alle derivate parziali iperboliche]]. Lo schema numerico è utilizzato in [[Fluidodinamica computazionale]] per la risolvere le [[Legge di conservazione|leggi di conservazione]], ha una precisione del secondo ordine sia nel tempo che nello spazio. Il suo ''stencil'' spaziale è di tipo simmetrico, mentre l'avanzamento temporale è di tipo esplicito, essendo la soluzione al tempo nuovo dipendente soltanto dalle proprietà spaziali al tempo vecchio. Il metodo prende il nome dal suo ideatore Robert W. MacCormack, che lo pubblicò per la prima volta nel 1969. Si tratta di un metodo semplice, computazionalmente veloce, ma che introduce non trascurabili errori di dispersione nelle regioni caratterizzate da gradienti elevati ([[fenomeno di Gibbs]]).

}}

«Il problema proposto da Maestro Giovanni chiedeva di trovare un numero quadrato tale che, aggiungendogli e sottraendogli il numero cinque, si ottenesse ancora un numero quadrato. Leonardo trovò che il numero 11+2/3+1/144, quadrato di 3+1/4+1/6, è una soluzione del problema e la comunicò al suo interlocutore. Egli tuttavia continuò a meditare sul problema e più in generale sulle proprietà

== Formulazione ==

dei numeri quadrati, pervenendo a una serie di importanti risultati raccolti nel ''[[Liber quadratorum]]'' che dedicò all’imperatore»<ref>R. Franci, ''Il Liber Abaci di Leonardo Fibonacci 1202-2002'', in «Bollettino dell’Unione Matematica Italiana», Serie 8, Vol. 5-A—''La Matematica nella Società e nella Cultura'' (2002), n.2, p. 293–328. La citazione è tratta da [http://www.bdim.eu/item?fmt=pdf&id=BUMI_2002_8_5A_2_293_0 p. 299]</ref>.

Partendo dall'equazione differenziale alle derivate parziali:

== Storia editoriale ==

<math>\frac{\partial u\left(x,t\right)}{\partial t} +\frac{\partial f\left(x,t\right)}{\partial x} = 0 </math>,

La prima e unica edizione a stampa del ''Flos'' è stata curata da [[Baldassarre Boncompagni Ludovisi]], che ne pubblicò il testo prima nel 1856 e poi nel 1862 secondo la lezione del [[manoscritto]] E 75 Sup. della [[Biblioteca Ambrosiana|Veneranda Biblioteca Ambrosiana]] di Milano<ref> Baldassarre Boncompagni Ludovisi, ''Opuscoli di Leonardo Pisano secondo un codice della Biblioteca Ambrosiana di Milano contrassegnato E.75. Parte Superiore'', in Id., ''Scritti di Leonardo Pisano matematico del secolo decimoterzo'', vol. II, Roma, Tipografia delle scienze matematiche e fisiche, 1862, pp. 227-247.</ref>. Del trattato esiste anche un'utile traduzione in lingua italiana e un commento matematico a cura di Ettore Picutti<ref>E. Picutti, ''Il Flos di Leonardo Pisano dal codice E.75. P. sup. della Biblioteca Ambrosiana di Milano'', in «Physis. Rivista Internazionale di Storia della Scienza» XXV, 1983, pp. 293-387.</ref>.

== Note ==

con <math>f = f(u(x,t))</math>, ovvero che <math>f</math>che è una funzione di <math>u(x,t)</math>, il metodo numerico di MacCormack ricerca la soluzione in due passi distinti, chiamati dall'inglese ''predictor step'' e ''corrector step'' per mezzo dell'alternanza di differenze finite in avanti a all'indietro (o viceversa) la cui successione porta alla soluzione esplicita al tempo nuovo. A seconda che si parta con una differenza in avanti e poi all'indietro, o prima all'indietro e poi in avanti il metodo verrà definito '<nowiki/>''forward predictor-backward corrector''' o ''<nowiki/>'backward predictor-forward corrector'.''

<references/>

== Bibliografia ==

=== Primo Passo (''predictor step'') ===

* F. Bonaini, ''Memoria unica sincrona di Leonardo Fibonacci, novamente scoperta'', in «Giornale Storico degli Archivi Toscani» I, 4, 1857, pp. 239-246.

* {{la}} B. Boncompagni Ludovisi, ''Opuscoli di Leonardo Pisano secondo un codice della Biblioteca Ambrosiana di Milano contrassegnato E.75. Parte Superiore'', in Id., ''Scritti di Leonardo Pisano matematico del secolo decimoterzo'', vol. II, Roma 1862, pp. 227-247.

* G. Arrighi, ''Nuovi contributi per la storia della matematica in Firenze nell’età di mezzo. Il codice Pal. 573 della Biblioteca Nazionale di Firenze'', Milano 1967.

* G. Arrighi, ''La fortuna di Leonardo Pisano alla corte di Federico II'', in ''Dante e la cultura sveva. Atti del Convegno di Studi, Melfi, 2-5 novembre 1969'', Firenze 1970, pp. 17-31.

* E. Picutti, ''Il Flos di Leonardo Pisano dal codice E.75. P. sup. della Biblioteca Ambrosiana di Milano'', in «Physis. Rivista Internazionale di Storia della Scienza» XXV, 1983, pp. 293-387.

* C. Maccagni, ''Leonardo Fibonacci e il rinnovamento delle matematiche'', in AA.VV., ''L'Italia ed i paesi mediterranei: vie di comunicazione e scambi commerciali e culturali al tempo delle repubbliche marinare. Atti del Convegno internazionale di studi: Pisa, 6-7 giugno 1987'', Pisa 1988, pp. 91-113.

* R. Franci, ''Il Liber abaci di Leonardo Fibonacci 1202-2002'', in «Bollettino dell'UMI» VIII, 5 - Sezione A, La matematica nella società e nella cultura, 2002, n.2, pp. 293–328.

* E. Burattini, E. Caianiello, C. Carotenuto, G. Germano e L. Sauro, ''Per un'edizione critica del'' Liber Abaci ''di Leonardo Pisano, detto il Fibonacci'', in ''Forme e modi delle lingue e dei testi tecnici antichi'', a cura di R. Grisolia, G. Matino, Napoli 2012, pp. 55-138.

* V. Gavagna, ''Leonardo Fibonacci'', in ''Enciclopedia italiana di scienze, lettere ed arti. Il contributo italiano alla storia del pensiero'', Roma 2012, pp. 192-195.

* F. Delle Donne, ''porta del sapere. Cultura alla corte di Federico II di Svevia'', Roma 2019.

== Voci correlate ==

Partendo dai valori di <math>u</math> e <math>f</math>al tempo <math>t^n</math>nei nodi <math>j</math> e <math>j+1</math>, è possibile calcolare una prima approssimazione del vettore <math>u^{n+1}</math>, nel punto <math>j</math> al tempo nuovo <math>t^{n+1}</math>, chiamata <math>\tilde{u}</math>, secondo l’equazione:

* [[Liber abbaci]]

* [[Practica geometriae]]

* [[Liber quadratorum]]

* [[Epistola ad magistrum Theodorum]]

* [[Storia della matematica]]

{{portale|letteratura|matematica|medioevo}}

<math>\tilde{u}_j = u^n_j - \frac{\Delta t }{\Delta x}(f^n_{j+1} - f^n_j)</math>.

[[Categoria:Testi matematici medievali]]

La soluzione <math>\tilde{u}_j </math>così ottenuta risulta funzione dei soli nodi <math>j</math> e <math>j+1</math>, e pertanto rappresenta una differenza in avanti nello spazio (''forward predictor)''.

[[Categoria:Opere letterarie di autori italiani in latino]]

[[Categoria:Opere letterarie medievali in latino]]

Noto il vettore <math>\tilde{u}_j</math>, si possono determinare le approssimazioni <math>\tilde{f}_j = f(\tilde{u}_j)</math> della grandezza <math>f</math> al nodo <math>j</math> allo stesso tempo successivo <math>t^{n+1}</math>.

[[Categoria:Manoscritti del XIII secolo]]

[[Categoria:Manoscritti matematici]]

=== Secondo Passo (''corrector step'') ===

Nel secondo passo, si valuta la soluzione <math>\tilde{u}</math> al tempo <math>t^{n+1}</math> nel nodo <math>j-1

</math> introducendo una differenza finita all'indietro nello spazio (''backwad corrector''):

<math>\tilde{u}_{j-1} = u^n_{j-1} - \frac{\Delta t }{\Delta x}(f^n_j - f^n_{j-1})</math>,

da cui si ricava il corrispondente <math>\tilde{f}_{j-1} = f(\tilde{u}_{j-1})</math>.

Infine, eseguendo una una semi-differenza in avanti nel tempo:

<math>u^{n+1}_j = u^{n+1/2}_j - \frac{\Delta t}{2\Delta x}(\tilde{f}_j -\tilde{f}_{j-1}) </math>,

e approssimando <math>u^{n+1/2}_j </math> con la media dei valori al tempo <math>t^{n} </math>e <math>t^{n+1} </math> della soluzione, calcolati in prima approssimazione durante il ''predictor step:''

<math>u^{n+1/2}_j = \frac{1}{2}(u_j^n -\tilde{u}_{j}^n) </math>

la sostituzione permette di giungere all'espressione finale:

<math>u^{n+1}_j = \frac{1}{2}[u^{n}_j - \tilde{u}^n_j -

\frac{\Delta t}{\Delta x}(\tilde{f}_j -\tilde{f}_{j-1})] </math>

Si dimostra che i migliori risultati si ottengono se si inverte l’ordine delle differenze ('<nowiki/>''forward predictor-backward corrector''' ad un passo, quindi '''backward predictor-forward corrector''' al passo successivo) ad ogni passo temporale ∆t.

== Stabilità ==

La discretizzazione spaziale in avanti impiegata nel primo passo è instabile quando tutti gli [[Autovettore e autovalore|autovalori]] della [[Matrice jacobiana|matrice Jacobiana]] associata al problema hanno segno positivo. La discretizzazione all'indietro, al contrario, è instabile se gli autovalori sono tutti negativi. Se per esempio lo schema viene applicato in fluidodinamica la prima condizione si verifica per un [[regime supersonico]], mentre la seconda per [[regime subsonico]]. [cit wint] Tuttavia si può dimostrare che la combinazione delle due condizioni rende lo schema completo stabile, purché sia verificato il [[Condizione di Courant-Friedrichs-Lewy|criterio di stabilità di Courant-Fredrichs-Lewy]]:

<math>CFL = \lambda\frac { \Delta\,t} {\Delta\,x} < 1 </math>,

il quale mette in relazione la discretizzazione spaziale <math>\Delta x </math> con il massimo avanzamento nel tempo <math>\Delta t </math>, tramite la massima velocità dell'informazione trasportata dall'onda fluida <math>\lambda </math>. Questa condizione garantisce che durante l'avanzamento temporale l'informazione non sia uscita dal dominio spaziale, e ne preserva la stabilità.

L'alternanza di un passo in avanti ed uno all'indietro consente al metodo di ottenere un'accuratezza del secondo ordine <math> O(\Delta x^2,\Delta t^2 ) </math>, in quanto gli errori di troncamento dei due semi-step si elidono a vicenda.

Quando applicato in fluidodinamica la stabilità dello schema viene influenzata dalla presenza di discontinuità (come un'[[Onda d'urto (fluidodinamica)|onda d'urto]]). Risulta infatti che la variante '''forward predictor-backwards corrector''<nowiki/>' sia più adatta a rappresentare le discontinuità che viaggiano da sinistra verso destra, e viceversa la variante '<nowiki/>''backwards predictor-forward corrector''<nowiki/>' . Per questo motivo nei problemi caratterizzati da flussi non stazionari, ed in generale dove non è nota a priori la direzione delle discontinuità, risulta conveniente alternare ad ogni step temporale le due varianti. [cit wint]

==Bibliografia==

* {{Cita pubblicazione|titolo = The effect of viscosity in hypervelocity and impact cratering |autore=MacCormack R.W.|rivista = AIAA paper|anno = 1969|pp = 69-354|lingua = en}}

* {{Cita pubblicazione|titolo = Numerical solution of the intergration of a shock wave with a laminar boundary layer |autore=MacCormack R.W.|rivista = Proceeding of Second Internal Conference on Numerical methods in fluid dynamics |editore = Springer Verlag |anno = 1971|lingua = en}}

*{{Cita pubblicazione|titolo = Computational Fluid Dynamics: The Basics with Applications |autore=Anderson J.D.|rivista = McGraw Hill|anno = 1994|lingua = en}}

*{{Cita libro|titolo = Theory of Engine Manifold Design, Wave Action Methods for IC Engines |autore=Winterbone D.E.|rivista = Professional Engineering Publishing|anno = 2000|lingua = en |ISBN=1 86058 209 5}}

==Voci correlate==

* [[Analisi numerica]]

*[[Equazioni iperboliche]]

*[[Metodo delle differenze finite]]

*[[Metodo di Lax-Wendroff]]

*[[Fluidodinamica computazionale|Fluidodinamica Computazionale]]

==Collegamenti esterni==

* {{ springerEOM | titolo= Gibbs phenomenon | autore= P.L. Ul'yanov }}