Principio di indeterminazione di Heisenberg e La luna arrabbiata: differenze tra le pagine

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{{film

[[File:Heisenberg 10.jpg|thumb|[[Werner Karl Heisenberg]] nel 1927, anno in cui pubblicò il suo articolo sul principio di indeterminazione.]]

|titolo italiano= La luna arrabbiata

|immagine= <!--Inserire il nome del file immagine nella forma nomeimmagine.formato (es. Immagine.jpg)-->

|didascalia=

|titolo originale= The Raging Moon

|lingua originale= [[Lingua inglese|inglese]]

|paese= [[Regno Unito]]

|titolo alfabetico = Luna arrabbiata, La

|anno uscita= [[1971]]

|durata= 111 [[minuto|min]]

|aspect ratio= <!-- formato dell'inquadratura espresso come rapporto-->

|genere = Drammatico

|genere 2 = Romantico

|regista= [[Bryan Forbes]]

|soggetto= [[Peter Marshall (scrittore 1939)|Peter Marshall]] - romanzo

|sceneggiatore=

|produttore= [[Bruce Cohn Curtis]]

|produttore esecutivo=

|casa produzione=

|casa distribuzione italiana=

|attori=

*[[Malcolm McDowell]] : Bruce Pritchard

*[[Nanette Newman]] : Jill Matthews

*[[Georgia Brown (attrice)|Georgia Brown]] : Sarah Charles

*[[Bernard Lee]] : Zio Bob

*[[Gerald Sim]] : Rev. Carbett

*[[Michael Flanders]] : Clarence Marlow

*[[Margery Mason]] : Matron

*[[Barry Jackson]] : Bill Charles

|doppiatori italiani=

<!--stessa struttura usata per gli attori. Cancellare questa riga se NON ci sono doppiatori in lingua italiana (es. film italiano)-->

|fotografo= [[Tony Imi]]

|montatore= [[Timothy Gee]]

|effetti speciali=

|musicista= [[Stanley Myers]]

|scenografo=

|costumista=

|truccatore= [[Laurel Staffell]]

|sfondo=

}}

'''''La luna arrabbiata''''' (''The Raging Moon'') è un [[film]] del [[1970]] diretto da [[Bryan Forbes]].

Il [[soggetto (cinema)|soggetto]] della pellicola, ambientata in [[Gran Bretagna]], è tratto dal romanzo di [[Peter Marshall (scrittore 1939)|Peter Marshall]].

In [[meccanica quantistica]], il '''principio di indeterminazione di Heisenberg''' stabilisce i limiti nella conoscenza e nella misurazione dei valori di [[grandezza fisica|grandezze fisiche]] ''coniugate''<ref>In meccanica quantistica si dicono ''canonicamente coniugate'' o semplicemente ''coniugate'' due [[osservabile|osservabili]] incompatibili il cui commutatore valga <math>\left[\hat A, \hat B \right] = i \, \hbar</math>.</ref> o, nelle formulazioni più recenti e generali, ''incompatibili''{{#tag:ref|In meccanica quantistica si dicono incompatibili<ref name="Griffiths p.118">D. J. Griffiths, ''Introduzione alla meccanica quantistica'', C.E.A., Milano 2005, p. 118.</ref> due grandezze associate a [[operatore autoaggiunto|operatori autoaggiunti]] che non [[Proprietà commutativa|commutano]] fra loro: <math>\left[\hat A, \hat B \right] \neq 0</math>.}} in un [[sistema fisico]].

== Trama ==

Nella forma più nota, viene espresso dalla relazione

Bruce Pritchard, ex giocatore di calcio, paralizzato, è ricoverato in un istituto per paraplegici dove s'innamora di Jill, sua compagna di sventura. Vorrebbero sposarsi, ma lei muore.

== Collegamenti esterni ==

:<math>\Delta x \cdot \Delta p_x \, \ge \, \frac{\hbar}{2} </math>

* {{Collegamenti esterni}}

{{Portale|cinema}}

fra l'incertezza sulla [[posizione]] (<math>\Delta x</math>) e quella sulla [[quantità di moto]] (<math>\Delta p_x</math>) di una particella, dove <math>\hbar</math> è la [[costante di Planck ridotta]].

Enunciato nel [[1927]] da [[Werner Karl Heisenberg]]<ref name="Heisenberg1927">{{cita pubblicazione|nome=W.|cognome=Heisenberg|anno=1927|titolo=Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik [Sul contenuto intuitivo della cinematica e della meccanica nella teoria quantistica]|rivista=Zeitschrift für Physik|volume=43|numero=4|pp=172–178}} Traduzione italiana di S. Boffi: S. Boffi, ''Il principio di indeterminazione'', Università degli studi di Pavia, Pavia 1990, pp. 45-74, ISBN 8885159036, on-line: www2.pv.infn.it/~boffi/Werner.pdf</ref> e confermato da innumerevoli esperimenti, rappresenta un concetto cardine della meccanica quantistica e sancisce una radicale rottura rispetto alle leggi della [[meccanica classica]].

== Introduzione ==

I [[postulati della meccanica quantistica]], così come i dettagli del processo di misura, stabiliscono una serie di relazioni e disuguaglianze d'indeterminazione<ref name="Sen2014">{{cita web|url = http://www.currentscience.ac.in/Volumes/107/02/0203.pdf | autore= D. Sen|titolo=The uncertainty relations in quantum mechanics|rivista = Current Science | volume = 107| numero = 2| anno = 2014| pagina = 203–218 }}</ref> che possono essere correlate di volta in volta all'impossibilità di conoscere i dettagli di un sistema senza perturbarlo (indeterminazione di Heisenberg), all'indeterminazione intrinseca ai sistemi quantistici (disuguaglianza di Robertson) o all'impossibilità di determinare contemporaneamente nello stesso sistema il valore di due osservabili complementari (principio di complementarità di Bohr).

Nel corso di decenni di ricerche si è appurato che a partire dai [[postulati della meccanica quantistica]] è possibile ricavare tali relazioni (sia la formulazione originale di Heisenberg,<ref>{{cita pubblicazione|autore= P. Busch, P. Lahti, R. F. Werner |titolo = Proof of Heisenberg's Error-Disturbance Relation| rivista = Physical Review Letters |volume= 111 |anno=2013|numero=16|arxiv = 1306.1565 |bibcode = 2013PhRvL.111p0405B}}</ref><ref>{{cita pubblicazione|autore= P. Busch, P. Lahti, R. F. Werner|titolo = Heisenberg uncertainty for qubit measurements |rivista = Physical Review A|volume= 89 |anno=2014|arxiv = 1311.0837 |bibcode = 2014PhRvA..89a2129B | doi = 10.1103/PhysRevA.89.012129 }}</ref> sia quelle successive<ref name="Sen2014"/>), cioè dimostrare perché certe coppie di grandezze fisiche non siano misurabili, contemporaneamente o in successione,<ref name="ritardo">Una misura quantistica (di von Neumann) della posizione provoca il ''[[collasso della funzione d'onda]]'' <math>\psi \to \phi_x</math> che lascerà la particella in un autostato <math>\phi_x</math> della posizione. Quindi una successiva misura del momento <math>p</math> non potrà coincidere con un autovalore del momento (ad incertezza nulla), ma sarà necessariamente affetta da un'incertezza <math>\Delta p</math>.</ref> con precisione arbitraria (e men che meno assoluta).

Il ruolo del principio d'indeterminazione nella fisica moderna e nei fondamenti della meccanica quantistica è stato oggetto di un lungo dibattito.<ref name="stdr">{{cita web|url=http://plato.stanford.edu/entries/qt-uncertainty/|titolo=The Uncertainty Principle|autore=Jan Hilgevoord|coautore=Jos Uffink}}</ref> Strettamente parlando, le relazioni di indeterminazione sono ricavate come conseguenza dei [[postulati della meccanica quantistica]]. Secondo un possibile punto di vista, l'importanza della scoperta di Heisenberg è quindi principalmente storica, rilevante più che altro per aver messo in evidenza le proprietà di una teoria completamente diversa dalla [[fisica classica]].<ref>Come scrisse [[Richard Feynman]]:

{{Citazione

|''Vorrei mettere il principio di indeterminazione nel suo contesto storico: quando furono concepite per la prima volta le idee rivoluzionarie della fisica quantistica, si tentava di capirle in termini di idee antiquate (come ad esempio, la luce che si propaga in linee rette). Ma a un certo punto le vecchie idee cominciarono a fallire e quindi un avvertimento fu sviluppato per dire, in effetti, "Le vecchie idee non sono buone quando ...". Se invece si rimuovono le vecchie idee e si usano invece le idee che sto spiegando in queste lezioni - aggiungere frecce [cammini] per tutti i modi in cui un evento può accadere - non c'è bisogno del principio di indeterminazione! ...''

|[[Richard Feynman]] {{cita libro|autore=Richard Feynman|titolo=QED: The Strange Theory of Light and Matter|anno=1985|pagine=55-56|isbn=9780691083889}}

|''I would like to put the uncertainty principle in its historical place: When the revolutionary ideas of quantum physics were first coming out, people still tried to understand them in terms of old-fashioned ideas (such as, light goes in straight lines). But at a certain point the old-fashioned ideas began to fail, so a warning was developed that said, in effect, "Your old-fashioned ideas are no damned good when... "If you get rid of all the old-fashioned ideas and instead use the ideas I'm explaining in these lectures - adding arrows for all the ways an event can happen - there is no need for an uncertainty principle! ..."''

|lingua=en

|lingua2=it

}}</ref> Tuttavia, secondo un diverso punto di vista, il principio d'indeterminazione nella sua forma più generale di ''indeterminismo quantico'' resta un principio d'assoluta generalità che, al pari del [[principio di relatività]], risulta fondamento della fisica moderna.<ref name="stdr"/>

== Disuguaglianza di Heisenberg ==

{{Citazione|''Nell'ambito della realtà le cui condizioni sono formulate dalla teoria quantistica, le leggi naturali non conducono quindi a una completa determinazione di ciò che accade nello spazio e nel tempo; l'accadere (all'interno delle frequenze determinate per mezzo delle connessioni) è piuttosto rimesso al gioco del caso.''|Werner Karl Heisenberg,<ref>Si tratta di un manoscritto del 1942, pubblicato solo nel 1984 col titolo ''Ordnung der Wirklichkeit'' [''Ordinamento della realtà''], nell'ambito delle opere complete di W. Heisenberg. Traduzione italiana di G. Gembillo e G. Gregorio, ''Indeterminazione e realtà'', Guida, Napoli 1991, p. 128, ISBN 8878351016, ISBN 9788878351011.</ref> 1942}}

[[File:Heisenberg gamma ray microscope lens.svg |thumb| L'[[esperimento mentale]] del microscopio proposto da Heisenberg nel suo articolo del 1927. La relazione d'indetermi- nazione posizione/momento viene ricavata da leggi ottiche e dall'effetto Compton d'interazione tra un fotone <math>\gamma</math> e un elettrone inizialmente fermo.]]

Nell'articolo<ref name="Heisenberg1927"/> del 1927, la relazione d'indeterminazione posizione/momento viene ricavata, mediante l'[[esperimento mentale]]

del microscopio, da leggi ottiche e dall'[[effetto Compton]] d'interazione tra un [[fotone]] energetico <math>\gamma</math> e un [[elettrone]] inizialmente fermo. Il fotone (verde) arriva da sinistra (asse <math>X</math>), urta l'elettrone (blu) che si muoverà e ne viene a sua volta deviato, entrando nel microscopio (fotone rosso) con una lunghezza d'onda <math>\lambda'</math> maggiore di quella <math>\lambda</math> del fotone verde incidente ([[effetto Compton]]:

<math>\lambda' > \lambda</math>).

La lente del microscopio ha un'accettanza angolare <math>\theta</math> e la [[risoluzione angolare|risoluzione ottica]] <math>\Delta x</math> con cui il microscopio "vede" l'elettrone coincide con la larghezza del picco di [[diffrazione]], che vale

:<math>\Delta x \, \simeq \, \frac{\lambda'}{2 \, sin \theta}</math>.

Il fotone entra nel microscopio con un angolo ''indeterminato'', ma certamente compreso tra <math>+\theta</math> e <math>-\theta</math> (è questa l'unica informazione disponibile sulla direzione del fotone).

La quantità di moto del fotone lungo l'asse <math>X</math> è allora affetta da <nowiki>un'</nowiki>''indeterminazione'' proporzionale a

:<math>\Delta p_x \, \simeq \, 2 \, p' \, sin \theta \, \simeq \, \frac{h}{\lambda'} \,2\, sin \theta </math>

in cui si è fatto uso della [[Ipotesi di de Broglie|relazione di de Broglie]]

:<math> p \,=\, \frac{h}{\lambda}</math>.

Per la conservazione della quantità di moto, <math>\Delta p_x</math> è anche correlato <nowiki>all'</nowiki>''indeterminazione'' del momento

dell'elettrone. <br/>

Per l'elettrone deve quindi valere

:<math>\Delta x \cdot \Delta p_x \,\simeq\, \frac{\lambda'}{2 \, sin \theta} \, \, \frac{h}{\lambda'} \,2 \, sin \theta \,\simeq\, h</math>.

Questa relazione, ancora semi-quantitativa, venne presto riformulata nei termini della disuguaglianza oggi nota, che si riferisce ad un [[pacchetto d'onda]] [[gaussiana|gaussiano]] il quale presenta la minima indeterminazione possibile:

:<math>\Delta x \cdot \Delta p_x \, \ge \, \frac{\hbar}{2} </math>.

La disuguaglianza posizione/momento impone che il prodotto delle due incertezze (<math>\Delta x</math> e <math>\Delta p_x</math>) sia sempre maggiore o al più uguale ad un valore minimo. Il principio d'indeterminazione implica quindi che per una particella non sia possibile misurare (nello stesso istante temporale o in tempi successivi<ref name= ritardo/>), e quindi conoscere, un definito valore della posizione e della quantità di moto con precisione assoluta, ovvero con incertezza nulla. Tanto più si tenta di ridurre l'incertezza su una variabile, tanto più aumenta l'incertezza sull'altra (relazione di [[proporzionalità inversa]] tra le due).

In termini più generali, quando due grandezze fisiche, dette [[osservabile|osservabili fisiche]], non possono essere [[Misurazione|misurate]] entrambe sullo stesso sistema sono dette ''complementari''. Esempi di coppie di osservabili complementari sono le componenti dei vettori di [[spin]] (o del [[momento angolare]]), la posizione e la velocità in una [[Direzione (vettore)|direzione]]. Osservabili complementari hanno necessariamente commutatore non nullo, e risultano pertanto anche incompatibili. In tal senso l'indeterminazione è connessa (in modo tuttora non chiaro) al [[principio di complementarità]], che si esplicita anche nel [[dualismo onda-particella|dualismo onda/particella]]: le [[particelle subatomiche]] possono esibire proprietà sia corpuscolari sia ondulatorie. Poiché il principio d'indeterminazione esprime l'impossibilità di determinare con precisione ''a priori'' illimitata i valori di ''due variabili incompatibili'', l'osservatore dovrà scegliere quale misura privilegiare e disporre gli [[strumenti di misura]] di conseguenza.

Si noti che il principio d'indeterminazione non si applica

a tutte le possibili coppie di osservabili. Ad esempio, è sempre possibile, in linea di principio, misurare contemporaneamente [[posizione]] e [[carica elettrica]] con [[precisione]] arbitraria. In maniera analoga, mentre il principio d'indeterminazione si applica alla misura di <math>x</math> e della componente <math>p_x</math> della [[quantità di moto]] lungo <math>x</math>, questo non si applica alla misura contemporanea di <math>x</math> e di <math>p_{y}</math> (dato che <math>[x, p_y] = 0 </math>). Infine, tale principio non pone invece vincoli alla misura di una singola grandezza, che può

essere determinata con precisione arbitraria.

=== Indeterminazione e non commutatività ===

Nella formulazione hamiltoniana della [[meccanica quantistica]], le variabili fisiche sono rappresentate da [[operatore autoaggiunto|operatori autoaggiunti]],<ref>Gli operatori autoaggiunti hanno spettro degli autovalori associati nel campo dei numeri reali. Siccome gli operatori quantistici rappresentano osservabili fisiche misurabili, l'esito delle misure deve essere un numero reale; caratteristica garantita appunto dalla scelta di operatori autoaggiunti.</ref> come <math>\hat x</math> (''posizione'' della particella) e <math> \hat p_{x} = -i \, \hbar \frac{d}{dx} </math> (componente del ''momento'' della particella lungo <math>x</math>).

Questi due operatori non [[Proprietà commutativa|commutano]], come si vede calcolando i prodotti <math>x \, (d/dx)</math> e <math>(d/dx) \, x</math> su una [[funzione d'onda]] monodimensionale <math>\psi(x)</math> :

:<math>

\begin{align}

& x \, {d\over dx} \, \psi(x) = x \cdot \psi'(x) \\

& {d \over dx} \, \left(x \cdot \psi(x)\right) = \psi(x) + x \cdot \psi'(x)

\end{align}

</math>.

Dal confronto è evidente che il ''commutatore'' tra <math>x</math> e <math>d/dx</math> risulta essere non nullo:

:<math>

\left[x, \, {d \over dx} \right] \psi(x) = \left( x \, {d \over dx} - {d \over dx} \, x \right) \psi(x) = x \cdot \psi'(x) - \left(\psi(x) + x \cdot \psi'(x)\right) = - \, \psi(x)

</math>

Il commutatore di <math>\hat x</math> e <math> \hat p_x = -i \, \hbar {d \over dx} </math> coincide, a meno della costante <math>-i \, \hbar</math>, con l'esempio fatto sopra:

:<math> \left[\hat x, \, \hat p_x \right] \psi(x) = -i \, \hbar \, \left[x, \, {d \over dx} \right] \psi(x) = -i \, \hbar \, (- \, \psi(x)) = i \, \hbar \, \psi(x)</math>.

Eliminando la generica funzione d'onda <math>\psi(x)</math> da tutti i membri, si trova il valore del commutatore tra <math>\hat x</math> e <math> \hat p</math> come equazione fra operatori:

:<math> \left[ \hat x, \, \hat p_x \right] = \hat x \, \hat p_x - \hat p_x \, \hat x \,=\, i \, \hbar </math>.

In generale, due grandezze [[osservabile|osservabili]] <math>A</math> e <math>B</math>, corrispondenti ad [[operatore autoaggiunto|operatori autoaggiunti]] <math>{\hat A}</math> e <math>{\hat B}</math> che ''non'' commutano, sono dette ''incompatibili''.<ref name="Griffiths p.118"/>

In particolare, se il [[Commutatore (matematica)|commutatore]] vale <math>i \hbar</math>, le corrispondenti osservabili incompatibili (<math>x</math> e <math>p_x</math>, ad esempio) sono anche ''canonicamente coniugate''.{{#tag:ref|Le ''grandezze classiche'' <math>A</math> e <math>B</math> sono ''canonicamente coniugate'' se la loro parentesi di Poisson vale <math>\{A, B \,\} \,=\, 1</math>. <br/>

Dirac<ref>{{cita pubblicazione|autore=P. A. M. Dirac |titolo=The fundamental equations of quantum mechanics|rivista=Proceedings of the Royal Society|numero=A109|anno=1925| pp=642-653|doi =10.1098/rspa.1925.0150}}</ref> propose nel 1925 che per le corrispondenti ''osservabili quantistiche'' si abbia <math> [\hat A, \hat B \,] \;=\; i \, \hbar \; \{A, B \,\} \; = \; i \, \hbar </math>. <br/>

Grönewold dimostrò (teorema di Grönewold-Van Hove) nel 1946 che tale corrispondenza non ha invece validità generale, ma che esiste una correlazione sistematica tra i commutatori quantistici e una versione modificata delle parentesi di Poisson, le parentesi di Moyal.<ref>{{cita pubblicazione|autore=H. J. Grönewold|titolo=On the Principles of elementary quantum mechanics| rivista=Physica|volume=12|anno= 1946|pp= 405-460|doi=10.1016/S0031-8914(46)80059-4}}</ref>}}

Il principio d'indeterminazione di Heisenberg riguarda osservabili ''incompatibili e coniugate'', il cui [[Commutatore (matematica)|commutatore]] è del tipo <math>\left[\hat A, \hat B \right] = i \hbar</math>.<ref>Tutti e tre i casi analizzati da W. Heisenberg nell'articolo del 1927 (posizione/momento, energia/tempo, azione/angolo) hanno commutatori del tipo <math>\left[\hat A, \hat B \right] = i \, \hbar</math>.</ref> Tali osservabili non sono conoscibili entrambe, a seguito di misure simultanee o successive, con precisione arbitraria. Ad esempio, il valore del commutatore tra <math>\hat x</math> e <math>\hat p_x</math> impone che la posizione <math>x</math> e il momento lineare <math>p_x</math> lungo tale direzione siano grandezze ''incompatibili e coniugate'', ovvero ''non'' determinabili entrambe con precisione arbitraria.

Nel caso dei momenti angolari atomici dell'idrogeno, E. U. Condon<ref>{{cita pubblicazione|autore= E. U. Condon|titolo=Remarks on uncertainty principles|rivista = Science |numero=69| anno = 1929| pp = 573-574}}</ref> nel 1929 produsse tre esempi d'apparente violazione della relazione d'indeterminazione di Heisenberg<ref>Sostanzialmente, se lo stato del sistema atomico coincide con un autostato di <math>L_z</math> con autovalore 0, in quello stato la relazione d'indeterminazione <math>(\Delta L_x)(\Delta L_y) = (\hbar/2) \, L_z</math> diventa <math>(\Delta L_x)(\Delta L_y) = 0</math>,

permettento un'apparente violazione dell'indeterminazione di Heisenberg.</ref>. In tutti e tre i casi si trattava d'osservabili ''incompatibili ma non coniugate'', il cui commutatore è del tipo <math>\left[\hat A, \hat B \right] = i \, \hat C</math>. Per queste osservabili non vale la disuguaglianza di Heisenberg (che si applica ad osservabili ''incompatibili e coniugate''), ma solo quella di Robertson,<ref>S. Boffi, ''Da Laplace a Heisenberg - Un'introduzione alla meccanica quantistica e alle sue applicazioni'', P.U.P., Pavia 2010<math>^3</math>, p. 182</ref> che si applica a tutte le osservabili ''incompatibili''. L'apparente violazione era in realtà risolta, data l'inapplicabilità dell'indeterminazione di Heisenberg ai tre esempi di Condon.

== Disuguaglianze di Kennard e di Robertson ==

L'indeterminazione posizione/momento, nella formulazione introdotta da E. H. Kennard<ref name="Kennard">{{cita pubblicazione|nome= E. H.|cognome= Kennard|titolo=Zur Quantenmechanik einfacher Bewegungstypen [Sulla meccanica quantistica di tipi semplici di moto]|rivista=Zeitschrift für Physik|volume=44|numero=4|anno=1927|pp=326–352|DOI=10.1007/BF01391200}}</ref> sempre nel 1927, assume la forma di una [[disuguaglianza]] del prodotto tra la [[deviazione standard]] <math>\sigma_x</math> della [[vettore posizione|posizione]] <math>x</math> e quella <math>\sigma_{p}</math> della [[quantità di moto]] <math>p</math> di una [[Particella (fisica)|particella]]:

:<math>\sigma_x \cdot \sigma_{p} \, \geq \, \frac{\hbar}{2}</math>.

La relazione d'indeterminazione dimostrata da Kennard per l'indeterminazione posizione/momento venne estesa nel 1929 da H. P. Robertson<ref name="Robertson">{{Cita pubblicazione|cognome=Robertson|nome=H. P.|titolo=The Uncertainty Principle|rivista=Phys. Rev.|anno=1929|volume=34|pp=163–64|doi = 10.1103/PhysRev.34.163 }}</ref> al caso di due generiche variabili incompatibili, facendo uso delle [[deviazione standard|deviazioni standard]] <math>\sigma_A</math> e <math>\sigma_B</math> di due osservabili incompatibili <math>A</math> e <math>B</math> associate a un sistema quantistico:

:<math>\sigma_A \cdot \sigma_B \geq \frac{1}{2} \, \left| \left \langle \left[ \hat{A}, \hat{B} \right] \right \rangle \right|</math>

Il secondo termine contiene il valore d'aspettazione del commutatore <math>\left[ \hat{A}, \hat{B} \right]</math> calcolato per una specifica funzione d'onda <math>\psi</math> del sistema quantistico:

:<math>\left \langle \left[ \hat{A}, \hat{B} \right] \right \rangle \equiv \left \langle \psi \left| \, \left[ \hat{A}, \hat{B} \right] \, \right| \psi \right\rangle</math>

Potrebbe quindi accadere che, anche con commutatore ''non nullo'' <math>\left[ \hat{A}, \hat{B} \right] = i \, \hat{C} \neq 0</math>, il valore d'aspettazione sia nullo. Infatti

:<math>\left \langle \psi \left| \, \left[ \hat{A}, \hat{B} \right] \, \right| \psi \right\rangle = i \, \left \langle \psi \left| \, \hat{C} \, \right| \psi \right \rangle</math>

dipende dal valore di <math>\hat{C} \, | \psi \rangle</math> che, a seconda della forma dell'operatore <math>\hat{C}</math> e della funzione d'onda <math>\psi</math>, potrebbe essere <math>\hat{C} \, | \psi \rangle = 0</math>.<ref>È esattamente quanto succede nelle tre eccezioni di Condon. Lo stato del sistema atomico coincide con un autostato di <math>L_z</math> con autovalore 0. In quello stato, la relazione d'indeterminazione <math>\sigma_{L_x} \cdot \sigma_{L_y} = (\hbar/2) \, | \langle \psi_{100} | L_z | \psi_{100} \rangle |</math> diventa <math>\sigma_{L_x} \cdot \sigma_{L_y} = 0</math>, e quindi viene meno la condizione d'applicabilità della disuguaglianza di Robertson riportata appena sotto.</ref>

La condizione di validità della disuguaglianza di Robertson:

:<math>\left \langle \psi \left| \, \left[ \hat{A}, \hat{B} \right] \, \right| \psi \right\rangle \neq 0</math>

non coincide quindi con quella per la validità della disuguaglianza di Heisenberg:

:<math>\left[ \hat{A}, \hat{B} \right] \neq 0</math>.

Ciò dipende dal fatto che le due disuguaglianze, in apparenza molto simili, sono in effetti profondamente differenti. Mentre Heisenberg si applica nel caso di ''misure'' (con incertezze <math>\Delta A</math> e <math>\Delta B</math>) ''delle osservabili'' <math>A</math> e <math>B</math> sullo stesso sistema (''indeterminazione operazionale''), la disuguaglianza di Robertson fa riferimento alla ''distribuzione dei valori'' (con deviazioni standard <math>\sigma_A</math> e <math>\sigma_B</math>) delle osservabili <math>A</math> e <math>B</math> in un insieme statistico di sistemi quantistici identici (''indeterminazione intrinseca'').

Entrambi i tipi d'indeterminazione furono introdotti da Heisenberg<ref name="Heisenberg1927"/> nel suo articolo del 1927 (rispettivamente, nel primo e nel secondo paragrafo) ma, a causa di un errore interpretativo, Heisenberg assunse si trattasse della medesima indeterminazione. La differenza tra i due casi:<ref>Jammer M., ''The philosophy of quantum mechanics'', John Wiley \& Sons, New York 1974, p.80.</ref> <br><math>I_1)</math> interazione-disturbo, che si riferisce all'impossibilità sperimentale (''operazionale'') di specificare con precisione arbitraria i valori di due variabili incompatibili (come <math>x</math> e <math>p_x</math>) effettuando misure su un singolo sistema fisico; <br><math>I_2)</math> statistico o di dispersione, per cui il prodotto delle deviazioni standard di due osservabili incompatibili ha un limite inferiore dato da <math>\hbar/2</math> <br>fu compresa da [[Karl Popper]]<ref>K. Popper, ''Logik der Forschung'', Springer-Verlag, Berlin 1934. Traduzione italiana: ''Logica della scoperta scientifica - Il carattere autocorrettivo della scienza'', Einaudi, Torino 1970.</ref> solo molto dopo, verso la metà degli anni '30 del Novecento.

Mentre <math>I_1</math> si riferisce a misure di variabili incompatibili effettuate sullo stesso sistema fisico, <math>I_2</math> - che trova la sua espressione matematica compiuta nelle disuguaglianze introdotte da Kennard<ref name="Kennard"/> nel 1927 e da Robertson<ref name="Robertson"/> nel 1929 - si riferisce invece alla dispersione dei risultati di misure di due osservabili incompatibili, effettuate su campioni diversi di sistemi quantistici tutti preparati in modo identico.

Si tratta quindi, come ebbe a dire [[Louis-Victor Pierre Raymond de Broglie|de Broglie]]<ref>De Broglie L., ''Sur l'interpretation des relations d'incertitude'', "Comptes rendus de l'Academie des Sciences", 268, 1969, pp.277-280.</ref> nel 1969, di relazioni d'incertezza pre-misura <math>(I_2)</math> e post-misura <math>(I_1)</math>.

=== Dimostrazione ===

Presi gli operatori <math>\hat{A}</math> e <math>\hat{B}</math> (associati alle [[grandezza fisica|grandezze osservabili]] A e B) si possono definire gli scarti dalla media come <math>\hat{A}_0 = \hat{A} - \left \langle \hat{A} \right \rangle</math> e <math>\hat{B}_0 = \hat{B} - \left \langle \hat{B} \right \rangle</math>.<br>

Di conseguenza le [[varianza|varianze]] hanno la forma <math>\sigma^2(A) = \left \langle \hat{A}_0^2 \right \rangle</math> e <math>\sigma^2(B) = \left \langle \hat{B}_0^2 \right \rangle</math>. Il prodotto delle [[varianza|varianze]] può essere riscritto come:

:<math>\sigma^2(A) \cdot \sigma^2(B) = \left \langle \hat{A}_0^2 \right \rangle \left \langle \hat{B}_0^2 \right \rangle \geq \left| \left \langle \hat{A}_0 \hat{B}_0 \right \rangle \right|^2</math>

ovvero la [[disuguaglianza di Cauchy-Schwarz]]. Per procedere riscriviamo <math>\hat{A}_0 \hat{B}_0</math> in funzione del [[Commutatore (matematica)|commutatore]] e dell'[[anticommutatore]]

:<math>\hat{A}_0 \hat{B}_0 = \frac{1}{2} \left [\hat{A}_0, \hat{B}_0 \right ] + \frac{1}{2} \left \{ \hat{A}_0, \hat{B}_0 \right \}</math>

e notiamo che <math>\left [\hat{A}_0, \hat{B}_0 \right ] = \left [\hat{A}, \hat{B} \right ]</math> dato che le [[Traslazione (geometria)|traslazioni]] non influenzano i commutatori. <br>

Supponendo di poter scrivere <math>\left[ \hat{A}, \hat{B} \right] = i \hat{C}</math> (questo è vero, ad esempio, per tutte le coppie di grandezze coniugate, per le quali <math>\hat{C} = \hbar</math>), otteniamo

:<math>\sigma^2(A) \cdot \sigma^2(B) = \left( \, \sigma_A \cdot \sigma_B \, \right)^2 \geq \left| \left \langle \frac{i}{2} \hat{C} + \frac{1}{2} \left \{ \hat{A}_0, \hat{B}_0 \right \} \right \rangle \right|^2 \geq \frac{1}{4} \, {\left| \left \langle \hat{C} \right \rangle \right|^2}</math>

ovvero

:<math>\sigma_A \cdot \sigma_B \geq \frac{1}{2} \, \left| \left \langle \left[ \hat{A}, \hat{B} \right] \right \rangle \right|</math>

che è il principio di indeterminazione nella sua forma più generale. <br>

Nel caso particolare dell'indeterminazione fra [[posizione]] e [[quantità di moto|momento]], dato che <math>\left [ \hat{x}, \hat{p}_x \right ] = i \hbar</math>, si ottiene <math>\sigma_x \cdot \sigma_p \geq \frac{\hbar}{2}</math>.

== Disuguaglianza di Schrödinger ==

L'incertezza della misura dovuta all'indeterminazione quantistica è radicalmente diversa dalla [[Correlazione (statistica)|correlazione statistica]].La disuguaglianza di Robertson implica infatti tra le grandezze osservabili <math>A</math> e <math>B</math> [[covarianza (probabilità)|covarianza]] <math>\sigma_{AB}</math> e correlazione <math>\rho_{AB}</math> nulle.

La covarianza statistica tra <math>A</math> e <math>B</math> - esprimibile come la differenza tra il [[valore atteso]] del loro prodotto <math>\mathbb{E}[AB]</math> e il prodotto dei loro valori attesi <math>\mathbb{E}[A] \mathbb{E}[B]</math> - viene in molti casi rappresentata mediante l'[[Indice di correlazione di Pearson]] <math> \rho_{AB} = \sigma_{AB} \,/\, \sigma_A \cdot \sigma_B </math>:

:<math> \mathrm{Cov}(A, B) \equiv \sigma_{AB} = \mathbb{E}[AB] - \mathbb{E}[A] \cdot \mathbb{E}[B] = \rho_{AB} \cdot \sigma_A \cdot \sigma_B </math>.

Si distinguono tre possibili casi di correlazione:

# Se <math>\ \rho_{AB} = 0</math>, le variabili <math>A</math> e <math>B</math> si dicono ''incorrelate'';

# Se <math>\ \rho_{AB} > 0</math>, le variabili <math>A</math> e <math>B</math> si dicono ''direttamente correlate'', oppure ''correlate positivamente'';

# Se <math>\ \rho_{AB} < 0</math>, le variabili <math>A</math> e <math>B</math> si dicono ''inversamente correlate'', oppure ''correlate negativamente''.

Stati quantici con correlazione non nulla sono ad esempio gli ''stati coerenti'' e quelli ''strizzati'' (''squeezed''). <br>

Se si ha una correlazione quantistica <math>\left( \left \langle \widehat F \right \rangle \neq 0 \right)</math> tra gli operatori <math>A</math> e <math>B</math>:

:<math>\left \langle \, \widehat F \, \right \rangle \,=\, \left \langle \, \widehat A \widehat B \,+\, \widehat B \widehat A \, \right \rangle - \, 2 \left \langle \, \widehat A \, \right \rangle \left \langle \, \widehat B \, \right \rangle \,=\, \left \langle \left\{ \widehat{A}, \widehat{B} \, \right\} \right \rangle - \, 2 \left \langle \, \widehat A \, \right \rangle \left \langle \, \widehat B \, \right \rangle \, \neq \, 0 </math>

con

:<math>\widehat F \,=\, \widehat A \widehat B \,+\, \widehat B \widehat A - \, 2 \left \langle \, \widehat A \, \right \rangle \left \langle \, \widehat B \, \right \rangle \,=\, \left\{ \widehat{A}, \widehat{B} \, \right\} - \, 2 \left \langle \, \widehat A \, \right \rangle \left \langle \, \widehat B \, \right \rangle</math>

dove <math>\left\{ \widehat{A}, \widehat{B} \, \right\} \equiv \widehat{A}\widehat{B} \, + \, \widehat{B}\widehat{A} </math>

denota l'anti-commutatore tra due operatori, si ottiene una disuguaglianza, introdotta da [[Erwin Schrödinger]]<ref name="Schroedinger">{{cita pubblicazione|nome= E.|cognome= Schrödinger|titolo= Zum Heisenbergschen Unschärfeprinzip [Sul principio d'indeterminazione di Heisenberg]|rivista=Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften, Physikalisch-Mathematische Klasse |volume=14|anno=1930|pagine=296-303}}</ref> nel 1930, diversa da quella di Robertson:

:<math>\sigma_A \cdot \sigma_B \; \geqslant \; {1 \over 2} \; \sqrt{\; \left| \left \langle [\widehat{A}, \widehat{B}\,] \right \rangle \right|^2 \,+\, \left| \, \left \langle \widehat{F} \right \rangle \, \right|^2 } </math>

È immediato verificare che, se la correlazione quantistica è assente <math>\left( \left \langle \widehat F \right \rangle = 0 \right)</math>, la disuguaglianza di Schrödinger si riduce a quella di Robertson:

:<math>\sigma_A \cdot \sigma_B \geq \frac{1}{2} \, \left| \left \langle \left[ \hat{A}, \hat{B} \right] \right \rangle \right|</math>.

La disuguaglianza di Schrödinger mostra inoltre che l'indeterminazione intrinseca (disuguaglianza di Robertson) e il termine legato alla correlazione quantistica

:<math>\sigma_A \cdot \sigma_B \; \geqslant \; {1 \over 2} \; \left| \left \langle \widehat{F} \right \rangle \right| </math>

sono indipendenti, e contribuiscono in quadratura al prodotto delle due deviazioni standard <math>\sigma_A \cdot \sigma_B </math>.

== Indeterminazione operazionale e intrinseca ==

Le disuguaglianze di Kennard e Robertson riguardano <nowiki>l'</nowiki>''indeterminazione intrinseca''{{#tag:ref|Si possono prendere due insiemi di particelle identiche. Sul primo si misura, per ogni particella, il valore di un'osservabile <math>A</math>, trovando il [[valor medio]] <math>\langle A \, \rangle</math> e la [[deviazione standard]] <math>\sigma_A</math> di quelle misure. Sul secondo insieme si misura, per ogni particella, il valore di un'osservabile incompatibile <math>B</math>, trovando il [[valor medio]] <math>\langle B \, \rangle</math> e la [[deviazione standard]] <math>\sigma_B</math> di quelle misure. Si trova che le due [[deviazione standard|deviazioni standard]], misurate su insiemi diversi di particelle identiche, obbediscono alla disuguaglianza di Robertson. Chiaramente non c'è stata alcuna interazione tra i due insiemi di particelle; il fatto che tuttavia valga la disuguaglianza di Robertson indica che l'indeterminazione è intrinseca al formalismo della [[meccanica quantistica]] oppure è una proprietà degli enti quantistici.<ref>A. Peres, ''Quantum Theory: Concepts and Methods'', Kluwer, Dordrecht 1995, p. 93.</ref>}} di osservabili quantistiche, quantificata dalla deviazione standard <math>\sigma</math>. L'indeterminazione di Heisenberg riguardava invece un errore sistematico: il disturbo prodotto sul sistema quantistico dall'atto di misurazione mediante un apparato classico (''indeterminazione operazionale'').

Se indichiamo<ref name="Sen2014"/> con <math>\epsilon_A</math> l'errore sulla misura dell'osservabile <math>A</math> e con <math>\eta_B</math> il disturbo prodotto su una successiva misura della variabile incompatibile <math>B</math> dalla precedente misura di <math>A</math>, l'indeterminazione operazionale di Heisenberg per ''misure successive'' (prima <math>A</math>, poi <math>B</math>) diventa

:<math> \epsilon_{A} \cdot \eta_{B} \, \ge \, \frac{1}{2} \, \left| \left \langle \left[ \hat{A},\hat{B} \right] \right \rangle \right|</math>

Usando lo stesso formalismo, è possibile descrivere un'altra situazione fisica, spesso confusa con la precedente, ovvero il caso di ''misurazioni simultanee'' (<math>A</math> e <math>B</math> contemporaneamente):

:<math> \epsilon_{A} \cdot \epsilon_{B} \, \ge \, \frac{1}{2} \, \left| \left \langle \left[ \hat{A},\hat{B} \right] \right \rangle \right|</math>

Due misure simultanee su <math>A</math> e <math>B</math> sono necessariamente<ref>{{cita pubblicazione|autore= G. Björk, J. Söderholm, A. Trifonov, T. Tsegaye, A. Karlsson|titolo = Complementarity and the uncertainty relations |rivista = Physical Review |volume= A60 |anno=1999|pagina=1878||arxiv = quant-ph/9904069 |bibcode = 1999PhRvA..60.1874B }}</ref> ''weak'' (deboli) o ''unsharp'' (smussate).<ref>A. Peres, ''Quantum Theory: Concepts and Methods'', Kluwer, Dordrecht 1995, pp. 387-390.</ref> Ciascuna estrae quindi solo parzialmente l'informazione disponibile sul sistema.<ref>Se la misura fosse invece quella prevista da von Neumann (''sharp'' o ''strong''), si estrarrebbe completamente l'informazione relativa o all'osservabile <math>A</math>, o alla <math>B</math>, ma non sarebbe possibile la ''contemporanea'' misura dell'altra osservabile.</ref>

L'indeterminazione intrinseca di Robertson è invece espressa, nel formalismo utilizzato,<ref name="Sen2014"/> in modo analogo a quello dell'articolo originale del 1929:

:<math> \sigma_{A} \cdot \sigma_{B} \, \ge \, \frac{1}{2} \, \left| \left \langle \left[ \hat{A},\hat{B} \right] \right \rangle \right|</math>

=== Disuguaglianza di Ozawa ===

Nel 2003 Masanao Ozawa<ref name="Ozawa2003">{{cita pubblicazione|nome = M. |cognome=Ozawa|titolo=Universally valid reformulation of the Heisenberg uncertainty principle on noise and disturbance in measurement|rivista=Physical Review A|volume=67|anno=2003|doi=10.1103/PhysRevA.67.042105|arxiv = quant-ph/0207121 |bibcode = 2003PhRvA..67d2105O|numero=4 |pagina=42105}}</ref> ha proposto una disuguaglianza che include sia l'indeterminazione intrinseca, sia quella operazionale:

:<math> \epsilon_A \cdot \eta_B + \epsilon_A \cdot \sigma_B + \sigma_A \cdot \eta_B \,\ge\, \frac{1}{2} \, \left| \left \langle \left[ \hat{A},\hat{B} \right] \right \rangle \right|</math>

Col tempo, si sono accumulate crescenti evidenze sperimentali

<ref name="Rozema">{{cita pubblicazione|autore= L. A. Rozema, A. Darabi, D. H. Mahler, A. Hayat, Y. Soudagar, A. M. Steinberg |titolo = Violation of Heisenberg's Measurement-Disturbance Relationship by Weak Measurements |rivista = Physical Review Letters |volume= 109 |anno=2012|doi = 10.1103/PhysRevLett.109.100404 |arxiv = 1208.0034v2|bibcode = 2012PhRvL.109j0404R }}</ref>

<ref name="Erhart">{{cita pubblicazione|autore= J. Erhart, S. Sponar, G. Sulyok, G. Badurek, M. Ozawa, Y. Hasegawa |titolo = Experimental demonstration of a universally valid error-disturbance uncertainty relation in spin measurements |rivista = Nature Physics |volume= 8 |anno=2012 |pagina=185-189| numero=3| doi=10.1038/nphys2194 | arxiv = 1201.1833 | bibcode = 2012NatPh...8..185E}}</ref>

<ref name="Baek">{{cita pubblicazione|autore= S.-Y. Baek, F. Kaneda, M. Ozawa, K. Edamatsu |titolo = Experimental violation and reformulation of the Heisenberg's error-disturbance uncertainty relation |rivista = Scientific Reports |volume= 3 |anno=2013|pagina=2221| doi= 10.1038/srep02221 | url = http://www.nature.com/articles/srep02221 |bibcode = 2013NatSR...3E2221B }}</ref>

<ref name="Ringbauer">{{cita pubblicazione|autore= M. Ringbauer, D. N. Biggerstaff, M. A. Broome, A. Fedrizzi, C. Branciard, A. G. White |titolo = Experimental Joint Quantum Measurements with Minimum Uncertainty |rivista = Physical Review Letters |volume= 112 |anno=2014|pagina=020401|arxiv = 1308.5688 |bibcode = 2014PhRvL.112b0401R }}</ref>

del fatto che l'indeterminazione quantica complessiva di un sistema non può essere spiegata solo dal termine operazionale di Heisenberg, ma richiede la compresenza di tutti e tre gli addendi della disuguaglianza di Ozawa.

=== Disuguaglianza di Fujikawa ===

Nel 2012 Kazou Fujikawa<ref name="Fujikawa2012">{{Cita pubblicazione|nome = K. |cognome= Fujikawa|titolo = Universally valid Heisenberg uncertainty relation|rivista = Physical Review A|volume=85|anno=2012|doi=10.1103/PhysRevA.85.062117|arxiv = 1205.1360 |bibcode = 2012PhRvA..85f2117F|numero=6 }}</ref> ha suggerito un'altra relazione d'indeterminazione che, come quella di Ozawa, combina sia l'indeterminazione intrinseca sia quella operazionale, ma è espressa in una forma assai simile a quella originale di Heisenberg. Sommando la disuguaglianza di Robertson con quella di Ozawa, Fujikawa ha ottenuto:

: <math>\epsilon_A \cdot \eta_B \,+\, \epsilon_A \cdot \sigma_B \,+\, \sigma_A \cdot \eta_B \,+\, \sigma_{A} \cdot \sigma_{B} \, \geq \, \left| \left \langle \left[ \hat{A},\hat{B} \right] \right \rangle \right|</math>.

I quattro addendi possono essere riscritti come

: <math>(\epsilon_A + \sigma_A) \cdot (\eta_B + \sigma_B) \, \geq \, \left| \left \langle \left[ \hat{A},\hat{B} \right] \right \rangle \right|</math>.

Definendo:

: <math>\bar \epsilon_A \, \equiv \, (\epsilon_A + \sigma_A)</math>

come <nowiki>l'</nowiki>''inaccuratezza'' nella misura del valore dell'osservabile <math>A</math> e

: <math>\bar \eta_B \, \equiv \, (\eta_B + \sigma_B)</math>

come la ''fluttuazione risultante'' nella misura dell'osservabile incompatibile <math>B</math>, Fujikawa ha ottenuto una relazione formalmente simile a quella di Heisenberg, valida sia per l'indeterminazione operazionale, sia per quella intrinseca:

:<math> \bar \epsilon_A \cdot \bar \eta_B \, \ge \, \left| \left \langle \left[ \hat{A},\hat{B} \right] \right \rangle \right|</math>.

== Indeterminazione energia/tempo ==

L'indeterminazione energia/tempo è strutturalmente differente dalle altre. Questa caratteristica non fu immediatamente compresa: nell'articolo<ref name="Heisenberg1927"/> del 1927, Heisenberg introdusse tre relazioni d'indeterminazione (posizione <math>x</math> / momento <math>p_x</math> - tempo <math>t</math> / energia <math>E</math> - angolo <math>\theta</math> / azione <math>A</math>) ritenendole sostanzialmente equivalenti, perché tutte basate sul commutatore canonico

:<math>\left[\hat x, \, \hat p_x \right] = \left[\hat t, \, \hat H \right] = \left[\hat \theta, \, \hat A \right] = i \, \hbar</math>

dove <math>\hat H</math> è l'[[operatore hamiltoniano]], associato all'energia totale del sistema quantistico.

Ma, mentre <math>x</math> e <math>p_x</math> sono variabili continue, in meccanica quantistica l'azione risulta spesso discreta, in quanto soggetta alla condizione di quantizzazione di [[Formula di Wilson-Sommerfeld|Wilson-Sommerfeld]] <math>A = n \, h</math>. L'indeterminazione azione/angolo non è quindi equivalente a quella posizione/momento.<ref>Per una trattazione più approfondita su questo argomento, si veda S. Boffi, ''Il principio di indeterminazione'', Università degli studi di Pavia, Pavia 1990, pp. 79-80, ISBN 8885159036, on-line: www2.pv.infn.it/~boffi/Werner.pdf</ref>

Lo stesso avviene - per ragioni diverse - anche per l'indeterminazione energia/tempo. In meccanica quantistica non relativistica, come in meccanica classica, il tempo <math>t</math> svolge un ruolo privilegiato: è il parametro d'evoluzione delle grandezze fisiche, ''non'' una grandezza fisica esso stesso. Non è quindi possibile associarvi alcun operatore autoaggiunto <math>\hat t</math>, che caratterizzarebbe un'osservabile quantica. Di conseguenza, non esiste il commutatore

:<math>\cancel{ \left[\hat t, \, \hat H \right] = i \, \hbar } </math>

e non è quindi possibile esprimere l'indeterminazione temporale intrinseca mediante la disuguaglianza di Robertson

:<math>\cancel{ \sigma_E \cdot \sigma_t \geq \frac{1}{2} \, \left| \left \langle \left[ \hat{t}, \hat{H} \right] \right \rangle \right| } </math>.

Nel 1933 Wolfgang Pauli<ref>W. Pauli, ''Die allgemeinen Prinzipien der Wellenmechanik [I principi generali della meccanica ondulatoria]'' in H. Geiger, K. Scheel (a cura di), ''Handbuch der Physik [Manuale di Fisica]'', Springer-Verlag, Berlin 1933<math>^2</math>.</ref> ha dimostrato che, se per assurdo esistesse l'operatore autoaggiunto <math>\hat t</math>, si potrebbe estrarre una quantità infinita d'energia da un sistema quantistico con energia finita <math>E</math>, associata all'operatore hamiltoniano <math>\hat H</math>.

Anche l'indeterminazione energia/tempo si manifesta in due forme diverse: come indeterminazione operazionale (in caso di misura del sistema) o intrinseca

(evoluzione spontanea del sistema).

=== Indeterminazione temporale operazionale ===

Secondo l'interpretazione più comune (ma non sempre corretta) dell'indeterminazione energia/tempo operazionale, nella disuguaglianza

:<math> \Delta E \cdot \Delta t \, \geq \, \frac{\hbar}{2} </math>

<math>\Delta t</math> rappresenta il minimo intervallo temporale necessario per effettuare la misura dell'energia <math>E</math> del sistema con precisione <math>\Delta E</math>. Ciò è vero se ''non'' si conosce la forma analitica dell'operatore hamiltoniano <math>\hat H</math> del sistema. Se invece l'hamiltoniano è noto, l'energia <math>E</math> di un sistema si può misurare, in un intervallo temporale <math>\Delta t</math> arbitrariamente breve, con precisione arbitraria.<ref>{{cita pubblicazione|autore= Y. Aharonov, S. Massar, S. Popescu |titolo= Measuring energy, estimating Hamiltonians, and the time-energy uncertainty relation |rivista= Physical Review |numero=A66|anno=2002| pp=052107}}</ref>

{{Citazione|Aharonov e Bohm<ref>{{cita pubblicazione|autore= Y. Aharonov, D. Bohm|titolo=Time in the quantum theory and the uncertainty relation for time and energy|rivista=Physical Review|numero=122|anno=1961| pp=1649-1658}}</ref> hanno mostrato che il tempo nella relazione d'indeterminazione è l'intervallo temporale in cui il sistema resta imperturbato, non il tempo durante il quale l'apparato sperimentale è acceso. La meccanica quantistica odierna stabilisce che tutte le osservabili possano essere misurate con accuratezza arbitrariamente buona in un tempo (esterno) arbitrariamente breve, e l'energia non costituisce eccezione.<ref>P. Busch, ''The Time-Energy Uncertainty Relation'' in G. Muga, R. Sala Mayato, Í. Egusquiza (eds.), ''Time in Quantum Mechanics'' - Vol. 1, Springer-Verlag, Heidelberg 2008<math>^2</math>, pp. 73-105.</ref> |Debashis Sen,<ref name="Sen2014"/> 2014}}

Se invece si considera <math> \Delta t </math> come la durata di una perturbazione energetica esterna, <math> \Delta E </math> risulta essere la differenza tra due valori esatti <math>\left( E_2 - E_1 \right)</math> dell'energia del sistema, misurati nell'intervallo <math> \Delta t = t_2 - t_1 </math>.

Quanto appena enunciato risulta valido in una teoria perturbativa al prim'ordine.<ref>L. D. Landau, E. M. Lifshitz, ''Quantum Mechanics - Non-relativistic theory'', Pergamon Press, London 1958, p.150.</ref>

=== Indeterminazione temporale intrinseca ===

{{Citazione|''Si dice spesso che il principio d'indeterminazione significa che in meccanica quantistica l'energia non è esattamente conservata - vi è permesso di <nowiki>''prendere in prestito''</nowiki> un'energia <math>\Delta E</math>, purché la <nowiki>''restituiate''</nowiki> in un tempo <math>\Delta t \simeq \hbar/(2 \Delta E)</math>; quanto più grande è la violazione, tanto più breve sarà la sua durata. Ora è vero che ci sono molte interpretazioni più o meno legittime del principio d'indeterminazione energia-tempo, ma questa non è una di esse. In nessun punto la meccanica quantistica autorizza la violazione della conservazione dell'energia e certamente una tale licenza non rientra affatto nella derivazione dell'equazione <math>\Delta E \; \Delta t \geq \hbar/2</math>. Ma il principio di indeterminazione è straordinariamente solido: può essere usato anche in modo scorretto senza dare luogo a risultati gravemente sbagliati; di conseguenza i fisici hanno preso l'abitudine di applicarlo con noncuranza eccessiva.''|David J. Griffiths,<ref>D. J. Griffiths, ''Introduzione alla meccanica quantistica'', C.E.A., Milano 2005, p. 124.</ref> 2005}}

I sistemi quantistici che ''non'' siano in un'autostato dell'Hamiltoniana <math>H</math> presentano, oltre ad un'eventuale indeterminazione di tipo operazionale, un'indeterminazione energia/tempo intrinseca, che risulta ineliminabile.

Siccome non esiste il commutatore

:<math>\cancel{ \left[\hat t, \, \hat H \right] = i \, \hbar } </math>,

non è possibile esprimere l'indeterminazione temporale intrinseca mediante la disuguaglianza di Robertson

:<math>\cancel{ \sigma_E \cdot \sigma_t \geq \frac{1}{2} \, \left| \left \langle \left[ \hat{t}, \hat{H} \right] \right \rangle \right| } </math>.

Tuttavia l'[[analisi di Fourier]],{{#tag:ref|Il ''limite di Gabor''<ref>{{cita pubblicazione|autore= D. Gabor |titolo= Acoustical quanta and the theory of hearing |rivista= Nature |numero=159|anno=1947| pp=591-594}}</ref> riguarda la risoluzione simultanea in tempo <math>t</math> e frequenza <math>\nu = E/\hbar</math> di un'onda, e stabilisce che la funzione d'onda non possa essere contemporaneamente limitata sia nell'intervallo temporale, sia nella banda di frequenza.}} unitamente al [[Dualismo onda-particella|dualismo onda/particella]] espresso dalla relazione

:<math>E = h \, \nu </math>,

permettono di formulare l'indeterminazione energia/tempo intrinseca:

:<math>\sigma_E \cdot \sigma_t \geq \frac{\hbar}{2}</math>.

Resta da capire cosa sia in questo caso <math>\sigma_t</math>. Sicuramente ''non'' è la deviazione standard di un insieme di misure del tempo

(che si riferirebbero eventualmente ad un'indeterminazione operazionale). Si tratta, approssimativamente, dell'intervallo temporale necessario - che indichiamo con <math>\delta t</math> - per avere un cambiamento significativo del sistema quantistico. Riscriviamo quindi l'equazione precedente nella forma

:<math> \sigma_E \cdot \delta t \,\geq\, \frac{\hbar}{2}</math>.

* Leonid Mandelstam e Igor Tamm<ref>{{cita pubblicazione|autore=L. Mandelstam, I. Tamm |titolo=The uncertainty relation between energy and time in non-relativistic quantum mechanics|rivista=Journal of Physics (USSR)|numero=9|anno=1945| pp=249-254}}</ref> hanno trovato nel 1945 un modo per esprimere <math> \delta t </math>.

Sia <math>Q(x, p, t)</math> un'osservabile arbitraria. Il calcolo della derivata temporale del valore d'aspettazione <math>\langle Q \rangle</math> porta a concludere che, se vale la disuguaglianza precedente, allora

:<math> \sigma_Q \,=\, \left| \frac{d\langle Q \rangle}{dt} \right| \; \delta t </math>

dove <math>\delta t</math> è l'intervallo di tempo necessario perché il valore d'aspettazione di <math>Q</math> possa variare di una deviazione standard <math>\sigma_Q</math>. Chiaramente la durata di <math>\delta t</math> dipende criticamente dalla scelta dell'osservabile <math>Q</math> che si considera: il cambiamento potrebbe essere rapido per una e lento per un'altra. Ma se <math>\sigma_E</math> è piccolo, allora ''tutte'' le osservabili devono cambiare in modo molto graduale, viceversa se ''una qualunque'' delle osservabili cambia rapidamente, deve essere grande l'indeterminazione <math>\sigma_E</math> dell'energia.<ref>D. J. Griffiths, ''Introduzione alla meccanica quantistica'', C.E.A., Milano 2005, p. 122.</ref>

* Lev Vaidman<ref>{{cita pubblicazione|autore=L. Vaidman |titolo=Minimum time for the evolution to an orthogonal quantum state|rivista=American Journal of Physics|numero=60|anno=1992| pp=182-183}}</ref> ha proposto nel 1992 un'interpretazione alternativa di <math> \delta t </math>, che risulta ora essere

:<math>\delta t = \frac{\Delta t}{\pi}</math>

dove <math>\Delta t</math> è il minimo intervallo di tempo necessario perché un sistema con deviazione standard <math>\sigma_E</math> in energia possa evolvere dallo stato iniziale <math>| \, \psi_i \, \rangle</math> ad uno stato <math>| \, \psi_{\perp} \rangle</math> ortogonale al primo:

:<math>\langle \, \psi_i \, | \, \psi_{\perp} \rangle \, = \, 0</math>.

Lo stato ortogonale può rappresentare un decadimento (con variazione d'energia <math>E_i \to E_{\perp}</math>), oppure semplicemente un'evoluzione del sistema che conservi l'energia iniziale <math>E_i</math>.

== Verifiche sperimentali ==

[[File:Gauss and Lorentz lineshapes.png|thumb|right|upright=1.8|Confronto tra la distribuzione [[Distribuzione di Cauchy|lorentziana]] (blu) e quella [[distribuzione gaussiana|gaussiana]] (rosso). In entrambi i casi il massimo è 1.0 e la [[Full width at half maximum|FWHM]] vale <math>\Gamma</math> = w = 2.<ref>In [[statistica]] le distribuzioni sono invece normalizzate in modo da avere area unitaria.</ref>]]

[[File:Activity decay.svg|thumb|right|upright=1.8|[[Decadimento esponenziale]] in funzione del tempo. L'asse verticale mostra la percentuale di particelle iniziali (con energia <math>E_2</math>) ancora presenti dopo un tempo <math>t</math>. Dopo un tempo di dimezzamento <math>T_{1/2} = \tau \cdot ln \, 2</math> si ha la soprav- vivenza di metà della popolazione iniziale: <br>

Per <math>t = \;\;\, T_{1/2} \;\;\;\; N = e^{-ln \, 2} = \, 50.0 \; %. </math> <br>

Per <math>t = \;\;\, \tau \;\;\;\;\;\;\;\; N = e^{-1} \;\;\; = \; 36.8 \; %. </math> <br>

Per <math>t = 2 \, \tau \;\;\;\;\;\;\;\; N = e^{-2} \;\;\; = \; 13.5 \; %. </math> <br>

Per <math>t = 3 \, \tau \;\;\;\;\;\;\;\; N = e^{-3} \;\;\; = \;\;\; 5.0 \; %. </math> <br>

Per <math>t = 4 \, \tau \;\;\;\;\;\;\;\; N = e^{-4} \;\;\; = \;\;\; 1.8 \; %. </math> <br>

Per <math>t = 5 \, \tau \;\;\;\;\;\;\;\; N = e^{-5} \;\;\; = \;\;\; 0.7 \; %. </math> ]]

La disuguaglianza di Kennard, relativa alla preparazione di un sistema quantistico, è stata oggetto di verifica sperimentale a partire dalla fine degli anni '60 del secolo scorso mediante esperimenti di [[diffrazione]] o [[interferenza (fisica)|interferenza]].<ref name="Sen2014" /> L'ampiezza della singola fenditura (diffrazione) o la distanza tra le due fenditure (interferenza) sono state assunte come misure dell'incertezza posizionale <math>\sigma_x</math>. L'indeterminazione sul momento <math>\sigma_{p_x}</math> veniva stimata a partire dalla distribuzione delle particelle rivelate sullo schermo di fondo, derivando dalla distribuzione osservata la deviazione standard <math>\sigma_{p_x}</math>. Nel 1969 C. Shull realizzò il primo esperimento di diffrazione neutronica per la verifica dell'indeterminazione di Kennard.<ref>{{cita pubblicazione|autore= C. Shull |titolo = Single-slit diffraction of neutrons | rivista = Physical Review |volume= 179 |anno= 1969 |pagine= 752-754}}</ref> Solo negli anni '80 del Novecento furono fatte misure d'interferometria neutronica.<ref>{{cita pubblicazione|autore= H. Kaiser H., S. A. Werner, E. A. George |titolo = Direct measurement of the longitudinal coherence lenght of a thermal neutron beam | rivista = Physical Review Letters |volume= 50 |anno= 1983 |pagine= 560-563}}</ref><ref>{{cita pubblicazione|autore= A. G. Klein, G. I. Opat, W. A. Hamilton |titolo = Longitudinal coherence in neutron interferometry | rivista = Physical Review Letters |volume= 50 |anno= 1983 |pagine= 563-565}}</ref> Nel 2002 venne pubblicata<ref>{{cita pubblicazione|autore= O. Nairz, M. Arndt, A. Zeilinger |titolo = Experimental verification of the Heisenberg uncertainty principle for fullerene molecules | rivista = Physical Review |volume= A65 |anno= 2002 |numero= 032109}}</ref> una verifica della relazione di Kennard misurando l'aumento dello sparpagliamento in momento <math>\sigma_{p_x}</math> di molecole di [[fullerene]] C<math>_{70}</math> dopo l'attraversamento di una fenditura d'ampiezza variabile.

Le prime verifiche della relazione d'indeterminazione operazionale (errore/disturbo) risalgono al 2012. Tali esperimenti si basano sulla derivazione indiretta del disturbo indotto su componenti dello ''spin'' di neutroni<ref name="Rozema"/> oppure su misure deboli (''weak'') d'ottica quantistica<ref name="Erhart"/><ref name="Baek"/><ref name="Ringbauer"/> per riuscire a caratterizzare direttamente il disturbo provocato su un sistema dall'interazione con un apparato di misura. Tutti questi esperimenti hanno confermato che la sola disuguaglianza di Heisenberg ''non'' è sufficiente a giustificare i risultati, e bisogna ricorrere a quella di Ozawa per ottenere un accordo tra previsione teorica e dati sperimentali.

Un sistema che ''non'' sia in un autostato dell'energia può decadere da un livello eccitato <math>E_2</math> ad un livello energetico più basso <math>E_1</math>. Detta <math>\tau</math> la sua [[vita media]], esso ha frequenza di transizione <math>E_2 \to E_1</math> (con <math>E_2 > E_1</math>) per ''decadimento spontaneo'' pari a <math>\lambda \,=\, 1/ \tau</math> e quindi <math>\lambda \cdot dt</math> è la probabilità che, nell'intervallo temporale <math>dt</math>, cambi l'energia del sistema.

La probabilità che, dopo un tempo <math>t</math>, il sistema sia ancora caratterizzato dal valore <math>E_2</math> dell'energia è data da

:<math> {\cal P}(t) \,=\, e^{- \lambda \, t} \,=\, e^{- t / \tau} \,=\, e^{- \Gamma \, t / \hbar} </math>

dove <math>\Gamma</math> è l'ampiezza a metà altezza ([[Full width at half maximum|FWHM]]) della [[Distribuzione di Cauchy|distribuzione di Lorentz]] in energia del sistema.

Per sistemi instabili la verifica dell'indeterminazione energia/tempo intrinseca si traduce quindi in quella della relazione

:<math> \Gamma \cdot \tau \,=\, \hbar </math>.

Misurando l'energia per un insieme statistico di sistemi identici si ottiene sperimentalmente la [[Distribuzione di Cauchy|distribuzione lorentziana]],

e da questa si ricava la relativa [[Full width at half maximum|FWHM]]. D'altra parte, il [[decadimento esponenziale]] di un insieme statistico di sistemi identici può essere ricostruito contandone i decadimenti per un lungo periodo, ricavando la curva esponenziale e da questa la vita media <math>\tau</math> come tangente alla curva nell'origine. Disponendo dei valori sperimentali di <math>\Gamma</math> e <math>\tau</math> è immediato calcolare che il loro prodotto sia uguale a <math>\hbar</math>. Con questo metodo è stata verificata la relazione d'indeterminazione energia/tempo intrinseca per numerosi decadimenti [[atomo|atomici]], [[nucleo atomico|nucleari]], di [[mesone|mesoni]] e [[barione|barioni]].

== Dibattito Bohr-Einstein ==

Secondo la diffusa (ma non universalmente accettata) [[interpretazione di Copenaghen]] della meccanica quantistica, un [[sistema]] fisico microscopico ''non'' possiede proprietà oggettive (''anti-realismo'') prima che queste siano misurate mediante un apparato di misura.<ref name= "contingenti">Quasi tutte le proprietà misurabili di un sistema risultano quindi essere ''contingenti'' o ''disposizionali''. Fanno eccezione le proprietà che appartengono sempre in modo definito ad una particella elementare: la [[massa (fisica)|massa]], la [[carica elettrica]] e il numero quantico di [[spin]], dette proprietà ''permanenti'' o ''categoriche''.</ref>

La meccanica quantistica fornirebbe a priori solo un insieme di probabilità attribuibili al possibile esito di una misura ([[Ontologia|''probabilismo ontologico'']]<ref name = "ontologico">Con questo termine ci si riferisce a probabilità attribuibili intrinsecamente al fenomeno fisico, che sono per definizione ineliminabili.</ref>). Ad esempio, la [[distribuzione di probabilità]] ([[figura d'interferenza]]) prodotta da molti [[elettrone|elettroni]] che passano attraverso una [[Esperimento della doppia fenditura|doppia fenditura]] può essere calcolata usando la meccanica quantistica. Ma, secondo l'interpretazione di Copenaghen, il percorso esatto di un singolo elettrone tra le fenditure e lo schermo non può essere né predetto dalla meccanica quantistica,{{#tag:ref|Invece l'[[interpretazione di Bohm]] della meccanica quantistica prevede delle famiglie di possibili traiettorie, percorse dagli elettroni tra la doppia fenditura e lo schermo. L'insieme di tali traiettorie riproduce sullo schermo la figura d'interferenza.<ref>P. R. Holland, ''The quantum theory of motion'', Cambridge University Press, Cambridge 1993, pp. 173-190.</ref> }} né determinato sperimentalmente.<ref>Un esperimento del 2011 sembra contraddire anche questa previsione dell'interpretazione di Copenaghen: {{cita pubblicazione|autore= S. Kocsis, B.Braverman, S. Ravets, M. J. Stevens, R. P. Mirin, L. Krister Shalm, A. M. Steinberg|titolo = Observing the Average Trajectories of Single Photons in a Two-Slit Interferometer |rivista = Science |volume= 332 |numero= 6034| anno=2011|pagine=1170-1173}}</ref>

[[Albert Einstein]] era convinto che tale interpretazione fosse errata, e che a tutte le distribuzioni di probabilità calcolabili mediante la meccanica quantistica dovessero corrispondere eventi deterministici soggiacenti, conoscibili mediante una teoria più completa della meccanica quantistica.

Proprio riferendosi al probabilismo intrinseco all'interpretazione di Copenaghen Einstein affermò nel 1927: «''Dio non gioca a dadi con l'Universo''».<ref name="dadi">{{cita web|url=https://it.wikiquote.org/wiki/Dio_non_gioca_a_dadi#cite_note-dadi-1|titolo=Dio non gioca a dadi|accesso=2 maggio 2017}}</ref>

Pare che [[Niels Bohr]], il principale autore di tale interpretazione, abbia risposto ad Einstein: «''Smettila di dire a Dio cosa fare con i suoi dadi''».<ref name="dadi">{{cita web|url=https://it.wikiquote.org/wiki/Dio_non_gioca_a_dadi#cite_note-dadi-1|titolo=Dio non gioca a dadi|accesso=2 maggio 2017}}</ref>

Nel 1996 [[Stephen Hawking]] commentò la famosa battuta di Einstein alla luce delle conoscenze astrofisiche sulla struttura dell'universo: «''Einstein [...] sbagliò quando disse: «Dio non gioca a dadi». La considerazione dei [[buco nero|buchi neri]] suggerisce infatti non solo che Dio gioca a dadi, ma che a volte ci confonda gettandoli dove non li si può vedere''».<ref> S. W. Hawking, R. Penrose, ''The Nature of Space and Time'', Princeton University Press, Princeton 1996.</ref>

La posizione ''realista'' ("esiste una realtà fisica indipendente dal soggetto che la studia") e ''deterministica'' ("le grandezze fisiche hanno sempre valori determinati e prevedibili mediante un'adeguata teoria fisica") di [[Albert Einstein]] lo rese critico anche nei confronti dell'indeterminismo quantistico.

Nel corso del quinto [[Congressi Solvay|congresso Solvay]], tenutosi a [[Bruxelles]] nel 1927, Einstein propose vari [[esperimento mentale|esperimenti mentali]] basati su fenomeni di [[diffrazione]] di una particella mediante una fenditura singola, o d'[[Interferenza (fisica)|interferenza]] prodotta da molte particelle che attraversano una [[Esperimento della doppia fenditura|doppia fenditura]]. L'intenzione di Einstein era sempre quella di provare - in linea di principio - la possibilità di misurare coppie di variabili coniugate (posizione/momento o energia/tempo) meglio di quanto previsto dal limite dell'indeterminazione di Heisenberg. Bohr riuscì a controbattere efficacemente, mostrando che gli esperimenti citati implicavano una variazione inevitabile (disturbo) della variabile coniugata associata a quella misurata, tale che il prodotto dell'errore di misura dell'una col disturbo dell'altra risultava superiore al limite ''h'' previsto da Heisenberg.<ref>N. Bohr, ''Discussion with Einstein on epistemological problems in atomic physics'', in J.A. Wheeler, H.Z. Zurek (a cura di), ''Quantum Theory and Measurement'', Princeton University Press, Princeton 1983, pp. 19-32.</ref>

Einstein sfidò nuovamente Bohr nel corso del sesto [[Congressi Solvay|congresso Solvay]], tenutosi a [[Parigi]] nel 1930, proponendo il seguente [[esperimento mentale]]: riempiamo una scatola con del materiale radioattivo e agganciamola verticalmente ad una bilancia di precisione a molla. La scatola ha uno sportello, che viene aperto e immediatamente chiuso, permettendo così a un po' di radiazione di uscire. Il meccanismo è azionato da un orologio interno alla scatola, che misura il preciso istante in cui si è aperto e richiuso lo sportello. In questo modo il tempo è noto con precisione. Vogliamo ora misurare con precisione anche la variabile coniugata (l'energia): pesiamo la scatola prima e dopo l'emissione di radiazione, semplicemente leggendo l'indice della bilancia su cui è appesa la scatola. L'equivalenza tra massa ed energia, derivante dalla [[Relatività ristretta|relatività speciale]], ci permetterà di determinare precisamente quanta energia ha lasciato la scatola.

Aggirando in questo modo il limite imposto dalla relazione d'indeterminazione energia/tempo.

Bohr ribatté ad Einstein che egli non aveva tenuto conto di un effetto previsto proprio dalla [[relatività generale]] di Einstein:

se l'energia esce, la scatola è più leggera e si solleverà leggermente sulla bilancia a molla che deve sorreggere la scatola per poterne misurare la variazione di massa. Questo cambierà la posizione dell'orologio nel campo gravitazionale terrestre. Di conseguenza la sua misurazione del tempo sarà diversa rispetto alla posizione precedente, portando a un inevitabile errore nella determinazione dell'intervallo temporale. L'analisi dettagliata del fenomeno, svolta da Bohr, mostra che l'imprecisione della misura è correttamente prevista dalla relazione d'indeterminazione energia/tempo di Heisenberg.<ref>N. Bohr, ''Discussion with Einstein on epistemological problems in atomic physics'', in J.A. Wheeler, H.Z. Zurek (a cura di), ''Quantum Theory and Measurement'', Princeton University Press, Princeton 1983, pp. 32-38.</ref>

== Rilevanza epistemologica ==

{{Citazione|''Se si accetta che l'interpretazione della meccanica quantistica qui proposta sia corretta già in alcuni punti essenziali, allora dovrebbe essere permesso di affrontare in poche parole le conseguenze di principio. [...] nella formulazione netta del principio di causalità: "se conosciamo in modo preciso il presente, possiamo prevedere il futuro", non è falsa la conclusione, bensì la premessa. In linea di principio noi non possiamo conoscere il presente in tutti i suoi dettagli. [...] siccome tutti gli esperimenti sono soggetti alle leggi della meccanica quantistica e quindi all'equazione <math>\Delta x \cdot \Delta p_x \, \sim \, h</math>, mediante la meccanica quantistica viene stabilita definitivamente la non validità del principio di causalità.{{#tag:ref|In effetti, le relazioni d'indeterminazione implicano la non validità del ''determinismo'' (come si evince fin dal nome di tali relazioni), ''non'' della ''causalità''.<ref name="laudisa">{{cita pubblicazione|autore= F. Laudisa |titolo = La causalità nella fisica del XX secolo: una prospettiva filosofica |rivista = Quaestio - Annuario di storia della metafisica |volume= 2 |anno=2002| pagine= 609-634| DOI = 10.1484/J.QUAESTIO.2.300479}}</ref> Questa distinzione non era chiara tra la fine degli anni '20 e i primi anni '30 del Novecento.<ref name="pettoello">{{cita pubblicazione|autore= R. Pettoello |titolo = Causalità e realtà nel dibattito sulla meccanica quantistica degli anni ’30 del novecento. Una possibile ricostruzione |rivista = Rivista di storia della filosofia |anno=2014| pagine= 83-126| DOI = 10.3280/SF2014-001004}}</ref> [[Max Born]] scrisse in un articolo del 1927 su indeterminazione quantistica e perdita della causalità in modo analogo ad Heisenberg: «''L'impossibilità di misurare esattamente tutti i dati di uno stato impedisce la predeterminazione dello svolgimento successivo. Di conseguenza, il principio di causalità perde, nella sua comune formulazione, ogni senso. Infatti, se è impossibile per principio conoscere tutte le condizioni (cause) di un processo, diventa un modo di dire vuoto che ogni evento ha una causa.''»<ref name="born1">{{cita pubblicazione|nome=M.|cognome= Schlick|anno=1931|titolo=Die Kasualität in der gegenwärtigen Physik [La causalità nella fisica contemporanea]|rivista= Die Naturwissenschaften|volume=19|numero= 7|pagine= 145-162}} Traduzione italiana: ''La causalità nella fisica contemporanea'', in ''Tra realismo e neo-positivismo'', Il Mulino, Bologna 1974, citazione da Born a pp.55-56.</ref>

Ma in seguito lo stesso Born cambiò opinione: nella meccanica quantistica «''non è la causalità propriamente detta ad essere eliminata, ma soltanto una sua interpretazione tradizionale che la identifica con il determinismo.''»<ref name="born2">M. Born, ''Filosofia naturale della causalità e del caso'', Boringhieri, Torino 1982, p.129.</ref>}}''|Werner Karl Heisenberg,<ref name="Heisenberg1927"/> 1927}}

{{Citazione|''Anche se esiste un corpo di leggi matematiche "esatte", queste non esprimono relazioni tra oggetti esistenti nello spazio-tempo; è vero che approssimativamente si può parlare di "onde" e "corpuscoli", ma le due descrizioni hanno la stessa validità. Per converso, la descrizione cinematica di un fenomeno necessita dell'osservazione diretta; ma poiché osservare significa interagire, ciò preclude la validità rigorosa del principio di causalità.{{#tag:ref|In effetti, le relazioni d'indeterminazione implicano la non validità del ''determinismo'' (come si evince fin dal nome di tali relazioni), ''non'' della ''causalità''.<ref name="laudisa"/> Questa distinzione non era chiara tra la fine degli anni '20 e i primi anni '30 del Novecento.<ref name="pettoello"/> [[Max Born]] scrisse in un articolo del 1927 su indeterminazione quantistica e perdita della causalità in modo analogo ad Heisenberg: «''L'impossibilità di misurare esattamente tutti i dati di uno stato impedisce la predeterminazione dello svolgimento successivo. Di conseguenza, il principio di causalità perde, nella sua comune formulazione, ogni senso. Infatti, se è impossibile per principio conoscere tutte le condizioni (cause) di un processo, diventa un modo di dire vuoto che ogni evento ha una causa.''»<ref name="born1"/>

Ma in seguito lo stesso Born cambiò opinione: nella meccanica quantistica «''non è la causalità propriamente detta ad essere eliminata, ma soltanto una sua interpretazione tradizionale che la identifica con il determinismo.''»<ref name="born2"/>}}''|Werner Karl Heisenberg,<ref>W. K. Heisenberg, ''The Physical Principles of Quantum Mechanics'', Dover Publications, New York 1930.</ref> 1930}}

Le due citazioni mettono in evidenza la consapevolezza di Heisenberg d'aver dato un contributo fondamentale non solo alla [[fisica]], ma anche alla [[epistemologia]] e alla [[filosofia della scienza]] del [[XX secolo]]. Il principio d'indeterminazione segna la fine della descrizione della realtà fisica

in accordo col ''determinismo meccanicista''<ref name="strumia">{{cita web|url= http://disf.org/determinismo|titolo= Determinismo - II. Determinismo e indeterminismo nelle scienze|accesso= 8 giugno 2017}}</ref> (che implica sia il ''[[determinismo]]'' sia la ''predicibilità''), espressa in modo quasi analogo da [[Ruggero Giuseppe Boscovich]] (che scriveva della descrizione dinamica di un insieme di punti materiali) e da [[Pierre Simon Laplace]] nel contesto della [[fisica classica]]:

{{Citazione|''Anche se un tal problema sorpassa il potere dell'intelletto umano, qualsiasi matematico può vedere che il problema è ben definito [...] e che una mente che avesse le capacità necessarie per trattare tale problema in forma appropriata e fosse abbastanza brillante da percepirne le soluzioni [...] tale mente, dico, a partire da un arco continuo descritto in un intervallo di tempo, non importa quanto piccolo, da tutti i punti della materia, potrebbe derivare le leggi della forza [...] Se la legge delle forze fosse conosciuta, così come la posizione, velocità e direzione di tutti i punti in un dato istante, sarebbe possibile per una tale mente prevedere tutti i movimenti successivi che dovranno necessariamente avvenire, e predire tutti i fenomeni che necessariamente seguono da essi.''|[[Ruggero Giuseppe Boscovich]],<ref>R. G. Boscovich, ''Theoria philosophiae naturali'', 1763.</ref> 1763}}

{{Citazione|''Dovremmo considerare lo stato presente dell'universo come l'effetto del suo stato antecedente e la causa del suo stato successivo. Un'intelligenza che conoscesse tutte le forze operanti in natura in un dato istante e le posizioni instantanee di tutti gli oggetti dell'universo, sarebbe in grado di comprendere in un'unica formula i moti dei più grandi corpi e quelli dei più leggeri atomi del mondo, a condizione che il suo intelletto fosse sufficientemente potente da sottoporre ad analisi tutti i dati: per tale intelligenza niente sarebbe incerto, il futuro e il passato sarebbero entrambi presenti ai suoi occhi.''|[[Pierre Simon Laplace]],<ref>P. S. Laplace, ''Essai philosophique sur les probabilités'', 1812.</ref> 1812}}

Il termine ''[[determinismo]]'' fu tuttavia coniato solo nel 1865 dal fisiologo [[Claude Bernard]]. Secondo l'approccio determinista, ad uno stato fisico presente completamente definito corrisponde un unico stato futuro ad esso compatibile, altrettanto definito; a due stati presenti ''molto simili'' corrispondono due stati futuri ''molto simili''.<ref name="dorato">{{cita pubblicazione|autore= M. Dorato |titolo = Determinismo, libertà e la biblioteca di Babele |rivista = Prometeo - Rivista trimestrale di scienze e storia |volume= 105 |anno=2009| pagine= 78-85| ISSN = 0394-1639}}</ref> </br>

Si ha ''predicibilità'' qualora sia sempre possibile predire l'evoluzione dei sistemi fisici a partire dalla conoscenza delle condizioni del sistema ad un dato istante <math>t_o</math> e delle leggi che ne determinano in modo univoco la dinamica. L'esempio tipico è dato dalla [[seconda legge di Newton]]:

:<math>\vec{F} = m \, \vec{a}</math>.

Dalla conoscenza della forza <math>\vec{F}</math> agente sul corpo, della massa <math>m</math> e delle condizioni iniziali (<math>x_o</math>, <math>v_o</math>) è possibile ricavare la [[traiettoria]], ovvero determinare l'insieme continuo dei punti dello spazio in cui il corpo si è trovato in passato (<math>t < t_o</math>), o si troverà in futuro (<math>t > t_o</math>). </br>

Il determinismo ''non'' implica necessariamente la predicibilità (anche se non la esclude).<ref name="laudisa"/> Si parla di ''determinismo meccanicista''<ref name="strumia"/> nel caso in cui si assuma che valgano sia il ''determinismo'', sia la ''predicibilità''.

L'affermarsi della [[fisica statistica]] nella seconda metà del [[XIX secolo]] diffuse l'uso di metodi statistici, e la consapevolezza che di alcune [[osservabile|osservabili]] si possano di fatto conoscere solo il [[valor medio]] e la [[deviazione standard]], ma non un valore univoco ("esatto" entro i limiti di precisione degli strumenti usati nella misura). Tuttavia le [[probabilità]] utilizzate in [[fisica statistica|meccanica statistica]] dipendono in linea di principio solo dalla ''limitata conoscenza'' che possiamo ottenere sperimentalmente del fenomeno fisico indagato <nowiki>[</nowiki>[[Sistema (fisica)|sistemi]] ([[gas]]) a molti corpi ([[molecola|molecole]] del gas)]. Per questo motivo tali probabilità si definiscono ''epistemiche''.

L'ipotetica "mente di Boscovich" o "intelligenza di Laplace" sopra citate non avrebbero bisogno di metodi statistici: potrebbero seguire una ad una le molecole del gas, e per ciascuna calcolarne la traiettoria usando la II legge di Newton. Anche se si parla, in questo caso, <nowiki>d'</nowiki>''indeterminismo statistico'',<ref name="strumia"/> l’indeterminazione emerge a livello macroscopico, mentre non è presente a livello microscopico o nel formalismo matematico dei processi d'urto a livello molecolare. La [[fisica statistica|meccanica statistica]] ricade quindi ancora nella definizione di ''determinismo meccanicista'',<ref name="strumia"/> che combina ''[[determinismo]]'' e ''predicibilità'':

{{Citazione|''Solo l’impossibilità pratica: 1° di determinare esattamente le condizioni iniziali delle molecole; 2° di seguire col calcolo i fatti molecolari singoli, ci ha indotti a contentarci di “leggi medie” (senza provarne dispiacere, perché esse rappresentano proprio ciò che possiamo realmente osservare coi nostri sensi grossolani, e perché tali leggi hanno ancora una precisione tale da renderci capaci di fare previsioni sufficientemente sicure). Dunque: si continuava a immaginare i fenomeni determinati per via strettamente causale nell’ambito degli atomi e delle molecole prese singolarmente. Ciò costituiva in certo qual modo lo sfondo o base delle leggi statistiche di massa, le uniche, in realtà, accessibili all’esperienza. La massima parte dei fisici riteneva indispensabile, per il mondo fisico, una base strettamente deterministica. Essi erano convinti che il contrario non fosse nemmeno “pensabile”; ammettevano senz’altro che, almeno nel processo elementare, per esempio nell’urto di due atomi, il “risultato finale” fosse contenuto implicitamente, con precisione e piena sicurezza, nelle condizioni iniziali. Si disse e si dice talvolta ancor oggi che una scienza naturale esatta non sarebbe possibile, in alcun caso, su un’altra base; che senza una base strettamente deterministica tutto diventerebbe inconsistente. La nostra “immagine” della natura degenererebbe in un caos e non corrisponderebbe dunque alla natura effettivamente “esistente”, perché questa, tutto sommato, non è un perfetto caos.''|[[Erwin Schrödinger]],<ref>E. Schrödinger, ''My View of the World'', Ox Bow Press, Woodbridge 1983. Traduzione italiana: ''L’immagine del mondo'', Boringhieri, Torino 1987, p.19.</ref> 1931}}

Il lavoro<ref>{{cita pubblicazione|autore= H. Poincaré |titolo = Sur le problème des trois corps et les équations de la dynamique |rivista = Acta Mathematica |volume= 13 |anno=1890| pagine= 1-270}}</ref> di [[Henri Poincaré]] pubblicato nel 1890 sul [[problema dei tre corpi]] e la stabilità del [[sistema solare]]<ref>{{cita web|url=http://www.treccani.it/enciclopedia/l-ottocento-astronomia-il-problema-dei-tre-corpi-e-la-stabilita-del-sistema-solare_(Storia-della-Scienza)/|titolo=Il problema dei tre corpi e la stabilità del Sistema solare|accesso=10 maggio 2017}}</ref> è alla base della [[teoria del caos]] deterministico, o teoria dei [[Sistema complesso|sistemi complessi]]. La teoria del caos è lo studio attraverso modelli della [[fisica matematica]] dei [[Sistema (fisica)|sistemi]] fisici [[Sistema non lineare|non lineari]] che esibiscono una sensibilità [[esponenziale]] rispetto alle [[Condizione al contorno|condizioni iniziali]].<ref name=ott>{{cita libro|cognome = Edward |nome = O.| titolo = Chaos in Dynamical Systems| pagine = 15-19 | editore = Cambridge University Press | anno = 2002}}</ref> I sistemi di questo tipo sono governati da [[Legge fisica|leggi]] [[determinismo|deterministiche]], eppure sono in grado di esibire una ''casualità empirica'' nell'evoluzione delle variabili dinamiche.<ref>{{cita web|http://www.britannica.com/EBchecked/topic/106013/chaos-theory|chaos theory|10 maggio 2017}}</ref> Questo comportamento casuale si manifesta solo nel momento in cui si confronta l'andamento temporale asintotico di due sistemi con configurazioni iniziali arbitrariamente simili tra loro.<ref name=ott /> Il [[teoria del caos|caos deterministico]] implica la ''impredicibilità asintotica'' dei [[Sistema complesso|sistemi dinamici complessi]]. Ci troviamo quindi in una situazione differente rispetto a quella del determinismo laplaciano: ancora ad uno stato fisico presente completamente definito corrisponde un unico stato futuro ad esso compatibile, altrettanto definito; ma a due stati presenti ''molto simili'' possono corrispondere due stati futuri ''molto diversi'' tra loro (''impredicibilità'').<ref name="dorato"/> Si ha in questo caso una forma di ''determinismo'' (le leggi dinamiche dei sistemi non lineari) che ''esclude'' esplicitamente la ''predicibilità''.

L'avvento della [[meccanica quantistica]] mutò radicalmente la situazione. L'[[equazione di Schrödinger]], formulata da [[Erwin Schrödinger]] nel [[1925]] e pubblicata<ref>"Derivazione" dell'equazione di Schrödinger per sistemi tempo indipendenti ed autovalori degli atomi idrogenoidi: {{cita pubblicazione|autore= E. Schrödinger |titolo = Quantisierung als Eigenwertproblem (Erste Mitteilung) [Quantizzazione come problema agli autovalori (prima comunicazione)]|rivista = Annalen der Physik |volume= 79 |anno=1926| pagine= 361-376}}</ref>

<ref>Nuova derivazione dell'equazione di Schrödinger, oscillatore armonico quantistico, rotore rigido e molecole biatomiche: {{cita pubblicazione|autore= E. Schrödinger |titolo = Quantisierung als Eigenwertproblem (Zweite Mitteilung) [Quantizzazione come problema agli autovalori (seconda comunicazione)]|rivista = Annalen der Physik |volume= 79 |anno=1926| pagine= 489-527}}</ref>

<ref>Teoria delle perturbazioni, applicazione all'effetto Stark: {{cita pubblicazione|autore= E. Schrödinger |titolo = Quantisierung als Eigenwertproblem (Dritte Mitteilung) [Quantizzazione come problema agli autovalori (terza comunicazione)]|rivista = Annalen der Physik |volume= 80 |anno=1926| pagine= 437-490}}</ref>

<ref>L'equazione d'onda per sistemi non conservativi, teoria delle perturbazioni per sistemi dipendenti dal tempo, significato fisico della funzione d'onda: {{cita pubblicazione|autore= E. Schrödinger |titolo = Quantisierung als Eigenwertproblem (Vierte Mitteilung) [Quantizzazione come problema agli autovalori

(quarta comunicazione)]|rivista = Annalen der Physik |volume= 81 |anno=1926| pagine= 109-139}}</ref> nel [[1926]], è l'equazione fondamentale che determina l'evoluzione temporale dello [[stato quantico]] di un [[Sistema (fisica)|sistema]], come ad esempio una [[particella (fisica)|particella]], un [[atomo]] o una [[molecola]]. Si tratta di un'equazione d'onda [[equazione differenziale alle derivate parziali|differenziale alle derivate parziali]], [[Equazione lineare|lineare]], [[Numeri complessi|complessa]] e non relativistica, che ha come incognita la [[funzione d'onda]] <math>\psi</math>. Tale funzione d'onda fu introdotta basandosi sull'[[ipotesi di de Broglie]], secondo cui alle particelle che costituiscono la materia, come l'[[elettrone]], è associata un'onda fisica caratteristica (onda di materia) che ha la forma di un pacchetto d'onde spazialmente localizzato. [[Erwin Schrödinger]] immaginò inizialmente che il [[Valore assoluto|modulo]] quadro della funzione d'onda <math>\psi</math> associata all'elettrone descrivesse la [[densità di carica]] o la [[peso specifico|densità di massa]] della particella; tale interpretazione fu presto scartata perché il pacchetto d'onde si sparpaglia col passare del tempo, mentre la [[carica elettrica|carica]] e la [[massa (fisica)|massa]] dell'elettrone restano sempre localizzate. Nel 1926 [[Max Born]] interpretò<ref>{{cita pubblicazione|autore= M. Born |titolo = Zur Quantenmechanik der Stossvorgänge (Vorläufige Mitteilung) [Sulla meccanica quantistica dei processi d'urto (comunicazione preliminare)]|rivista = Zeitschrift für Physik |volume= 36 |anno=1926| pagine= 863-867}}</ref><ref>{{cita pubblicazione|autore= M. Born |titolo = Zur Quantenmechanik der Stossvorgänge [Sulla meccanica quantistica dei processi d'urto]|rivista = Zeitschrift für Physik |volume= 38 |anno=1926| pagine= 803-827}}</ref> invece <math>|\psi|^2</math> come legata alla [[distribuzione di probabilità]] della posizione dell'elettrone nello spazio:

:<math>P = |\psi|^2 \, dV</math>

indica la probabilità di trovare la particella in un volume di spazio [[infinitesimo]] <math>dV</math>.

L'argomento dell'[[equazione di Schrödinger]] ''non'' è più una grandezza fisica misurabile, come per le equazioni della [[fisica classica]], ma una [[funzione d'onda]] complessa, il cui modulo quadro <math>|\psi|^2</math> viene interpretato come una densità di probabilità. Quindi le probabilità che compaiono in [[meccanica quantistica]] non sono più ''epistemiche'',<ref name= "epistemico">Ovvero legate solo all'imperfetta conoscenza dei dettagli di un fenomeno fisico, come nel caso dei sistemi a molti corpi studiati in [[meccanica statistica]]. Le probabilità epistemiche sono in linea di principio sostituibili da una completa conoscenza del fenomeno indagato.</ref> ma ''strutturali''.<ref name= "strutturali">Con questo termine si fa riferimento a delle probabilità inevitabilmente connesse con la struttura formale della teoria, ovvero al suo formalismo matematico. Tali probabilità ''non'' sono necessariamente attribuite al fenomeno fisico, ma piuttosto alla specifica teoria usata per descriverlo. Cambiando l'interpretazione data alla teoria, delle probabilità ''strutturali'' potrebbero diventare ''epistemiche'', come nel caso dell'[[interpretazione di Bohm]].</ref> Se si ritiene poi che l'equazione di Schrödinger con l'interpretazione data da Born alla funzione d'onda <math>\psi</math> descriva la [[Realtà|realtà fisica]] (assunzione del [[Realismo (filosofia)|realismo scientifico]]), allora il probabilismo della [[meccanica quantistica]] risulta essere [[Ontologia|''ontologico'']].<ref name = "ontologico"/>

L'interpretazione di Born entrò successivamente a far parte dell'interpretazione ortodossa della meccanica quantistica, nota come [[interpretazione di Copenaghen]]. Secondo tale diffusa (ma non universalmente accettata) [[interpretazione di Copenaghen|interpretazione]] della meccanica quantistica, un [[sistema]] fisico microscopico ''non'' possiede proprietà oggettive (''anti-realismo'') prima che queste siano misurate mediante un apparato di misura.<ref name= "contingenti"/> La meccanica quantistica fornirebbe a priori solo un insieme di probabilità attribuibili al possibile esito di una misura ([[Ontologia|''probabilismo ontologico'']]<ref name = "ontologico"/>). Inoltre l'impossibilità di definire il valore delle variabili prima di una misura<ref name= "contingenti"/> fa mancare una condizione essenziale all'evoluzione deterministica del sistema: la completa definizione dello stato iniziale. «''Secondo la cosiddetta "interpretazione di Copenaghen" della meccanica quantistica, [...] i risultati delle misurazioni che possiamo fare quando ci occupiamo di particelle atomiche sono dunque essenzialmente, sostanzialmente e strutturalmente non deterministici''» (Mariangela Priarolo,<ref>M. Priarolo, ''Il determinismo - Storia di un'idea'', Carocci, Roma 2011, p.45.</ref> 2011)

L'indeterminismo introdotto dalle disuguaglianze di Heisenberg è ancora più fondamentale di quello legato all'[[interpretazione di Copenhagen]].

Esistono infatti altre [[Interpretazione della meccanica quantistica|interpretazioni della meccanica quantistica]] che non condividono il ruolo centrale del processo di misura (quindi l'anti-realismo e l'indeterminismo) assunti dall'[[interpretazione di Copenhagen]]. Ma con Heisenberg, «''nella formulazione [...] del principio di causalità: "se conosciamo in modo preciso il presente, possiamo prevedere il futuro", non è falsa la conclusione, bensì la premessa''». Basta infatti riscrivere l'indeterminazione posizione/momento nella forma

:<math>\Delta x_o \cdot \Delta v_o \, \ge \, \frac{\hbar}{2m} </math>

per rendersi conto che non si può avere, in linea di principio, conoscenza esatta delle condizioni del sistema ad un dato istante <math>t_o</math>: tanto più si tenta di ridurre l'incertezza sulla variabile <math>x_o</math>, tanto più aumenta l'incertezza su <math>v_o</math> (relazione di [[proporzionalità inversa]] tra le due). Ci si trova nel primo dei due casi possibili d'indeterminismo: ''lo stato presente non è completamente definibile'' oppure a un medesimo stato presente completamente definito possono corrispondere molti stati futuri possibili, uno solo dei quali si realizzerà.<ref name="dorato"/>

Le disuguaglianze di Kennard e di Robertson mostrano un ulteriore significato dell'indeterminazione quantistica. Mentre le disuguaglianze di Heisenberg implicano sempre una misura, e il conseguente disturbo da questa provocata su misure dell'osservabile coniugata (''indeterminismo operazionale''), quelle di Kennard e Robertson evidenziano proprietà caratteristiche dei sistemi quantistici (''indeterminismo intrinseco''). L'indeterminazione passa dall'essere un fenomeno inerentemente legato agli strumenti e alle misure, ad essere una peculiarità della meccanica quantistica. È il formalismo matematico della teoria ([[spazi di Hilbert]] a infinite dimensioni) ad implicare l'indeterminismo quantistico, secondo le tesi del ''realismo strutturale''.<ref>{{cita pubblicazione|autore= J. Worrall |titolo = Structural Realism: The Best of Both Worlds ? |rivista =Dialectica|volume= 43 |anno=1989| pagine= 99-124}}</ref>

O in alternativa si tratta di una caratteristica degli enti quantistici ([[fotone|fotoni]], [[particella (fisica)|particelle massive]]), che si differenziano anche per questo ''indeterminismo intrinseco''<ref>I. caratteristica degli enti quantistici.</ref> dagli enti della [[fisica classica]] ([[onda|onde]] o particelle macroscopiche), come sostiene il ''realismo scientifico''. In entrambi i casi, l'indeterminazione risulta essere una peculiarità fondativa ed essenziale della meccanica quantistica.

Una conseguenza immediata della disuguaglianza scritta sopra è la ''perdita del concetto di traiettoria''<ref>II. caratteristica degli enti quantistici.</ref> per le particelle atomiche e subatomiche: ''non'' avendo precisa conoscenza delle condizioni iniziali (<math>x_o</math>, <math>v_o</math>), ''non'' è possibile ricavare la [[traiettoria]], ovvero determinare l'insieme continuo dei punti dello spazio in cui la particella si è trovata in passato (<math>t < t_o</math>), o si troverà in futuro (<math>t > t_o</math>).

Questo fatto introduce un'ulteriore differenza fondamentale tra le particelle classiche e quelle quantistiche: particelle identiche classiche sono ''distinguibili'' mentre particelle identiche quantistiche risultano ''indistinguibili''.<ref>III. caratteristica degli enti quantistici.</ref> L'unico modo di distinguere due particelle identiche che entrino in contatto è infatti la diversa traiettoria che hanno seguito prima dell'urto (<math>t < t_o</math>), e che seguiranno dopo l'urto (<math>t > t_o</math>). A due particelle identiche classiche si applica la II legge di Newton; quindi in linea di principio è sempre possibile ricostruirne le traiettorie, e sapere cosa succede a ciascuna particella dopo l'urto. Ma per due particelle identiche quantistiche ''non'' si ha precisa conoscenza delle condizioni iniziali (<math>x_o</math>, <math>v_o</math>), e quindi ''non'' è possibile ricavare le traiettorie. In mancanza di tale informazione, risulta impossibile stabilire "chi è chi" dopo l'urto, ovvero distinguerle.

Altre proprietà tipicamente quantistiche sono l'[[elicità]] dei fotoni e lo [[spin]]<ref>IV. caratteristica degli enti quantistici.</ref> delle [[particella (fisica)|particelle massive]]. Il ''[[teorema spin-statistica]]'' mette in relazione lo [[spin]] di una [[Particella (fisica)|particella]] con la [[Meccanica statistica|statistica]]<ref>VI. caratteristica degli enti quantistici.</ref> a cui essa obbedisce. La tesi del

teorema enuncia che le [[Particella (fisica)|particelle]] a spin [[Numero intero|intero]] (0, 1, 2,...) seguono la [[statistica di Bose-Einstein]], mentre quelle a spin [[semidispari]] (1/2, 3/2, 5/2,...) obbediscono alla [[statistica di Fermi-Dirac]].<ref>Le particelle classiche obbediscono invece alla [[Distribuzione di Maxwell-Boltzmann|statistica di Maxwell-Boltzmann]]</ref> Il teorema fu enunciato per la prima volta nel [[1939]] da Markus Fierz,<ref>{{cita pubblicazione|autore= M. Fierz |titolo = Über die relativistische Theorie Kräftefreier Teilchen mit Beliebigem Spin [Sulla teoria relativistica di particelle libere con spin arbitrario] |rivista = Helvetica Physica Acta|volume= 12 |anno=1939| pagine= 3-37}}</ref> e fu riderivato in maniera più sistematica da [[Wolfgang Pauli]].<ref>{{cita pubblicazione|autore= W. Pauli |titolo = The Connection Between Spin and Statistics |rivista = Physics Review |volume= 58 |anno=1940| pagine= 716-722}}</ref><ref>{{cita pubblicazione|autore= W. Pauli |titolo = The Connection Between Spin and Statistics |rivista = Progress of Theoretical Physics |volume= 5 |anno=1950| numero= 4}}</ref> Argomentazioni di [[teoria quantistica dei campi]] (la richiesta d'invarianza per riflessioni temporali impone una restrizione alle proprietà dell'operatore di campo che corrisponde alla connessione tra spin e statistica delle particelle) furono fornite<ref>{{cita pubblicazione|autore= J. Schwinger |titolo = The Theory of Quantized Fields. I |rivista = Physics Review |volume= 82 | numero= 6 | anno=1951| pagine= 914-927|DOI = https://doi.org/10.1103/PhysRev.82.914}}</ref> da [[Julian Schwinger]] nel [[1951]]. Nel [[1961]] [[Richard Feynman]] ne diede una dimostrazione<ref>R. P. Feynman, ''Quantum Electrodynamics'', Basic Books, New York 1961.</ref> più intuitiva, partendo da presupposti differenti.

La classificazione delle [[Particella (fisica)|particelle]] quantistiche è fatta a partire dallo [[spin]], che permette di distinguere due classi di particelle: [[bosone (fisica)|''bosoni'']], con spin [[Numero intero|intero]] (0, 1, 2,...) e [[Fermione|''fermioni'']], con spin [[semidispari]] (1/2, 3/2, 5/2,...).<ref>V. caratteristica degli enti quantistici.</ref> I fermioni obbediscono al [[principio di esclusione di Pauli]] (due fermioni identici non possono occupare simultaneamente lo stesso [[stato quantico]]) e seguono la [[statistica di Fermi-Dirac]]. I bosoni invece sono liberi di affollare lo stesso stato quantico e seguono la [[statistica di Bose-Einstein]].

Come detto, gli enti quantistici hanno proprietà peculiari profondamente diverse da quelle degli enti della [[fisica classica]] ([[onda|onde]] o particelle macroscopiche):

[[Image:Dualite.jpg|thumb|upright=1.8|Metafora del cilindro: un solido le cui proiezioni possono produrre le immagini di un cerchio o di un quadrato.]]

# Indeterminismo intrinseco

# Assenza di traiettoria

# Particelle identiche ''indistinguibili''

# Sono dotati di [[spin]] o [[elicità]]

# Sono [[bosone (fisica)|''bosoni'']] o [[Fermione|''fermioni'']]

# Seguono la [[statistica di Bose-Einstein]] o quella di [[statistica di Fermi-Dirac|Fermi-Dirac]]

Risulta pertanto improprio cercare di classificare ''bosoni'' e ''fermioni'' sulla base di categorie classiche quali [[onda|onde]] o particelle macroscopiche. Il [[dualismo onda-particella|dualismo onda/particella]] è stato un concetto problematico che ha caratterizzato la [[meccanica quantistica]] fin dalle origini.<ref>{{cita pubblicazione|autore= G. Introzzi |titolo = Il dualismo onda/particella: analisi storica er recenti interpretazioni |rivista = Atti dell'Accademia roveretana degli Agiati |volume= X, B |anno=2010| pagine= 5-18}} on-line: www.agiati.it/UploadDocs/4878_art01_introzzi.pdf</ref>

L'opinione, tra gli altri, di [[Richard Feynman]]<ref>R. P. Feynman, R. B. Leighton, M. Sands, ''La Fisica di Feynman - 3 Meccanica quantistica'', Zanichelli, Bologna 2007<math>^2</math>.</ref> e di [[Jean-Marc Lévy-Leblond]]<ref>J.-M. Lévy-Leblond, ''Quantics - Rudiments of Quantum Physics'', North Holland, Amsterdam 1990.</ref> è che si debbano evitare termini classici nel definire gli enti della meccanica quantistica. L'epistemologo [[Mario Bunge]] ha coniato<ref>M. A. Bunge, ''Foundations of Physics'', Springer, New York 1967.</ref><ref>M. A. Bunge, ''Quantum Theory and Reality'', Springer, New York 1967.</ref> nel [[1967]] il termine ''quantone'' proprio per denominare con una sola parola [[bosone (fisica)|''bosoni'']] e [[Fermione|''fermioni'']]. Resta da capire come mai i ''quantoni'' manifestino proprietà a volte corpuscolari, a volte ondulatorie ([[dualismo onda-particella|dualismo onda/particella]]). Forse aiuta ad intuire la metafora del cilindro (''quantone''): non è né un cerchio, né un quadrato, ma le sue proiezioni (''visioni classiche'') ci forniscono, a seconda della prospettiva, l'immagine di un cerchio (''onda'') o di un quadrato (''particella macroscopica'').

== Note ==

<references/>

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| rivista = Journal of Fourier Analysis and Applications

| anno = 1997

| mese = maggio

| volume = 3

| numero = 3

|pp= 207–238

| doi = 10.1007/BF02649110

|id=98f:42006

| url = http://www.springerlink.com/content/f7492v6374716m4g/fulltext.pdf

|formato= PDF

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* {{Cita pubblicazione|nome=W.|cognome=Heisenberg|titolo=Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik [Sul contenuto intuitivo della cinematica e della meccanica nella teoria quantistica]|rivista=Zeitschrift für Physik|volume=43|anno=1927|pp=172–198|doi=10.1007/BF01397280}} Traduzione inglese: J. A. Wheeler, H. Zurek, ''Quantum Theory and Measurement'' Princeton University Press, Princeton 1983, pp. 62–84. Traduzioni italiane: a) di S. Boffi, ''Il principio di indeterminazione'', Università degli studi di Pavia, Pavia 1990, pp. 45-74, ISBN 8885159036, on-line: www2.pv.infn.it/~boffi/Werner.pdf ; b) di S. Boffi, ''Onde e particelle in armonia - Alle sorgenti della meccanica quantistica'', Jaca Book, Milano 1991, pp. 147-182, ISBN 8816402822, ISBN 9788816402829; c) di G. Gembillo, G. Gregorio, ''Indeterminazione e realtà'', Guida, Napoli 1991, pp. 35-67, ISBN 9788878351011.

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== Voci correlate ==

* [[Dualismo onda-particella]]

* [[Indeterminismo]]

* [[Interpretazione di Bohm]]

* [[Interpretazione di Copenaghen]]

* [[Meccanica quantistica]]

* [[Postulati della meccanica quantistica]]

* [[Teorie delle variabili nascoste]]

== Collegamenti esterni ==

* {{cita web|http://scienceweek.com/2004/sa041001-1.htm|Quantizzazione di un pendolo|lingua=en}}

* {{cita web|http://daarb.narod.ru/tcpr-eng.html|Il principio di indeterminazione|lingua=en}}

* {{cita web|http://meccanica-quantistica.webs.com|La meccanica quantistica e il principio di indeterminazione}}

* {{Thesaurus BNCF}}

* {{cita web|http://lescienze.espresso.repubblica.it/articolo/articolo/1345610|Un inaspettato legame fra principio di indeterminazione e non-località}}

{{Meccanica quantistica}}

{{Portale|meccanica quantistica}}

{{Controllo di autorità}}

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