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[[File:Tacoma Narrows Bridge destruction.oggogv|right|160px|thumb|Collasso strutturale da Flutter]]

[[Immagine:Try3.gif|right|160px|thumb|Instabilità strutturale]]

L''''Instabilità delle strutture''' (o '''stabilità delle strutture''') è una branca della [[Meccanica delle strutture]], e quindi della [[Scienza delle costruzioni]], che si occupa dello studio e della modellazione dei comportamenti nonlineari delle [[Struttura resistente|strutture]] legati ai fenomeni di [[Stabilità interna|instabilità]] delle relative configurazioni di [[Equilibrio statico|equilibrio]]. Il problema della stabilità è spesso associato a fenomeni di collasso strutturale, pertanto la '''teoria della stabilità delle strutture''' riveste un ruolo fondamentale in [[ingegneria strutturale]], [[ingegneria aerospaziale|aerospaziale]] e [[ingegneria nucleare|nucleare]], e in diversi problemi di [[ingegneria meccanica]] e [[ingegneria geotecnica|geotecnica]], di [[geofisica]] e di [[scienza dei materiali]].

I fenomeni di instabilità strutturale indotti da particolari azioni di [[carico strutturale|carichi]] non-[[forza conservativa|conservativi]] (p.e., prodotti dal [[vento]] e generalmente da [[fluidi]]) sono detti di '''''[[instabilità fluidodinamica|instabilità dinamica]]''''' o di '''''[[Flutter]]'''''. Per strutture soggette a [[forza conservativa|carichi (interni ed esterni) conservativi]], i fenomeni di instabilità sono anche detti di ''nonlinearità geometrica'', in quanto riconducibili al generale carattere nonlineare del legame cinematico tra i [[Deformazione#Misure di deformazione pura|descrittori interni della deformazione]] e i descrittori esterni del [[spostamento (fisicacinematica)|campo di spostamenti]] che ne rappresenta la [[Deformazione#Cambiamenti di configurazione|configurazione deformata]] di equilibrio.

Anche se tali fenomeni in teoria possono riguardare qualsiasi struttura, in presenza o meno di nonlinearità fisica del materiale di cui sono costituite, la teoria della stabilità delle strutture fa prevalente riferimento al comportamento di strutture [[Elasticità (meccanica)|elastiche]] ''snelle'', intendendo proprio come '''''snella''''' una struttura per la quale gli effetti di nonlinearità geometrica intervengono molto prima che siano sensibili gli effetti di nonlinearità materiale, che quindi sono trascurabili rappresentadone il [[Relazioni costitutive|comportamento costitutivo]] secondo il modello di [[Legge di Hooke|elasticità lineare]]. In tale accezione, la teoria della stabilità delle strutture rientra nel quadro della ''Teoria nonlineare dell'elasticità''.

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== La teoria della stabilità di Koiter ==

{{cassetto

{| class="toccolours collapsible collapsed" style="clear:right; text-align:left; margin:0 0 1em 1em; width:60%; background:#FFFFFF;"

! style|titolo="background:#E0E0FF;" align="center" |''Notazioni e simbologia''

|colore=#ABCDEF

|-

|larghezza=350px

|

|allineamento=destra

|testo=

*<math>u</math> : campo di spostamenti;

*<math>\lambda</math> : parametro amplificativo del carico;

*<math>(.)'\delta u</math>: [[Derivata funzionale|derivata di Frèchet]] rispetto al campo <math>u</math>

*<math>\hat{(.)}</math>: [[derivata]] rispetto al parametro <math>\lambda</math>

*<math>\Pi[u,\lambda]</math> : [[funzionale]] dell'energia potenziale totale;

*<math>\Pi'\delta u</math> : [[Derivata funzionale|variazione prima]] del funzionale <math>\Pi[u,\lambda]</math>;

*<math>{\boldsymbol Pi''\nabladot{v} {\mathbfdelta a}u</math> : [[tensoreDerivata funzionale|tensore (del secondovariazione ordine)seconda]] [[gradiente]]del dell'[[funzione vettoriale|applicazione vettoriale]]funzionale <math>{\mathbf a}({Pi[u,\mathbf X})lambda]</math>;

*<math>\Pi ^{n}\dot{v}^n \delta u</math> : [[Derivata funzionale|variazione n-esima]] del funzionale <math>\Pi[u,\lambda]</math>;

|}}

Operazioni su [[Vettore (fisica)|vettori]] e [[tensori]] / [[matrici]]:

Per strutture soggette a [[forza conservativa|carichi conservativi]] crescenti linearmente con un parametro <math> \lambda </math> (<math>p[\lambda]=\lambda \hat{p} </math>), caratterizzate da un'[[Continuo di Cauchy#Materiali elastici ed iperelastici|energia di deformazione]] <math>\Phi[u]</math> (dove <math>u </math> rappresenta il [[Campo (matematica)|campo]] di [[Spostamento (fisicacinematica)|spostamenti]] compatibile con i vincoli cinematici interni ed esterni della struttura) e da un [[Energia potenziale|potenziale dei carichi]] <math>p[\lambda] u </math>, le configurazioni di equilibrio sono caratterizzate dalla [[Calcolo delle variazioni|condizione di stazionarietà]] della [[Energia potenziale|energia potenziale]] totale

*<math>{\mathbf a}\, \cdot\,{\mathbf b}</math> : [[prodotto scalare]] tra vettori;

*<math>{\mathbf a}\, \times\,{\mathbf b}</math> : [[prodotto vettoriale]] tra vettori;

*<math>\mathbf{A}^t</math> : [[matrice trasposta|tensore trasposto]] del tensore <math>\mathbf{A}</math>;

*<math>\mathbf{A}^{-1}</math> : [[matrice inversa|tensore inverso]] del tensore <math>\mathbf{A}</math>;

*<math>det({\mathbf A})</math> : [[determinante]] del tensore <math>{\mathbf A}</math>;

*<math>\|{\mathbf a}\| </math> : [[Norma (matematica)|norma]] del vettore <math>{\mathbf a}</math>;

*<math>\|{\mathbf A}\| </math> : [[Norma (matematica)|norma]] del tensore <math>{\mathbf A}</math>;

*<math>\mathbf{rot}({\mathbf A})</math> è l'operatore di [[Rotore (matematica)|rotore]] del tensore <math>{\mathbf A}</math>;

|}

Per strutture soggette a [[forza conservativa|carichi conservativi]] crescenti linearmente con un parametro <math> \lambda </math> (<math>p[\lambda]=\lambda \hat{p} </math>), caratterizzate da un'[[Continuo di Cauchy#Materiali elastici ed iperelastici|energia di deformazione]] <math>\Phi[u]</math> (dove <math>u </math> rappresenta il [[Campo (matematica)|campo]] di [[Spostamento (fisica)|spostamenti]] compatibile con i vincoli cinematici interni ed esterni della struttura) e da un [[Energia potenziale|potenziale dei carichi]] <math>p[\lambda] u </math>, le configurazioni di equilibrio sono caratterizzate dalla [[Calcolo delle variazioni|condizione di stazionarietà]] della [[Energia potenziale|energia potenziale]] totale

:<math>\Pi[u,\lambda]=\Phi[u]-\lambda p\, u=staz_u

</math>

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</math>

A partire dalla conoscenza del percorso fondamentale <math>u^f[\lambda]</math>, la strategia di Koiter si articola nella seguente sequenza algoritmica:<ref>vedi (Casciaro et a., 1991,1992)</ref>

*[step 1] : calcolo del punto di biforcazione <math>\lambda_b</math> e del modo primario di buckling <math>\dot{v}_b</math> (dalla risoluzione del problema di biforcazione lungo <math>u^f[\lambda]</math>)

::<math>\Pi_b'' \dot{v}_b \delta u=0 \;\;,\;\;\forall \delta u\;\;,\;\; \|\dot{v}_b\| =1

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==== Le imperfezioni geometriche e di carico ====

Una struttura manifesta un fenomeno di biforcazione dei percorsi di equilibrio come risultato di una ideale combinazione di forma geometrica e di distribuzonedistribuzione dei carichi applicati: la struttura in tal caso è detta '''''perfetta'''''. Nei casi reali, in presenza di inevitabili, anche se piccole, deviazioni da tale geometria e da tale distribuzione di carichi ('''''imperfezioni geometriche e di carico''''') la struttura non manifesta il fenomeno di biforcazione ed è detta '''''imperfetta'''''. Il percorso di equilibrio della struttura imperfetta è tuttavia condizionato, in termini

qualitativi e quantitativi, dai percorsi di equilibrio della struttura perfetta di riferimento, anche se può presentare differenza significative in termini di capacità portante (e si parla in tal caso di '''''sensibilità alle imperfezioni''''').

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Nel caso di biforcazione semplice è implicita l'ipotesi che i fenomeni di buckling sono dominati dall'unica nonlinearità associata alla configurazione critica conseguita per il più piccolo lavore del parametro di carico. Comunque, biforcazioni semplici isolate rappresentano un caso limite nella complessità dei fenomeni osservabili nelle strutture snelle dove, a causa dell'ottimizzazione operata in fase di progetto, il percorso fondamentale presenta una molteplicità di punti critici a valori molto prossimi del carico, da cui si dipartono una molteplicità di percordi di equilibrio diramati: tale situazione è detta di '''''modi multipli''''' di buckling. In queste condizioni i diversi modi critici possono interagire tra loro, condizionando pesantemente il comportamento della struttura. In particolare tali fenomeni di interazione possono conferire alla struttura una forte sensibilità, in termini di riduzione della capacità portante, a piccole imperfezioni nella forma geometrica della struttura o nei carichi applicati. Tali fenomeni di interazione devono pertanto essere messi in conto nell'analisi.

Una generalizzazione della strategia perturbativa al caso di modi multipli (simultanei o quasi simultanei) è ottenuta mettendo in conto esplicitamente tale molteplicità nella forma con cui è ricostruito alla Galerkin il generico percorso di equilibrio, facendo uso della più ricca varietà di biforcazione <ref>vedi (Casciaro et a., 1991,1992), (Salerno & Casciaro, 1997), (Lanzo & Garcea, 1996)</ref>

:<math>

u= \lambda \hat{u} +\sum_{i=1}^m \xi_i \dot{v}_i + \tfrac{1}{2}

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* <math>\dot{v}_{(i=1,\ldots,m)}</math> sono gli ''m'' modi di buckling messi in conto nell'analisi, cioè soluzione del seguente problema di biforcazione multipla lungo il percorso fondamentale

::<math>

\PhiPi''[\lambda_i \hat{u}] \dot{v}_i \delta u = 0 \;,\;\forall\, \delta u

\;,\;

-\Phi_bPi_b''' \hat{u}_b \dot{v}_i \dot{v}_j=\delta_{ij} \hspace{1cm}

\mbox{(\$\delta_{ij}\$ is the Kronecker's symbol)}

</math>

* <math>\ddot{w}_{ij}</math> sono i mosi secondari di buckling assiciati ai modi primari, cioè soluzione dei problemi:

::<math>

\PhiPi''_b\ddot{w}_{ij} \delta u+\PhiPi'''_b \dot{v}_i\dot{v}_j \delta u = 0, \hspace{0.5cm} \Phi_bPi_b \hat{u} \dot{v}_i \ddot{w}=0, \;\;\forall \delta u: \Phi_bPi_b \hat{u} \dot{v}_i \delta u=0

\hspace{0.5cm}(i,j=\{1,\ldots,m\}) .

</math>

Riga 132 ⟶ 126:

+\tfrac{1}{6} \sum_{i,j,h=1}^m\xi_i\xi_j\xi_h {\cal B}_{ijhk}

\;, \;\; \{k=1,\ldots,m\} </math>

con [[Forma differenziale|forme]] cubiche e quartiche definite dalle

con

::<math>

{\cal A}_{ijk}=\PhiPi'''_b \dot{v}_i \dot{v}_j \dot{v}_k \;\;\,\;\;

{\cal B}_{ijhk}=\PhiPi''''_b \dot{v}_i \dot{v}_j

\dot{v}_h\dot{v}_k- \PhiPi''_b (\ddot{w}_{ij}\ddot{w}_{hk}+

\ddot{w}_{ih}\ddot{w}_{jk}+\ddot{w}_{ik}\ddot{w}_{jh})

</math>

Riga 146 ⟶ 140:

agevole la risoluzione mediante standard strumenti di analisi.

==== L'analisi di sensibilità alla imperfesioni ====

A causa della distribuzione [[random|aleatoria]] delle imperfezioni, un'accurata analisi di sensibilità deve metter in conto un largo range di possibili imperfezioni, variabili sia come forma <math>(\tilde{p}[\lambda],\tilde{u})</math> che come entità <math>\epsilon</math>. In un approccio perturbativo alla Koiter, una valutazione sufficientemente approssimata dei percorsi di equilibrio delle strutture imperfette può essere facilmente ottenuta, e a costi computazionali limitati, ricercando la soluzione del problema di equilibrio della struttura imperfetta nella stessa varietà di biforcazione definita dalla risoluzione della struttura perfetta

:<math>

u= \lambda \hat{u} +\sum_{i=1}^m \xi_i \dot{v}_i + \tfrac{1}{2}

\sum_{i,j=1}^m \xi_i \xi_j \ddot{w}_{ij} </math>

La presenza delle imperfezioni in tale approccio semplicemente ridefinisce il legame finale <math>(\lambda,\xi_1,\ldots,\xi_m)</math>

:<math>

\epsilon

(\lambda\, \Pi_b'''\tilde{u}\hat{u}\dot{v}_k+\tilde{p}[\lambda]\dot{v}_k)+\xi_k (\lambda-\lambda_k)=

+\tfrac{1}{2} \sum_{i,j=1}^m \xi_i \xi_j {\cal A}_{ijk}

+\tfrac{1}{6} \sum_{i,j,h=1}^m\xi_i\xi_j\xi_h {\cal B}_{ijhk}

\;, \;\; \{k=1,\ldots,m\} </math>

con l'aggiunta di alcuni coefficienti scalari che unici tengono conto dell'effetto delle imperfezioni.

Comunque, mentre nel caso di biforcazione semplice l'unico modo di buckling esauriva lo spazio delle forme delle imperfezioni significative ai fini dell'analisi, nel caso di ''m'' modi multipli una completa analisi di sensibilità alle imperfezioni deve essere eseguita nel relativo spazio ''m''-dimensionale (<math>\infty^m</math> possibili imperfezioni). Si dimostra tuttavia che le distribuzioni di imperfezioni più significative per l'analisi sono quelle associate a direzioni di minimo/massimo delle forme cubiche e quartiche del problema. <ref>''teoria dei percorsi di minimo'' di Ho (1974), Koiter (1976) e Salerno (1997).</ref>

This strategy gives a synthetic description, in the bifurcation manifold, of the complex energy behavior of the structure and then of the relative mode interaction phenomena.

== Note ==

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* Elishakoff, I., 2000. Elastic stabilty: from Euler to Koiter there was none like Koiter. ''Meccanica'', vol 35, pp 375-380.

* [[Eulero|Euler, L.]], 1744. ''Methodus Inveniendi Lineas Curvas Maximi Minimive Proprietate Gaudentes (Appendix, De Curvis Elasticis)''. Marcum Michaelem Bosquet, Lausanne.

* Ho, D, 1974. Buckling load of nonlinear systems with multiple eigenvalues, ''Int. J. Solids Struct.'', vol 10, pp. 1315--1330.

* [[Warner T. Koiter|Koiter, W.T.]], 1945. ''Over de stabiliteit van het elastische evenwicht''. Dissertation, Delft, Holland (Translation: ''On the Stability of Elastic Equilibrium'', NASA TT-F-10833, 1967 and AFFDL-TR-70-25, 1970).

* Koiter, W. T., 1976. Current trend in the theory of buckling, in B. Budiansky (ed.), ''Buckling of structures'', Proc. of IUTAM Symposium, Cambridge 1974, Springer--Verlag, Berlin.

* Lanzo, A.D., Garcea, G., 1996. Koiter's analysis of thin-walled structures by a finete element approach. ''Int. J. Num. Meth. Eng.'', vol. 39 (17), pp 3007–3031.

* [[Aleksandr Michajlovič Ljapunov|Lyapunov A.M.]], 1983. ''The General Problem of the Stability of Motion'' (In Russian), Doctoral dissertation, Univ. Kharkov 1892 English translations: (1) ''Stability of Motion'', Academic Press, New-York & London, 1966 (2) ''The General Problem of the Stability of Motion'', (A.T. Fuller trans.) Taylor & Francis, London 1992. Included is a biography by Smirnov and an extensive bibliography of Lyapunov's work.

* Pignataro, M., Di Carlo, A. and Casciaro, R., 1982. On nonlinear beam model from the point of view of computational post--buckling analysis. ''Int. J. Solids Structures'', vol 18 (4), pp 327--347.

* Salerno, G., Casciaro, R., 1997. Jumping mode and attractive paths in multimode elastic buckling, ''Int. J. Num. Meth. Eng.'', vol. 40 (5), pp 833–861.

* Thompson, J.M.T., 1982. Instabilities and Catastrophes in Science and Engineering. John Wiley and Sons, Chichester, New York.

* [[Stepan Prokof'evič Timošenko|Timoshenko, S.P.]], Gere, J.M., 1961. Theory of Elastic Stability. McGraw-Hill, New York.