Utente:Cantor26/Sandbox: differenze tra le versioni
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Riga 1:
<math> G\dfrac{Mm}{R^{2}(t)} + R^{''}(t)m =0</math>
che si può scrivere nella forma :
<math>R''(t)=-\dfrac{GM}{R^2}</math>
Posto <math>R'=z</math> allora <math>R''=z'z</math> infatti :
<math>R''=\dfrac{dz}{dt}=\dfrac{dz}{dR}\dfrac{dR}{dt}=z'z</math>
Pertanto :
<math>\int zdz=-\int \dfrac{GM}{R^2} </math>
<math>\dfrac{z^2}{2}=\dfrac{GM}{R} +c</math>
con c costante arbitraria e quindi:
<math>\dfrac{dR}{dt}=z=+-\sqrt{\dfrac{2(GM+cR)}{R}} </math>
da cui :
<math>\int\left[2\left(\dfrac{GM+cR}{R}\right)\right]^{-\frac{1}{2}}dR=\int dt</math>
Utilizzando il programma wxMaxima per risolvere l'integrale si ottiene:
<math>{{G\,M\,\log \left({{\sqrt{{{c\,R+G\,M}\over{R}}}-\sqrt{c}}\over{
\sqrt{{{c\,R+G\,M}\over{R}}}+\sqrt{c}}}\right)+2\,\sqrt{c}\,R\,
\sqrt{{{c\,R+G\,M}\over{R}}}}\over{2^{{{3}\over{2}}}\,c^{{{3}\over{2
}}}}}=t-b</math>
con b costante arbitraria, oppure in altra forma :
<math>{{-\sqrt{2}\,G\,M\,\log \left(\sqrt{c\,R+G\,M}+\sqrt{c}\,\sqrt{R}
\right)+\sqrt{2}\,G\,M\,\log \left(\sqrt{c\,R+G\,M}-\sqrt{c}\,\sqrt{
R}\right)+2^{{{3}\over{2}}}\,\sqrt{c}\,\sqrt{R}\,\sqrt{c\,R+G\,M}
}\over{4\,c^{{{3}\over{2}}}}}=t-b </math>
Definita la funzione :
<math>t = \varphi(R) = {{G\,M\,\log \left({{\sqrt{{{c\,R+G\,M}\over{R}}}-\sqrt{c}}\over{
\sqrt{{{c\,R+G\,M}\over{R}}}+\sqrt{c}}}\right)+2\,\sqrt{c}\,R\,
\sqrt{{{c\,R+G\,M}\over{R}}}}\over{2^{{{3}\over{2}}}\,c^{{{3}\over{2
}}}}}+b </math>
Essendo :
<math>\varphi'(R)=\left[2\left(\dfrac{GM+cR}{R}\right)\right]^{-\frac{1}{2}}>0</math>
allora la funzione <math>\varphi(R)</math> è sempre crescente per cui esiste la sua funzione inversa R(t) che rappresenta il raggio di curvatura dell'universo in funzione del tempo e risulta simmetrica a <math>\varphi(R)</math> rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante degli assi cartesiani per cui studiando la funzione <math>\varphi(R)</math>, si ottiene:
<math>R(t)=\varphi^{-1}(t) </math>
Quindi poiché risulta :
<math>\lim_{R \to 0} \varphi(R)=b</math>
<math>\lim_{R \to +\infty } \varphi(R)=+\infty </math>
<math>\varphi''(R)={{G\,M}\over{2^{{{3}\over{2}}}\,R^2\,\left({{c\,R+G\,M}\over{R}}
\right)^{{{3}\over{2}}}}}>0</math>
La funzione <math>\varphi(R)</math> risulta sempre crescente, convessa e divergente a <math>+\infty </math> e conseguentemente la funzione R(t) risulta per la simmetria crescente,concava e divergente a <math>+\infty </math> .
Inoltre la funzione <math>\varphi(R)</math> incontra l'asse delle ascisse in un tempo <math> t_{*}=b </math> in cui il raggio è nullo . In particolare :
<math>\varphi^{-1}(0)=0 \quad \Longrightarrow \quad t_{*}=b=0 </math>
Ma per la simmetria delle 2 funzioni, anche R(t) si annulla in un tempo <math> t_{*}=b </math> per cui :
<math>R(0)=0 \quad \Longrightarrow \quad t_{*}=b=0 </math>
Ma il fatto che è esistito un tempo in cui il raggio era nullo, essendo la densità dell'universo data dal rapporto tra massa e volume dell'universo,nell'ipotesi di una 2-sfera si ha:
<math> d=\dfrac{M}{V}=\dfrac{M}{\frac{4}{3} \pi R^{3} } </math>
Pertanto :
<math> \lim_{R \to 0} d= +\infty </math>
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