Forma modulare: differenze tra le versioni
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In [[matematica]], una '''forma modulare''' è una [[funzione olomorfa]] sul [[semipiano superiore complesso]] che verifica un'[[equazione funzionale]] rispetto all'azione di particolari [[Sottogruppo|sottogruppi]] del [[Gruppo modulare Gamma|gruppo modulare]] e che soddisfa alcune condizioni di crescita.
La teoria delle forme modulari è parte dell'[[analisi complessa]] ma le sue applicazioni principali sono nell'ambito della [[teoria dei numeri]]. Le forme modulari compaiono anche in altre aree della matematica e della fisica teorica, come la [[topologia algebrica]] e la [[teoria delle stringhe]].
La teoria delle forme modulari è un caso particolare della più generale teoria delle [[forma automorfa|forme automorfe]].
== Descrizione informale ==
Le forme modulari sono oggetti matematici con infiniti gradi di [[Simmetria (matematica)|simmetria]] (rotazione, traslazione). La caratteristica principale delle forme modulari (che determina poi gli infiniti gradi di simmetria) è che esse sono espresse attraverso quattro dimensioni, le cui coordinate sono date da [[numeri complessi]]. Infatti se ad un oggetto comune (come un [[Quadrato (geometria)|quadrato]]) corrispondono due dimensioni <math>(x,y)</math>, ad una forma modulare corrispondono sì due dimensioni, ma a ciascuna di queste corrisponde un [[piano complesso]], ovvero un piano definito da un asse reale e uno immaginario; avremo quindi il piano <math>(X_r;X_i)</math> e <math>(Y_r;Y_i)</math>. Questo rende impossibile disegnare il grafico di una forma modulare.
== Forme modulari per SL<sub>2</sub>(Z) ==
Una '''forma modulare di peso''' <math>k</math> per il [[Gruppo (matematica)|gruppo]]
:<math>\text{SL}_2 ( \mathbf \mathbb{Z}) = \left \{ \left ( \begin{array}{cc}a & b \\ c & d \end{array} \right ), a, b, c, d \in \mathbb Z, ad-bc = 1 \right \}</math>
è una funzione <math>f</math> definita sul [[Semispazio di Poincaré|semipiano superiore complesso]] <math>\mathcal{H} = \{z \in \mathbb{C}, \text{Im}(z) > 0\} </math> a valori nell'insieme dei [[numeri complessi]] che soddisfa tre condizioni:
:(1) è una [[funzione olomorfa]] su <math>\mathcal{H}</math>;
:(2) per ogni <math>z</math> in <math>\mathcal{H}</math> e per ogni [[matrice]] <math>\gamma = \left ( \begin{array}{cc}a & b \\ c & d \end{array} \right )</math> in <math>\text{SL}_2 ( \mathbf \mathbb{Z})</math> vale
::<math> f\left(\frac{az+b}{cz+d}\right) = (cz+d)^k f(z)</math>
:(3) è ''olomorfa alla cuspide'', cioè <math>f</math> deve essere olomorfa per <math>z \to i\infty</math> (cioè per <math>\text{Im}(z) \to +\infty</math>). Il termine ''cuspide'' è dovuto agli aspetti geometrici della teoria.
Il peso <math>k</math> è solitamente un [[numero intero]] e l'insieme delle forme modulari di peso <math>k</math> rispetto a <math>\text{SL}_2 ( \mathbf \mathbb{Z})</math> è uno [[spazio vettoriale]] su <math>\mathbb{C}</math> e si indica con <math>\mathcal{M}_k (\text{SL}_2( \mathbf \mathbb{Z}))</math>.
La seconda condizione, detta anche condizione di ''modularità debole'', può essere riformulata. Siano
:<math>S = \left ( \begin{array}{cc}0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array} \right )</math>
:<math>T = \left ( \begin{array}{cc}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right )</math>
Poiché le matrici <math>T</math> e <math>S</math> [[Insieme di generatori|generano]] il gruppo <math>\text{SL}_2 ( \mathbf \mathbb{Z})</math>, allora la seconda condizione è equivalente alle due equazioni seguenti:
:<math>f(-1/z) = z^k f(z)\,</math>
:<math>f(z+1) = f(z)\,</math>
Dall'ultima delle due precedenti equazioni segue che le forme modulari sono [[Funzione periodica|funzioni periodiche]] di periodo 1 e ammettono quindi sviluppo in [[serie di Fourier]]. Da questo segue che per <math>k</math> dispari solo la funzione costantemente nulla soddisfa la seconda condizione.
A volte, invece di <math>\text{SL}_2 ( \mathbf \mathbb{Z})</math>, si considera il [[Gruppo modulare Gamma|gruppo modulare]], cioè <math>\text{PSL}_2 ( \mathbf \mathbb{Z})</math>, poiché così l'azione su <math>\mathcal{H}</math> è [[Azione di gruppo#Definizioni ulteriori|fedele]].
=== Sviluppo in serie di Fourier ===
Dalla condizione di periodicità delle forme modulari, segue che per ogni forma modulare <math>f</math> esiste uno sviluppo in [[serie di Fourier]]
:<math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n q^n,</math>
dove <math>q=e^{2\pi i z}</math>. I coefficienti <math>a_n</math> sono detti ''coefficienti di Fourier'' di <math>f</math> e lo sviluppo in serie è detto spesso, in questo contesto, <math>q</math>-''sviluppo in serie'' di <math>f</math>.
=== Forme cuspidali ===
Una '''forma cuspidale di peso''' <math>k</math> è una forma modulare <math>f</math> di peso <math>k</math> che alle tre precedenti condizioni aggiunge quella ulteriore di "annullarsi alla cuspide", cioè
:(4) <math>a_0=0</math>
dove <math>a_0</math> è il primo coefficiente del <math>q</math>-sviluppo di <math>f</math>. L'insieme delle forme cuspidali è un <math>\mathbb{C}</math>-sottospazio vettoriale dello spazio delle forme modulari <math>\mathcal{M}_k (\text{SL}_2( \mathbf \mathbb{Z}))</math> e si indica con <math>\mathcal{S}_k (\text{SL}_2( \mathbf \mathbb{Z}))</math>.
=== Condizioni di crescita ===
La condizione (3) della definizione di forma modulare è equivalente alla seguente condizione di crescita sui coefficienti <math>a_n</math> del <math>q</math>-sviluppo di una funzione <math>f</math> definita sul [[semipiano superiore complesso]] a valori nei [[numeri complessi]] che soddisfa le precedenti condizioni (1) e (2)
:(3') esistono due costanti positive <math>C</math> e <math>b</math> tali che <math>|a_n|<Cn^b</math> per ogni <math>n>0</math>.
Questa condizione risulta fondamentale per generalizzare il concetto di forma cuspidale al contesto delle [[forma automorfa|forme automorfe]].
=== Formule della dimensione ===
Utilizzando la teoria delle [[superficie di Riemann|superfici di Riemann]] e il [[teorema di Riemann-Roch]] è possibile calcolare la [[dimensione (spazio vettoriale)|dimensione]] degli [[spazi vettoriali]] delle forme modulari e cuspidali di peso <math>k</math>. Dato <math>k</math> intero, si ha
:<math>\dim_{\mathbb{C}}(\mathcal{S}_k (\text{SL}_2( \mathbf \mathbb{Z})))=\begin{cases}
0 & \text{se } k \text{ dispari} \text{ oppure } k<4 \\
\lfloor \frac{k}{12}\rfloor -1 & \text{se }k\geq 4 \text{ e }k\equiv 2 \mod 12 \\
\lfloor \frac{k}{12}\rfloor & \text{altrimenti},
\end{cases}</math>
:<math>\dim_{\mathbb{C}}(\mathcal{M}_k (\text{SL}_2( \mathbf \mathbb{Z})))=\begin{cases}
0 & \text{se } k \text{ dispari} \text{ oppure } k<4 \\
\dim_{\mathbb{C}}(\mathcal{S}_k (\text{SL}_2( \mathbf \mathbb{Z})))+1 & \text{altrimenti},
\end{cases}</math>
dove <math>\lfloor\cdot\rfloor</math> è la funzione [[parte intera]].
== La L-serie e il legame con le curve ellittiche ==
Ad ogni forma modulare è possibile associare una [[Funzione L#Serie L|L-serie]]. Grazie al [[teorema di Taniyama-Shimura]] dimostrato da [[Andrew Wiles]], sappiamo che ad ogni [[Funzione L#Serie L|L-serie]] di una [[curva ellittica]] corrisponde una [[Funzione L#Serie L|L-serie]] di una forma modulare.
=== Le dimostrazioni conseguenti ===
Sulla corrispondenza tra curve ellittiche e forme modulari si basa (tra le altre) anche la dimostrazione dell'[[Ultimo teorema di Fermat]], completata da Wiles nel [[1995]].
== Bibliografia ==
* {{en}} F. Diamond e J. Shurman (2005), ''A First Course in Modular Forms'', Graduate Texts in Mathematics '''228''' Springer, New York, ISBN 0-387-23229-X.
* {{en}} T. Miyake (1989), ''Modular Forms'', Springer-Verlag, Berlino Heidelberg.
* {{en}} [[Gorō Shimura]] (1971), ''Introduction To The Arithmetic Theory Of Automorphic Functions'', Iwanami Shoten and Princeton University Press.
* {{en}} R. Gunning (1962), ''Lectures on Modular Forms'', Princeton University Press: Princeton, New Jersey.
* {{en}} T. M. Apostol (1976), ''Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory'', Springer-Verlag, New York.
* [[Simon Singh|Singh, S.]] (1999), ''L'ultimo teorema di Fermat'', ''[[Biblioteca Universale Rizzoli]]'', ISBN 88-17-11291-7.
== Voci correlate ==
* [[Forma cuspidale]]
* [[Serie di Eisenstein]]
* [[Forma automorfa]]
* [[Ultimo teorema di Fermat]]
* [[Semipiano superiore complesso]]
* [[Gruppo modulare Gamma]]
* [[Sviluppo in serie di Fourier]]
{{Teoria dei numeri}}
{{Controllo di autorità}}
{{Portale|matematica}}
[[Categoria:Teoria dei numeri]]
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