Forma modulare: differenze tra le versioni

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In [[matematica]], una '''forma modulare''' è una [[funzione olomorfa]] sul [[semipiano superiore complesso]] che verifica un'[[equazione funzionale]] rispetto all'azione di particolari [[sottogruppoSottogruppo|sottogruppi]] del [[Gruppo modulare Gamma|gruppo modulare]] e che soddisfa alcune condizioni di crescita.

La teoria delle forme modulari è parte dell'[[analisi complessa]] ma le sue applicazioni principali sono nell'ambito della [[teoria dei numeri]]. Le forme modulari compaiono anche in altre aree della matematica e della fisica teorica, come la [[topologia algebrica]] e la [[teoria delle stringhe]].

La teoria delle forme modulari è un caso particolare della più generale teoria delle [[forma automorfa|forme automorfe]].

== Descrizione informale ==

Le forme modulari sono oggetti matematici con infiniti gradi di [[simmetriaSimmetria (matematica)|simmetria]] (rotazione, traslazione). La caratteristica principale delle forme modulari (che determina poi gli infiniti gradi di simmetria) è che esse sono espresse attraverso quattro dimensioni, le cui coordinate sono date da [[numeri complessi]]. Infatti se ad un oggetto comune (come un [[Quadrato (geometria)|quadrato]]) corrispondono due dimensioni <math>(''x'' & '',y'')</math>, ad una forma modulare corrispondono sì due dimensioni, ma a ciascuna di queste corrisponde un [[piano complesso]], ovvero un piano definito da un asse reale e uno immaginario; avremo quindi il piano (X<small>r</smallmath>(X_r; X<small>iX_i)</smallmath>) e (Y<small>r</smallmath>(Y_r; Y<small>iY_i)</smallmath>). Questo rende impossibile disegnare il grafico di una forma modulare.

== Forme modulari per SL₂(Z) ==

Una '''forma modulare di peso''' ''<math>k''</math> per il [[gruppoGruppo (matematica)|gruppo]]

:<math>\text{SL}_2 ( \mathbf \mathbb{Z}) = \left \{ \left ( \begin{array}{cc}a & b \\ c & d \end{array} \right ), a, b, c, d \in \mathbb Z, ad-bc = 1 \right \}</math>

è una funzione ''<math>f''</math> definita sul [[Semispazio di Poincaré|semipiano superiore complesso]] <math>\mathcal{H} = \{z \in \mathbb{C}, \text{Im}(z) > 0\} </math> a valori nell'insieme dei [[numeri complessi]] che soddisfa tre condizioni:

:(1) è una [[funzione olomorfa]] su <math>\mathcal{H}</math>;

:(2) per ogni ''<math>z''</math> in <math>\mathcal{H}</math> e per ogni [[matrice]] <math>\gamma = \left ( \begin{array}{cc}a & b \\ c & d \end{array} \right )</math> in <math>\text{SL}_2 ( \mathbf \mathbb{Z})</math> vale

::<math> f\left(\frac{az+b}{cz+d}\right) = (cz+d)^k f(z)</math>

:(3) è ''olomorfa alla cuspide'', cioè ''<math>f''</math> deve essere olomorfa per <math>z \to i\infty</math> (cioè per <math>\text{Im}(z) \to +\infty</math>). Il termine ''cuspide'' è dovuto agli aspetti geometrici della teoria.

Il peso ''<math>k''</math> è solitamente un [[numero intero]] e l'insieme delle forme modulari di peso ''<math>k''</math> rispetto a <math>\text{SL}_2 ( \mathbf \mathbb{Z})</math> è uno [[spazio vettoriale]] su <math>\mathbb{C}</math> e si indica con <math>\mathcal{M}_k (\text{SL}_2( \mathbf \mathbb{Z}))</math>.

La seconda condizione, detta anche condizione di ''modularità debole'', può essere riformulata. Siano

:<math>S = \left ( \begin{array}{cc}0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array} \right )</math>

:<math>T = \left ( \begin{array}{cc}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right )</math>

Poiché le matrici ''<math>T''</math> e ''<math>S''</math> [[Insieme di generatori|generano]] il gruppo <math>\text{SL}_2 ( \mathbf \mathbb{Z})</math>, allora la seconda condizione è equivalente alle due equazioni seguenti:

:<math>f(-1/z) = z^k f(z)\,</math>

:<math>f(z+1) = f(z)\,</math>

Dall'ultima delle due precedenti equazioni segue che le forme modulari sono [[funzioneFunzione periodica|funzioni periodiche]] di periodo 1 e ammettono quindi sviluppo in [[serie di Fourier]]. Da questo segue che per ''<math>k''</math> dispari solo la funzione costantemente nulla soddisfa la seconda condizione.

A volte, invece di <math>\text{SL}_2 ( \mathbf \mathbb{Z})</math>, si considera il [[Gruppo modulare Gamma|gruppo modulare]], cioè <math>\text{PSL}_2 ( \mathbf \mathbb{Z})</math>, poiché così l'azione su <math>\mathcal{H}</math> è [[Azione di gruppo#Definizioni ulteriori|fedele]].

=== Sviluppo in serie di Fourier ===

Dalla condizione di periodicità delle forme modulari, segue che per ogni forma modulare ''<math>f''</math> esiste uno sviluppo in [[serie di Fourier]]

:<math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n q^n,</math>

dove <math>q=e^{2\pi i z}</math>. I coefficienti <math>a_n</math> sono detti ''coefficienti di Fourier'' di ''<math>f''</math> e lo sviluppo in serie è detto spesso, in questo contesto, ''<math>q''</math>-''sviluppo in serie'' di ''<math>f''</math>.

=== Forme cuspidali ===

Una '''forma cuspidale di peso''' ''<math>k''</math> è una forma modulare ''<math>f''</math> di peso ''<math>k''</math> che alle tre precedenti condizioni aggiunge quella ulteriore di "annullarsi alla cuspide", cioè

:(4) <math>a_0=0</math>

dove <math>a_0</math> è il primo coefficiente del ''<math>q''</math>-sviluppo di ''<math>f''</math>. L'insieme delle forme cuspidali è un <math>\mathbb{C}</math>-sottospazio vettoriale dello spazio delle forme modulari <math>\mathcal{M}_k (\text{SL}_2( \mathbf \mathbb{Z}))</math> e si indica con <math>\mathcal{S}_k (\text{SL}_2( \mathbf \mathbb{Z}))</math>.

=== Condizioni di crescita ===

La condizione (3) della definizione di forma modulare è equivalente alla seguente condizione di crescita sui coefficienti <math>a_n</math> del ''<math>q''</math>-sviluppo di una funzione ''<math>f''</math> definita sul [[semipiano superiore complesso]] a valori nei [[numeri complessi]] che soddisfa le precedenti condizioni (1) e (2)

:(3') esistono due costanti positive ''<math>C''</math> e ''<math>b''</math> tali che <math>|a_n|<Cn^b</math> per ogni <math>n>0</math>.

Questa condizione risulta fondamentale per generalizzare il concetto di forma cuspidale al contesto delle [[forma automorfa|forme automorfe]].

=== Formule della dimensione ===

Utilizzando la teoria delle [[superficie di Riemann|superfici di Riemann]] e il [[teorema di Riemann-Roch]] è possibile calcolare la [[dimensione (spazio vettoriale)|dimensione]] degli [[spazi vettoriali]] delle forme modulari e cuspidali di peso ''<math>k''</math>. Dato ''<math>k''</math> intero, si ha

:<math>\dim_{\mathbb{C}}(\mathcal{S}_k (\text{SL}_2( \mathbf \mathbb{Z})))=\begin{cases}

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== La L-serie e il legame con le curve ellittiche ==

Ad ogni forma modulare è possibile associare una [[funzioneFunzione L#serieSerie L|L-serie]]. Grazie al [[teorema di Taniyama-Shimura]] dimostrato da [[Andrew Wiles]], sappiamo che ad ogni [[funzioneFunzione L#serieSerie L|L-serie]] di una [[curva ellittica]] corrisponde una [[funzioneFunzione L#serieSerie L|L-serie]] di una forma modulare.

=== Le dimostrazioni conseguenti ===

Sulla corrispondenza tra curve ellittiche e forme modulari si basa (tra le altre) anche la dimostrazione dell'[[Ultimo teorema di Fermat]], completata da Wiles nel [[1995]].

== Bibliografia ==

* {{en}} F. Diamond e J. Shurman (2005), ''A First Course in Modular Forms'', Graduate Texts in Mathematics '''228''' Springer, New York, ISBN 0-387-23229-X.

* {{en}} T. Miyake (1989), ''Modular Forms'', Springer-Verlag, Berlino Heidelberg.

* {{en}} [[GoroGorō Shimura]] (1971), ''Introduction To The Arithmetic Theory Of Automorphic Functions'', Iwanami Shoten and Princeton University Press.

* {{en}} R. Gunning (1962), ''Lectures on Modular Forms'', Princeton University Press: Princeton, New Jersey.

* {{en}} T. M. Apostol (1976), ''Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory'', Springer-Verlag, New York.

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* [[Semipiano superiore complesso]]

* [[Gruppo modulare Gamma]]

* [[Serie di Fourier|Sviluppo in serie di Fourier]]

{{Teoria dei numeri}}

{{Controllo di autorità}}

{{Portale|matematica}}

[[Categoria:teoriaTeoria dei numeri]]