Forma modulare: differenze tra le versioni

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La teoria delle forme modulari è parte dell'[[analisi complessa]] ma le sue applicazioni principali sono nell'ambito della [[teoria dei numeri]]. Le forme modulari compaiono anche in altre aree della matematica e della fisica teorica, come la [[topologia algebrica]] e la [[teoria delle stringhe]].

La teoria delle forme modulari è un caso particolare della più generale teoria delle [[forma automorfa|forme automorfe]].

== Descrizione informale ==

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Una '''forma modulare di peso''' <math>k</math> per il [[Gruppo (matematica)|gruppo]]

:<math>\text{SL}_2 ( \mathbf \mathbb{Z}) = \left \{ \left ( \begin{array}{cc}a & b \\ c & d \end{array} \right ), a, b, c, d \in \mathbb Z, ad-bc = 1 \right \}</math>

è una funzione <math>f</math> definita sul [[Semispazio di Poincaré|semipiano superiore complesso]] <math>\mathcal{H} = \{z \in \mathbb{C}, \text{Im}(z) > 0\} </math> a valori nell'insieme dei [[numeri complessi]] che soddisfa tre condizioni:

:(1) è una [[funzione olomorfa]] su <math>\mathcal{H}</math>;

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La condizione (3) della definizione di forma modulare è equivalente alla seguente condizione di crescita sui coefficienti <math>a_n</math> del <math>q</math>-sviluppo di una funzione <math>f</math> definita sul [[semipiano superiore complesso]] a valori nei [[numeri complessi]] che soddisfa le precedenti condizioni (1) e (2)

:(3') esistono due costanti positive <math>C</math> e <math>b</math> tali che <math>|a_n|<Cn^b</math> per ogni <math>n>0</math>.

Questa condizione risulta fondamentale per generalizzare il concetto di forma cuspidale al contesto delle [[forma automorfa|forme automorfe]].

=== Formule della dimensione ===

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* {{en}} F. Diamond e J. Shurman (2005), ''A First Course in Modular Forms'', Graduate Texts in Mathematics '''228''' Springer, New York, ISBN 0-387-23229-X.

* {{en}} T. Miyake (1989), ''Modular Forms'', Springer-Verlag, Berlino Heidelberg.

* {{en}} [[GoroGorō Shimura]] (1971), ''Introduction To The Arithmetic Theory Of Automorphic Functions'', Iwanami Shoten and Princeton University Press.

* {{en}} R. Gunning (1962), ''Lectures on Modular Forms'', Princeton University Press: Princeton, New Jersey.

* {{en}} T. M. Apostol (1976), ''Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory'', Springer-Verlag, New York.

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* [[Gruppo modulare Gamma]]

* [[Sviluppo in serie di Fourier]]

{{Teoria dei numeri}}

{{Controllo di autorità}}

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