Funzione integrabile: differenze tra le versioni

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InNel [[matematicacalcolo infinitesimale]], una [['''funzione (matematica)|funzione]]integrabile''' si diceo '''integrabilefunzione sommabile''' serispetto ilad suoun dato operatore [[integrale]] esiste.è Datauna la[[funzione non(matematica)|funzione]] univocitàil delcui concettointegrale diesiste integrale,ed taleil definizionesuo nonvalore è difinito. perI sédue autonoma,integrali inpiù quantousati sisono devel'[[integrale specificaredi qualeRiemann]] e l''tipo''[[integrale di Lebesgue]], e la definizione dipende da quale operatore integrale essasi possiedautilizza. Generalmente, dataData la maggior diffusione die questogeneralità dell'[[integrale di Lebesgue]] rispetto agli altri, tuttavia, per funzione integrabile si intende solitamente integrabile "allasecondo [[Henri Lebesgue|Lebesgue]]. Nella maggior parte dei casi i termini "integrabile" e "sommabile" sono sinonimi, ma può capitare che uno dei due sia usato per il caso più generale di funzioni il cui integrale esiste e può essere infinito.

==Integrale di Lebesgue==

Si usa a volte anche la dizione '''funzione sommabile'''; in questo caso l'aggettivo "integrabile" viene rivolto a [[funzione misurabile|funzioni misurabili]] (secondo Lebesgue) e non negative [[quasi ovunque]] il cui integrale esiste ed è finito.

{{vedi anche|Integrale di Lebesgue|Integrale di Riemann}}

Dato uno [[spazio di misura]] <math>(X,\mathcal A,\mu)</math>, una [[funzione semplice]] <math>s</math> è una [[combinazione lineare]] finita di [[funzione indicatrice|funzioni indicatrici]] di [[insieme misurabile|insiemi misurabili]].<ref name=def>{{Cita|W. Rudin|Pag. 15|rudin}}.</ref>

:<math>s:X \to \int_XR, s(x)d\mu:=\sum_{k=1}^n a_k {\mu(mathbf 1}_{A_k}(x)</math>.

==Definizione rigorosa==

{{vedi anche|Integrale di Lebesgue|Integrale di Riemann}}

Riportiamo per comodità le definizioni dei due integrali più usati:

si definisce l'integrale di Lebesgue come:

{{matematica voce|Definizione|Integrale di Riemann|

Una funzione <math>f:[a,b]\to \R</math> [[funzione limitata|limitata]] si dice '''integrabile alla Riemann''' se vale la seguente condizione

:<math>\sup_Pint_X s(Px) d\mu:= \inf_Psum_{k=1}^n S(P)a_k =:\int_a^b fmu(xA_k)dx</math>,

dove <math>P=\{x_1,...,x_n\}</math> è una arbitraria [[partizione di un intervallo|partizione]] dell'[[intervallo (matematica)|intervallo]] <math>[a,b]</math> e

*Una funzione <math>f:X\to \R</math> non negativa si dice '''integrabile allasecondo Lebesgue''' se esiste finito l'[[estremo superiore]]:<ref name=int>{{Cita|W. Rudin|Pag. 19|rudin}}.</ref>

:<math>s(P)= \sum_{k=1}^n m_k (x_k-x_{k-1}), \quad m_k=\min_{t\in[x_{k-1},x_k]}f(t)</math>

:<math>S(P) = \sum_{k=1}^n M_k (x_k-x_{k-1}), \quad M_k=\max_{t\in[x_{k-1},x_k]}f(t)</math>

:<math>\sup_s \int_X s(x)d\mu =:\int_X f(x)d\mu \ </math>,

}}

dove <math>s</math> è una arbitraria funzione semplice tale che <math>s \le f</math>. L'insieme delle funzioni che soddisfano tale definizione è detto insieme delle funzioni integrabili su ''X'' secondo Lebesgue rispetto alla misura <math>\mu</math>, o anche insieme delle funzioni sommabili, ed è denotato con <math>L^1(\mu)</math>.

*UnaIn funzionegenerale, una qualsiasi funzione si dice integrabile se lo sono le funzioni non negative:

{{matematica voce|Definizione|Integrale di Lebesgue|

*Dato uno [[spazio di misura]] <math>(X,\mathcal A,\mu)</math>, per una [[funzione semplice]] <math>s:X \to \R, s(x)=\sum_{k=1}^n a_k {\mathbf 1}_{A_k}(x)</math> si definisce l'integrale di Lebesgue come

:<math>\int_X s(x)d\mu:=\sum_{k=1}^n a_k \mu(A_k)</math>.

*Una funzione <math>f:X\to \R</math> non negativa si dice '''integrabile alla Lebesgue''' se esiste finito l'[[estremo superiore]]

:<math>\sup_s \int_X s(x)d\mu =:\int_X f(x)d\mu </math>,

dove <math>s</math> è una arbitraria funzione semplice tale che <math>s \le f</math> puntualmente in <math>X</math>.

*Una funzione qualsiasi si dice integrabile se lo sono le funzioni non negative

:<math> f^+(x) = \left\{\begin{matrix} f(x) & \mbox{se} \quad f(x) \geq 0 \\ 0 & \mbox{altrimenti} \end{matrix}\right. </math>

:<math> f^-(x) = \left\{\begin{matrix} -f(x) & \mbox{se} \quad f(x) < 0 \\ 0 & \mbox{altrimenti} \end{matrix}\right. </math>,

"parte positiva" e "parte negativa" di <math>f</math>. Si definisce in tal caso

che sono rispettivamente la [[parte positiva e parte negativa di una funzione|parte positiva e parte negativa]] di <math>f</math>.

:<math>\int_X f(x)d\mu :=\int_X f^+(x)d\mu - \int_X f^-(x)d\mu \,</math>.}}

Si definisce in tal caso:<ref>{{Cita|W. Rudin|Pag. 24|rudin}}.</ref>

:<math>\int_X f(x)d\mu :=\int_X f^+(x)d\mu - \int_X f^-(x)d\mu \,</math>.}}

==Integrale di Riemann==

{{matematicavedi voce|Definizioneanche|Integrale di Riemann|}}

Una funzione <math>f:[a,b]\to \R</math> [[funzione limitata|limitata]] si dice '''integrabile allasecondo Riemann''' se valeesiste lafinito seguenteil condizionelimite:

:<math>\lim_{\delta \to 0} S(f,P,\{t_i\})=:\int_a^b f(x)dx</math>

dove <math>P=\{x_1,...,x_n\}</math> è una arbitraria [[partizione di un intervallo|partizione]] dell'[[intervallo (matematica)|intervallo]] <math>[a,b]</math> con ''calibro'' minore di <math>\delta</math> (il calibro di una partizione è la massima ampiezza tra i sottointervalli della partizione data), <math>t_i \in [x_{i-1},x_i]</math> e:

:<math>S(f,P,\{t_i\})=\sum_{i=1}^n f(t_i)(x_i-x_{i-1})</math>

Il limite deve essere inteso nel seguente modo. Per ogni <math>\varepsilon > 0</math> esiste un <math>\delta > 0</math> tale che per ogni partizione di <math>[a,b]</math> con calibro minore di <math>\delta</math> e per ogni scelta dei relativi punti <math>t_i</math> vale:

:<math>\left|\int_a^b f(x)dx - S(f,P,\{t_i\})\right| < \varepsilon</math>

==Altri operatori di integrazione==

Tra gli altri tipi di operatori integrali vi sono:

==Altri tipi di integrali==

*[[Integrale di Riemann-Stieltjes]]

*[[Integrale di Lebesgue-Stieltjes]]

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*[[Integrale di Itō]]

*[[Integrale di Henstock-Kurzweil]]

==Note==

<references/>

== Bibliografia ==

* {{cita libro | cognome= Rudin| nome= Walter | titolo= Real and Complex Analysis | editore= McGraw-Hill | città= Mladinska Knjiga| anno= 1970| isbn= 0-07-054234-1|cid =rudin| lingua= en}}

==Voci correlate==

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*[[Spazio Lp]]

{{portale|matematica}}

{{Analisi matematica}}

{{portale|matematica}}

[[Categoria:Calcolo integrale]]

[[en:Integrable function]]

[[pl:Funkcja całkowalna]]