Funzione integrabile: differenze tra le versioni

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Nel [[calcolo infinitesimale]], una '''funzione integrabile''' o '''funzione sommabile''' rispetto ad un dato operatore [[integrale]] è una [[funzione (matematica)|funzione]] il cui integrale esiste ed il suo valore è finito. I due integrali più usati sono l'[[integrale di Riemann]] e l'[[integrale di Lebesgue]], e la definizione dipende da quale operatore integrale si utilizza. Data la maggior diffusione e generalità dell'[[integrale di Lebesgue]] rispetto agli altri, tuttavia, per funzione integrabile si intende solitamente integrabile secondo [[Henri Lebesgue|Lebesgue]]. Nella maggior parte dei casi i termini "integrabile" e "sommabile" sono sinonimi, ma può capitare che uno dei due sia usato per il caso più generale di funzioni il cui integrale esiste e può essere infinito.

{{F|matematica|aprile 2011}}

In [[matematica]], una '''funzione integrabile''' o '''funzione sommabile''' rispetto ad un dato operatore [[integrale]] è una [[funzione (matematica)|funzione]] il cui integrale esiste ed il suo valore è finito.

===Integrale di Lebesgue===

La definizione dipende quindi da quale operatore integrale si utilizza; tuttavia, data la maggior diffusione e generalità dell'[[integrale di Lebesgue]] rispetto agli altri, per funzione integrabile si intende integrabile secondo [[Henri Lebesgue|Lebesgue]].

Nella maggior parte dei casi i termini "integrabile" e "sommabile" sono sinomini, ma può capitare che uno dei due sia usato per il caso più generale di funzioni il cui integrale esiste e può essere infinito.

==Definizione rigorosa==

Nel seguito si espongono le definizioni dei due integrali più usati, l'[[integrale di Riemann]] e l'[[integrale di Lebesgue]].

===Integrale di Riemann===

{{vedi anche|Integrale di Riemann}}

Una funzione <math>f:[a,b]\to \R</math> [[funzione limitata|limitata]] si dice integrabile secondo Riemann se esiste finito il limite:

:<math>\lim_{\delta \to 0} S(f,P,\{t_i\})=:\int_a^b f(x)dx</math>

dove <math>P=\{x_1...,x_n\}</math> è una arbitraria [[partizione di un intervallo|partizione]] dell'[[intervallo (matematica)|intervallo]] <math>[a,b]</math> con ''mesh'' minore di <math>\delta</math>, <math>t_i \in [x_{i-1},x_i]</math> e:

:<math>S(f,P,\{t_i\})=\sum_{i=1}^n f(t_i)(x_i-x_{i-1})</math>

Il limite deve essere inteso nel seguente modo. Per ogni <math>\epsilon > 0</math> esiste un <math>\delta > 0</math> tale che per ogni partizione di <math>[a,b]</math> con mesh minore di <math>\delta</math> e per ogni scelta dei relativi punti <math>t_i</math> vale:

:<math>\left|\int_a^b f(x)dx - S(f,P,\{t_i\})\right| < \varepsilon</math>

===Integrale di Lebesgue===

{{vedi anche|Integrale di Lebesgue}}

Dato uno [[spazio di misura]] <math>(X,\mathcal A,\mu)</math>, per una [[funzione semplice]]: <math>s</math> è una [[combinazione lineare]] finita di [[funzione indicatrice|funzioni indicatrici]] di [[insieme misurabile|insiemi misurabili]].<ref name=def>{{Cita|W. Rudin|Pag. 15|rudin}}.</ref>

:<math>s:X \to \R, s(x)=\sum_{k=1}^n a_k {\mathbf 1}_{A_k}(x)</math>

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:<math>\int_X s(x)d\mu:=\sum_{k=1}^n a_k \mu(A_k)</math>

Una funzione <math>f:X\to \R</math> non negativa si dice integrabile secondo Lebesgue se esiste finito l'[[estremo superiore]]:<ref name=int>{{Cita|W. Rudin|Pag. 19|rudin}}.</ref>

:<math>\sup_s \int_X s(x)d\mu =:\int_X f(x)d\mu \ </math>

dove <math>s</math> è una arbitraria funzione semplice tale che <math>s \le f</math>. L'insieme delle funzioni che soddisfano tale definizione è detto insieme delle funzioni integrabili su ''X'' secondo Lebesgue rispetto alla misura <math>\mu</math>, o anche insieme delle funzioni sommabili, ed è denotato con <math>L^1(\mu)</math>.

In generale, una qualsiasi funzione si dice integrabile se lo sono le funzioni non negative:

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che sono rispettivamente la [[parte positiva e parte negativa di una funzione|parte positiva e parte negativa]] di <math>f</math>.

Si definisce in tal caso:<ref>{{Cita|W. Rudin|Pag. 24|rudin}}.</ref>

:<math>\int_X f(x)d\mu :=\int_X f^+(x)d\mu - \int_X f^-(x)d\mu \,</math>.

===Integrale di Riemann===

{{vedi anche|Integrale di Riemann}}

Una funzione <math>f:[a,b]\to \R</math> [[funzione limitata|limitata]] si dice integrabile secondo Riemann se esiste finito il limite:

:<math>\lim_{\delta \to 0} S(f,P,\{t_i\})=:\int_a^b f(x)dx</math>

dove <math>P=\{x_1...,x_n\}</math> è una arbitraria [[partizione di un intervallo|partizione]] dell'[[intervallo (matematica)|intervallo]] <math>[a,b]</math> con ''meshcalibro'' minore di <math>\delta</math> (il calibro di una partizione è la massima ampiezza tra i sottointervalli della partizione data), <math>t_i \in [x_{i-1},x_i]</math> e:

:<math>S(f,P,\{t_i\})=\sum_{i=1}^n f(t_i)(x_i-x_{i-1})</math>

Il limite deve essere inteso nel seguente modo. Per ogni <math>\epsilonvarepsilon > 0</math> esiste un <math>\delta > 0</math> tale che per ogni partizione di <math>[a,b]</math> con meshcalibro minore di <math>\delta</math> e per ogni scelta dei relativi punti <math>t_i</math> vale:

:<math>\left|\int_a^b f(x)dx - S(f,P,\{t_i\})\right| < \varepsilon</math>

==Altri operatori di integrazione==

Tra gli altri tipi di operatori integrali vi sono:

==Altri tipi di integrali==

*[[Integrale di Riemann-Stieltjes]]

*[[Integrale di Lebesgue-Stieltjes]]

Riga 59 ⟶ 52:

*[[Integrale di Itō]]

*[[Integrale di Henstock-Kurzweil]]

==Note==

<references/>

== Bibliografia ==

* {{cita libro | cognome= Rudin| nome= Walter | titolo= Real and Complex Analysis | editore= McGraw-Hill | città= Mladinska Knjiga| anno= 1970| isbn= 0-07-054234-1|cid =rudin| lingua= en}}

==Voci correlate==

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[[Categoria:Calcolo integrale]]

[[en:Integrable function]]

[[pl:Funkcja całkowalna]]