Varietà stabile: differenze tra le versioni

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In [[matematica]], ed in particolare nello studio dei [[sistema dinamico|sistemi dinamici]], una '''varietà stabile''' di un [[punto di equilibrio]] di un sistema dinamico è l'insieme dei punti chenello si[[spazio muovonodelle versofasi]] illa cui [[Orbita (matematica)|orbita]] si avvicina al punto di equilibrio nell'avanzare del tempo. NelloSi specifico,tratta datodi un oggetto fondamentale per studiare la [[stabilità interna]] di un sistema dinamico:, ed in particolare nel descrivere gli [[attrattore|attrattori]].

== Descrizione ==

:<math>\dot x =v(x) \qquad x \in M</math>

Dato un sistema dinamico:

definito da un [[campo vettoriale]] <math>v</math> su una [[Varietà (geometria)|varietà]] <math>M</math>, l'immagine ([[Orbita (matematica)|orbita]]) del [[Flusso (matematica)|flusso]] <math>\phi_t(x)=x(t,x_0)</math> è la traiettoria compiuta dal sistema a partire dal punto iniziale <math>x_0</math>. Sia <math>p</math> un punto di equilibrio:

:<math>v\dot x =f(px)=0 \qquad x \in M</math>

definito da un [[campo vettoriale]] <math>vf</math> su una [[Varietà (geometria)|varietà]] <math>M</math>, per esempio <math>\R^n</math>, l'immagine ([[Orbita (matematica)|orbita]]) del [[Flusso (matematica)|flusso]] <math>\phi_t(xx_0)=x(t,x_0)</math> è la traiettoria compiuta dal sistema a partire dal punto iniziale <math>x_0</math>. Sia <math>p</math> un punto di equilibrio:

:<math>f(p)=0</math>

Esso è un [[punto fisso]] del flusso:

:<math>\phiphi_t(p)=p</math>

ovvero una soluzione stazionaria (invariante nel tempo) dell'equazione differenziale. L'[[insieme limite]]:

:<math>V_p=\{ x \in M : \lim_{xt \to +\infty} \phiphi_t (x)=p \} </math>

è detto varietà stabile del sistema dinamico.

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Analogamente, l'insieme:

:<math>V'_p=\{ x \in M : \lim_{xt \to -\infty} \phiphi_t (x)=p \} </math>

è detto '''varietà instabile''' e può essere visto come l'insieme dei punti che si allontanano dal punto di equilibrio.

==Bibliografia==

* {{en}}Ralph Abraham and Jerrold E. Marsden, ''Foundations of Mechanics'', (1978) Benjamin/Cummings Publishing, Reading Mass. ISBN 0-8053-0102-X

* {{en}} S. S. Sritharan, "Invariant Manifold Theory for Hydrodynamic Transition", (1990), John Wiley & Sons, NY, ISBN 0-582-06781-2

ISBN 978-0-582-06781-3

==Voci correlate==

* [[Attrattore]]

* [[Flusso (matematica)]]

* [[PuntoInsieme di equilibriolimite]]

* [[Orbita (matematica)]]

* [[Punto di equilibrio]]

* [[Punto fisso]]

* [[SistemaStabilità dinamicointerna]]

* [[Varietà centrale]]

* [[Varietà invariante]]

==Collegamenti esterni==

* [{{cita web|http://www.treccani.it/enciclopedia/varieta-stabile_(Enciclopedia_della_Scienza_e_della_Tecnica)/ |Treccani - Varietà stabile (Luca Tomassini)]}}

{{Portale|matematica}}