Gas ideale monoatomico: differenze tra le versioni

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{{F|fisica|maggio 2011}}

Le proprietà termodinamiche di un gas perfetto composto da particelle identiche, come la sua [[equazione di stato]] oppure il suo calore specifico, possono essere facilmente calcolate con i metodi della [[meccanica statistica]]; il [[gas perfetto]] è il sistema statistico più facile da modellizzare per la forma particolarmente semplice della sua [[meccanica hamiltoniana|Hamiltoniana]], scomponibile nella somma delle hamiltoniane di singola particella composte unicamente dal termine dell'[[energia cinetica]]. Gas "perfetto" sta infatti a significare che le singole particelle non interagiscono tra loro.<ref>{{cita libro|autore=Nicola Manini|titolo=Introduction to the Physics of Matter|editore=[[Springer (azienda)|Springer]]|anno=2014|ISBN=978-3-319-14381-1|lingua=en}} p.123</ref>

Le proprietà all'equilibrio del gas non variano a seconda che si lavori con l'[[insieme microcanonico]] piuttosto che col [[insieme canonico|canonico]] o col [[insieme gran canonico|gran canonico]].

== Gas ideale classico con il microcanonico ==

ConsideriamoSi consideri un gas ideale di particelle indistinguibili in un volume <math>V</math>. L'hamiltoniana del sistema è:<ref>{{cita libro|autore=Nicola Manini|titolo=Introduction to the Physics of Matter|editore=Springer|anno=2014|ISBN=978-3-319-14381-1|lingua=en}} p.109</ref>

:<math>H(q_i, p_i) = \sum_{i=1}^{N} \frac{\mathbf p^2}{2m} = \sum_{i=1}^{3N} \frac{p_{i}^{2}}{2m} =H(p_i)</math>

CalcoliamoSi calcoli ora <math>\Sigma(E)</math> tenendo conto chedel lcosiddetto ''hamiltonianaconteggio noncorretto dipendedegli dallestati'' coordinate,introducendo maun solofattore dagli impulsi<math>N!</math>:

:<math>\sigmaSigma(E) = \frac{1}{N!} \int_{H \le E} \frac{d^{3N}q d^{3N} p}{h^{3N}} = \left( \frac{V}{h^{3}} \right)^N \int_{H (p_i) \le E} d^{3N} p</math>

L'integrale è esteso all'[[Ipersfera#Ipervolume e ipersuperficie|ipervolume]] definito dalla relazione:

L'integrale è il volume di una sfera N-dimensionale di raggio <math>\sqrt{2mE}</math> cioè i punti dello spazio dei momenti sono interni a questa sfera. Il calcolo di questo integrale è standard, grazie all'uso dell'integrale gaussiano e della funzione <math>\Gamma</math> di Eulero:

:<math>\SigmaH(Ep_i) = \fracsum_{\pii=1}^{3N/2}}{N \frac{3Np^2_i}{22m} \Gamma(3N/2)}le R^{3N/2} V^NE</math>

cioè:

dove <math>R = \sqrt{2 m E}</math>. Quindi

:<math>\sum_{i=1}^{N}p^2_i \le 2mE</math>

:<math>\omega(E, V, N) = \frac{\partial \Sigma}{\partial E} = V^N \frac{\pi^{3N/2}}{\Gamma(3N/2)} (2 m)^{3N/2} E^{3N/2 - 1}

</math>

L'integraleQuesta èrelazione il volume didefinisce una sfera[[ipersfera]] <math>N</math>-dimensionale di raggio <math>R=\sqrt{2mE}</math> cioè i punti dello spazio dei momenti sono interni a questa sfera. Il calcolo di questo integrale è standard, grazie all'uso dell'[[gaussiana|integrale gaussiano]] e della [[funzione <math>\Gamma</math>gamma di Eulero]]:

L'entropia è:

:<math>S\Sigma(E,V,N) = k \ln \left[frac{V^N}{h^{3N} N!} \cdot \frac{ \pi^{\frac{3N/2}}{\Gamma(3N/2)}} (2m)R^{3N/2} E^} { \Gamma(\frac{3N/}{2 - }+1) } \right]</math>

LQuindi l'[[entropia]] è:

Qui bisogna introdurre una costante che renda adimensionale l'argomento del logaritmo, questa costante ha le dimensioni di un volume dello spazio delle fasi, che è scelta in base ad argomenti quantistici essere <math>h^{3N}</math>. Usando Stirling e il fatto che <math>E^{3N/2 - 1} \approx E^{3N/2}</math> allora:

:<math>S(E,V,N) = N k \left[ln \frac{3}{2}Sigma= +k \ln \left[\frac{V^N}{h^2{3N}N!} \left(cdot \frac{4 \pi m E}^{\frac{3N} \right)^{3/2}} R^{3N}}{\right]Gamma(\frac{3N}{2}+1)} \right]</math>

:<math>S(E,V,N)= k \ln \left[\frac{V^N}{h^{3N}N!} \cdot \frac{ \pi^{\frac{3N}{2}} (2 m E)^{\frac{3N}{2}} }{ \Gamma(\frac{3N}{2}+1)} \right]</math>

Le altre proprietà termodinamiche derivano da questa:

Usando l'[[approssimazione di Stirling]] sia per il [[fattoriale]] che per la Gamma di Eulero si ottiene per l'entropia:

:<math>\left(\frac{\partial S}{\partial E} \right)_{V,N} = \frac{1}{T} = \frac{3}{2} \frac{N k}{E}</math>

:<math>S(E,V,N)=Nk \ln \left([ \frac{\partialV}{N} S\frac{e}{h^3} \partialleft( V\frac{E}{N} \right)_^{E,N\frac{3}{2}} = \left(\frac{p4}{V3} =\pi m e \right)^{\frac{N k3}{V2}} \right]</math>

Le altre proprietà termodinamiche derivano da questa:<ref>{{cita libro|autore=Nicola Manini|titolo=Introduction to the Physics of Matter|editore=Springer|anno=2014|ISBN=978-3-319-14381-1|lingua=en}} p.113</ref>

:<math>\frac{1}{T}=\left(\frac{\partial S}{\partial E} \right)_{V,N} = \frac{13}{T2} = \frac{3N k}{2E} \Rightarrow E=\frac{N k3}{E2}NkT</math>

:<math>\frac{P}{T}=\left(\frac{\partial S}{\partial V} \right)_{E,N} = \frac{N k}{V} \Rightarrow PV=NkT</math>

Da notare che senza introdurre il fattore <math>N!</math> si sarebbe ottenuta un'entropia non additiva (anche se l'equazione di stato e l'energia sarebbero state corrette): l'introduzione del fattore <math>N!</math> è giustificato quantisticamente dal calcolo delle distribuzioni di [[Statistica di Bose-Einstein|Bose-Einstein]] e [[Statistica di Fermi-Dirac|Fermi-Dirac]]: entrambe tendono, nel regime classico, alla [[distribuzione di Boltzmann]], che fa uso dell' <math>N</math> fattoriale.

== Gas ideale con il canonico ==

VediamoSi analizzerà ora che il calcolo delle proprietà del gas ideale è facilitattofacilitato con il canonico. Usando la stessa hamiltoniana, calcoliamosi calcola la [[Funzione di partizione (meccanica statistica)|funzione di partizione]] canonica (inserendo il fattore di correzioncorrezione di Gibbs):

:<math>Z (T,V,N) = \frac{1}{N! h^{3N}} \int d^{3N}q d^{3N}p e^{-\beta H} = \frac{V^N}{N! h^{3N}} \prod_{i = 1}^{3N} \int_{-\infty}^{\infty} dp_i e^{-\beta p_{i}^{2} / 2m}</math>

FacciamoSi opera la sostituzione <math>x = \sqrt{\beta/2m} p_i</math> e vediamo che l'integrale si riduce ad un integrale gaussiano:

:<math>\int_{-\infty}^{\infty} dx e^{-x^2} = \sqrt{\pi}</math>

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:<math>Z (T,V,N) = \frac{V^N}{N! h^{3N}} \left(\frac{2 m \pi}{\beta} \right)^{3N/2} = \frac{V^N}{N!} \left(\frac{2 \pi m k T}{h^2} \right)^{3N/2}</math>

RicaviamoSi ricava ora l'[[energia libera di Helmholtz]]:

:<math>F =- k T \ln Z (T,V,N) = - N k T \left[1 + \ln \left(\frac{V}{N} \left[\frac{2 \pi m k T}{h^2} \right]^{3/2} \right) \right]</math>

Riga 57 ⟶ 69:

:<math>\mu = \left(\frac{\partial F}{\partial N} \right)_{T,V} = -kT \ln \left[\frac{V}{N} \left(\frac{2 \pi m k T}{h^2} \right)^{3/2} \right]</math>

==Note==

<references/>

== Bibliografia ==

* {{cita libro|autore=Nicola Manini|titolo=Introduction to the Physics of Matter|editore=[[Springer (azienda)|Springer]]|anno=2014|ISBN=978-3-319-14381-1|lingua=en}}

== Voci correlate ==

:* [[Insieme microcanonico]]

:* [[Insieme canonico]]

:* [[Insieme gran canonico]]

{{Portale|meccanica}}

[[Categoria:Meccanica statistica]]

:[[Insieme microcanonico]]

:[[Insieme canonico]]

:[[Insieme gran canonico]]