Insieme statistico: differenze tra le versioni

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Un '''insieme statistico''', detto anche '''insieme rappresentativo''' o '''ensemble (statistico)''', è un'astrazione utile per rappresentare matematicamente un [[Sistema termodinamico|sistema fisico]] in cui non si ha una conoscenza precisa delle condizioni iniziali.

Immaginiamo allora un numero grandissimo di copie, o repliche, del sistema considerato, in corrispondenza con ogni possibile [[stato microscopico]] compatibile con un dato [[stato macroscopico]]: ognuna di esse può coincidere, ad un dato istante, con il sistema fisico in oggetto. Questo insieme di copie viene detto ''insieme statistico'' relativo al sistema fisico considerato. Ciò che vogliamo studiare è un solo sistema fisico ma non conosciamo quale punto nello [[spazio delle fasi]] al tempo <math>t</math> lo rappresenti ('''punto rappresentativo''') e siamo costretti a prendere in considerazione tutti i punti rappresentativi compatibili con lo stato macroscopico nella loro totalità. La densità delle copie nello spazio delle fasi è proporzionale alla probabilità che un sistema preparato nelle condizioni (macroscopiche) date si trovi in un intorno del punto dello spazio delle fasi considerato.

Il concetto di insieme statistico è stato introdotto da [[Ludwig Boltzmann|L. Boltzmann]] (1884) e sviluppato da [[Willard Gibbs|J. W. Gibbs]] (1902).

Esempi tipici di insiemi statistici sono: l'[[insieme microcanonico]], l'[[insieme canonico]] e l'[[insieme gran canonico]]. Quando il numero di repliche tende a infinito si dice di aver raggiunto il [[limite termodinamico]] e il comportamento macroscopico del sistema sovrasta le fluttuazioni a livello microscopico.

In pratica, il concetto di insieme è una maniera di rappresentare la [[distribuzione di probabilità]] di un sistema meccanico nello spazio delle fasi. Indichiamo con <math>z = ((\vec{p}_1,\vec{r}_1),\ldots,(\vec{p}_N,\vec{r}_N))</math> il generico punto dello spazio delle fasi di un sistema di <math>N</math> particelle, dove <math>\vec{p}_i</math> e <math>\vec{r}_i</math> sono rispettivamente la quantità di moto e il vettore posizione della particella <math>i</math> per <math>i\in\{1,2,\ldots,N\}</math>. Allora il numero <math>d\mathcal{N}</math> di elementi dell'insieme che si trovano all'istante <math>t</math> in una regione di volume <math>dz</math> attorno al punto <math>z</math> è dato da <math>d\mathcal{N} \propto \rho(z,t)\,dz</math>, dove <math>\rho(z,t)</math> è la densità di probabilità all'istante <math>t</math> valutata in <math>z</math>. Per il [[Teorema di Liouville (meccanica hamiltoniana)|teorema di Liouville]], data una qualunque regione <math>\Omega_0</math> dello spazio delle fasi all'istante <math>t=t_0</math>, se denotiamo con <math>\Omega_t</math> la sua evoluta all'istante <math>t</math>, cioè la regione formata dalle immagini di tutti i punti di <math>\Omega_0</math> sotto l'evoluzione del sistema dal tempo <math>t_0</math> al tempo <math>t</math>, si ha che il volume di <math>\Omega_t</math> è pari al volume di <math>\Omega_0</math>. Questo implica che la dinamica propria del sistema fa sì che il "fluido" costituito dai punti rappresentativi dell'insieme sia incompressibile. La stessa conclusione viene espressa in termini della distribuzione di probabilità <math>\rho(z,t)</math> dall'equazione

<math>\frac{d\rho}{dt}=\sum_i\left[\frac{d\vec{p}_i}{dt}\cdot\frac{\partial\rho}{\partial \vec{p}_i}+\frac{d\vec{r}_i}{dt}\cdot\frac{\partial\rho}{\partial \vec{r}_i}\right]+\frac{\partial\rho}{\partial t}=0.</math>

Una conseguenza di questa equazione è che se <math>\rho(z)</math> dipende da <math>z</math> solo tramite delle [[Costante del moto|costanti del moto]] (come l'[[energia]]), essa rimane invariante per l'evoluzione del sistema.

Esempi tipici di insiemi statistici sono: l'[[insieme microcanonico]], l'[[insieme canonico]] e l'[[insieme gran canonico]]., Quandoche ilrappresentano numerola di repliche tende a infinito si dicedistribuzione di averun raggiuntosistema ilmeccanico all'[[limiteequilibrio termodinamico]] esotto ildiverse comportamentocondizioni, macroscopicodiverse deldal sistemapunto sovrastadi levista fluttuazionimeccanico, ama livelloindistinguibili microscopicotermodinamicamente per sistemi abbastanza grandi.

== Bibliografia ==

* Boltzmann, L. (1884). "Uber die eigenshaften monozyklischer und anderer damit verwändter Systeme." in ''Wissenshafltliche Abhandlungen'', ed. F.P. Hasenhörl, vol. III, Chelsea, New York, 1968, (reprint).

* Gibbs, J. W. (1902). ''Elementary principles in statistical mechanics''. New York: Scribner.

== Voci correlate ==

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*[[Insieme gran canonico]]

*[[Funzione di partizione]]

== Altri progetti ==

{{interprogetto}}

==Collegamenti esterni==

*{{cita web|url=http://www.treccani.it/enciclopedia/insieme/|titolo=Insieme (in Fisica)}}

{{Meccanica statistica}}

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[[Categoria:Meccanica statistica]]

[[de:Ensemble (Physik)]]

[[en:Statistical ensemble (mathematical physics)]]

[[es:Ensamble estadístico]]

[[ko:앙상블 (물리학)]]

[[he:צבר (פיזיקה סטטיסטית)]]

[[nl:Ensemble (natuurkunde)]]

[[ja:統計集団]]

[[pl:Zespół statystyczny]]

[[ru:Статистический ансамбль]]

[[fi:Tilastollinen ensemble]]

[[zh:系综]]