Processo di Poisson: differenze tra le versioni

Versione delle 22:14, 21 giu 2019

Versione attuale delle 17:15, 16 feb 2022

(2 versioni intermedie di 2 utenti non mostrate)

Riga 1:

Un '''processo di Poisson''', dal nome del matematico francese [[Siméon-Denis Poisson]], è un [[processo stocastico]] che simula il manifestarsi di eventi che siano [[indipendenza|indipendenti]] l'uno dall'altro e che accadano continuamente nel tempo. Il processo è definito da una collezione di [[variabili aleatorie]] ''N<submath>tN_t</submath>'' per ''<math>t''>0,</math> che vengono viste come il numero di eventi occorsi dal tempo ''0'' al tempo ''<math>t''.</math> Inoltre il numero di eventi tra il tempo ''<math>a''</math> e il tempo ''<math>b''</math> è dato come ''N<submath>bN_b-N_a</submath>''&nbsp;−&nbsp;''N_a'' ed ha una [[distribuzione di Poisson]]. Ogni traiettoria del processo (ovvero ogni possibile mappa da ''t'' a ''N<submath>t</submath> a <math>N_t(ω\omega)'',</math> dove ω<math>\omega</math> appartiene allo [[spazio di probabilità]] su cui è definita <math>N</math>) è una funzione a gradino sui [[numeri interi]]

Il processo di Poisson è un processo a tempo continuo: la sua controparte a tempo discreto è il [[processo di Bernoulli]]. Il processo di Poisson è uno dei più famosi [[processo di Lévy|processi di Lévy]]. I processi di Poisson sono anche un esempio di [[catene di Markov|catena di Markov]] a tempo continuo.

Riga 8:

=== Definizione infinitesimale ===

Un processo di Poisson è un processo stocastico che soddisfa le seguenti proprietà:

* ''N<submath>N_0=0.</submath>=0''

* Il numero di eventi contati in intervalli di tempo disgiunti sono indipendenti, ovveroossia le variabili aleatorie

::<math>(N_{t_k}-N_{t_{k-1}}), \dots (,N_{t_1}-N_{t_0}),\qquad\forall t_0 = 0\leq< t_1 < \dots < t_k,</math>

:sono indipendenti.

* La probabilità di un evento in un piccolo intervallo di tempo è proporzionale alla lunghezza, ovveroossia, per <math>h\rightarrow 0</math>

::<math>\mathbb{P}(N_{t+h}-N_t=1)=\lambda h + o(h).</math>

:La costante di proporzionalità λ<math>\lambda</math> è detta '''intensità''' del processo.

* La probabilità che accada più di un evento in un piccolo intervallo di tempo è trascurabile, ovveroossia

::<math>\mathbb{P}(N_{t+h}-N_t>1)= o(h).</math>

=== Costruzione attraverso i tempi di attesa ===

Consideriamo degli eventi che si manifestano a distanze aleatorie ''S<submath>kS_k</submath>'' l'uno dall'altro, dove gli ''S<submath>kS_k</submath>'' sono [[distribuzione esponenziale|distribuzioni esponenziali]] di parametro λ<math>\lambda</math>, ognuna indipendente dalle altre.

Allora il processo definito da

:<math>N_t=\sup{\left\{n:\sum_{k=1}^n{S_k}\leq t\right\}}</math>

è un processo di Poisson di intensità λ<math>\lambda.</math>

=== Definizione attraverso le probabilità di transizione ===

Un processo di Poisson è un processo stocastico che soddisfa le seguenti proprietà:

* ''N<submath>N_0=0.</submath>=0''

* Gli incrementi sono stazionari (ovvero la distribuzione del numero di eventi che accadono in un certo intervallo dipende solo dalla lunghezza dell'intervallo) e hanno [[distribuzione di Poisson]] di parametro λt<math>\lambda t,</math> ovveroossia:

::<math>\mathbb{P}(N_{t+\tau}-N_t=k)=\frac{e^{-\lambda \tau} (\lambda \tau)^k}{k!}, \qquad k= 0,1,\ldots,.</math>

== Proprietà ==

Riga 39:

* Il tempo del n-esimo evento ha [[distribuzione Gamma]] <math>\Gamma\left(n,\frac{1}{\lambda}\right)</math>.

* Sapendo che in un certo intervallo di tempo è accaduto un solo evento, si ha che la sua distribuzione è [[distribuzione uniforme|uniforme]].

* Se ''N<submath>tN_t</submath>'' e ''M<submath>tM_t</submath>'' sono due processi di Poisson indipendenti di intensità λ e μ, allora ''Z<submath>t\lambda</submath>=N e <submath>t\mu</submath>+M, allora <submath>tZ_t=N_t+M_t</submath>'' è un processo di Poisson di intensità λ<math>\lambda+μ\mu.</math>

* Il processo di Poisson è un [[processo di Lévy]].

== Bibliografia ==