Processo di Poisson: differenze tra le versioni

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Un '''processo di Poisson''', dal nome del matematico francese [[Siméon-Denis Poisson]], è un [[processo stocastico]] che simula il manifestarsi di eventi che siano [[indipendenza|indipendenti]] l'uno dall'altro e che accadano continuamente nel tempo. Il processo è definito da una collezione di [[variabili aleatorie]] <math>N_t</math> per <math>t>0,</math> che vengono viste come il numero di eventi occorsi dal tempo 0 al tempo <math>t.</math> Inoltre il numero di eventi tra il tempo <math>a</math> e il tempo <math>b</math> è dato come <math>N_b-N_a</math> ed ha una [[distribuzione di Poisson]]. Ogni traiettoria del processo (ovvero ogni possibile mappa da <math>t</math> a <math>N_t(\omega),</math> dove <math>\omega</math> appartiene allo [[spazio di probabilità]] su cui è definita <math>N</math>) è una funzione a gradino sui [[numeri interi]]

{{S|matematica|statistica}}

Un '''processo di Poisson''', dal nome del matematico francese [[Siméon-Denis Poisson]] (1781 - 1840), è un [[processo stocastico]] definito riguardo il manifestarsi di eventi. Questo processo di conta, dato come una funzione del tempo ''N''(''t''), rappresenta il numero di eventi a partire dal tempo ''t = 0''. Inoltre il numero di eventi tra il tempo ''a'' e il tempo ''b'' è dato come ''N''(''b'')&nbsp;&minus;&nbsp;''N''(''a'') ed ha una [[distribuzione di Poisson]].

Il processo di Poisson è un processo a tempo continuo: la sua controparte a tempo discretadiscreto è il [[processo di Bernoulli]]. Il processo di Poisson è un uno dei più famosi [[processo di Lévy|processi di Lévy]]. I processi di Poisson sono anche esempiun esempio di [[processocatene markovianodi Markov|catena di Markov]] a tempo continuo.

== Definizione ==

==Tipi di processi di Poisson==

Esistono tre definizioni equivalenti di processo di Poisson:

=== Definizione infinitesimale ===

===Processo di Poisson omogeneo===

Un processo di Poisson è un processo stocastico che soddisfa le seguenti proprietà:

* <math>N_0=0.</math>

* Il numero di eventi contati in intervalli di tempo disgiunti sono indipendenti, ossia le variabili aleatorie

::<math>N_{t_k}-N_{t_{k-1}}, \dots,N_{t_1}-N_{t_0},\qquad\forall t_0 = 0< t_1 < \dots < t_k,</math>

:sono indipendenti.

* La probabilità di un evento in un piccolo intervallo di tempo è proporzionale alla lunghezza, ossia, per <math>h\rightarrow 0</math>

::<math>\mathbb{P}(N_{t+h}-N_t=1)=\lambda h + o(h).</math>

:La costante di proporzionalità <math>\lambda</math> è detta '''intensità''' del processo.

* La probabilità che accada più di un evento in un piccolo intervallo di tempo è trascurabile, ossia

::<math>\mathbb{P}(N_{t+h}-N_t>1)= o(h).</math>

=== Costruzione attraverso i tempi di attesa ===

[[Immagine:Sampleprocess.png|266px|right|Sample Poisson Process ''X''_''t'';]]

UnConsideriamo processodegli dieventi Poissonche ''omogeneo''si èmanifestano caratterizzatoa dadistanze unaleatorie parametro<math>S_k</math> dil'uno frequenza &lambda;, detto '''intensità''dall'altro, taledove che il numero di eventi in un itervallo di tempogli <math>(t,t+ \tau]S_k</math> seguono unasono [[distribuzione diesponenziale|distribuzioni Poissonesponenziali]] con ildi parametro associato <math>\lambda\tau</math>., Questaognuna relazioneindipendente èdalle dataaltre. come

Allora il processo definito da

:<math>N_t=\sup{\left\{n:\sum_{k=1}^n{S_k}\leq t\right\}}</math>

è un processo di Poisson di intensità <math>\lambda.</math>

=== Definizione attraverso le probabilità di transizione ===

:<math> P [(N(t+ \tau) - N(t)) = k] = \frac{e^{-\lambda \tau} (\lambda \tau)^k}{k!} \qquad k= 0,1,\ldots,</math>

Un processo di Poisson è un processo stocastico che soddisfa le seguenti proprietà:

dove ''N''(''t''&nbsp;+&nbsp;&tau;)&nbsp;&minus;&nbsp;''N''(''t'') descrive il numero di eventi in un intervallo di tempo (''t'',&nbsp;''t''&nbsp;+&nbsp;&tau;].

* <math>N_0=0.</math>

* Gli incrementi sono stazionari (ovvero la distribuzione del numero di eventi che accadono in un certo intervallo dipende solo dalla lunghezza dell'intervallo) e hanno [[distribuzione di Poisson]] di parametro <math>\lambda t,</math> ossia:

::<math>\mathbb{P}(N_{t+\tau}-N_t=k)=\frac{e^{-\lambda \tau} (\lambda \tau)^k}{k!}, \qquad k= 0,1,\ldots.</math>

== Proprietà ==

Così come una variabile casuale di Poisson è caratterizzata dal suo parametro scalare &lambda;, un processo di Poisson omogeneo è caratterizzato dal suo parametro di frequenza &lambda;, che corrisponde con il [[valore atteso]] del numero di "eventi" che si manifestano per unità di tempo.

Oltre a quelle elencate nelle definizioni, il processo di Poisson soddisfa altre proprietà:

* Il processo di Poisson soddisfa la [[proprietà di Markov]].

<!--

''N''(''t'')* è unIl processo di Poisson omogeneo,soddisfa dala non[[proprietà confonderedi con una densità o una funzione diMarkov distribuzioneforte]].

* Il tempo del n-esimo evento ha [[distribuzione Gamma]] <math>\Gamma\left(n,\frac{1}{\lambda}\right)</math>.

-->

* Sapendo che in un certo intervallo di tempo è accaduto un solo evento, si ha che la sua distribuzione è [[distribuzione uniforme|uniforme]].

* Se <math>N_t</math> e <math>M_t</math> sono due processi di Poisson indipendenti di intensità <math>\lambda</math> e <math>\mu</math>, allora <math>Z_t=N_t+M_t</math> è un processo di Poisson di intensità <math>\lambda+\mu.</math>

* Il processo di Poisson è un [[processo di Lévy]].

== Bibliografia ==

'''Nel dettaglio:'''

* {{cita libro

|cognome = Norris

Avendo assunto che &lambda; sia costante possiamo ritenere

|nome = J.R.

|titolo= Markov Chains

<math> P [(N(t+ \tau) - N(t)) = k] = P[N(T) = k]</math>

|editore= Cambridge University Press

|anno= 1997 }}

con <math>T = (t,t+ \tau]</math>, in quanto tale probabilità non dipende più dagli istanti iniziale e finale ma solo dalla durata dell'intervallo.

Possiamo inoltre suddividere ''T'' in ''n'' intervallini di ampiezza ''&delta;'' tale che <math>T = n\delta</math> e sufficientemente piccoli tale che

<math>P [N(\delta) = 1] = p</math>

<math>P [N(\delta) = 0] = 1- p</math>

<math>P [N(\delta) > 1]</math> &asymp; 0

Per ogni singolo intervallino abbiamo quindi una [[Variabile casuale bernoulliana|distribuzione di probabilità di Bernoulli]] il cui [[valore atteso|valore medio]] risulta ''p''. Il numero medio di eventi per un intervallo di durata ''T'' risulta quindi:

<math>\lambda T = np</math>

Assumiamo infine che il numero di eventi per ogni intervallino non dipenda da ciò che avviene negli altri intervalli.

Abbiamo in pratica modellato il processo contatore come un [[variabile casuale binomiale|estrazione semplice]], per cui la probabilità che si verifichino ''k'' eventi in un intervallo ''T'' equivale alla probabilità che ''k'' intervallini su ''n'' contengano un evento e <math>(n-k)</math> non ne contengano affatto:

<math>P [N(T) = k] = {n \choose k} p^{k}(1-p)^{n-k}</math>

sostituendo quindi ''p'' con <math>\lambda T/n</math> e calcolando il limite per ''n'' → ∞, ovvero per ''&delta;''→ 0, attraverso alcuni passaggi che omettiamo per brevità si arriva alla formula finale:

<math> P [(N(T) = k] = \frac{e^{-\lambda T} (\lambda T)^k}{k!} \qquad k= 0,1,\ldots,</math>

===Processo di Poisson non omogeneo===

===Processo di Poisson spaziale===

== Voci correlate ==

* [[Distribuzione di Poisson]]

* [[Processo di Poisson composto]]

* [[Processo markoviano]]

* [[Processo stocastico]]

* [[Teoria delle code]]

== Collegamenti esterni ==

* {{Collegamenti esterni}}

{{Portale|matematica}}

[[Categoria:Statistica]]

[[Categoria:Processi stocastici]]

[[de:Poisson-Prozess]]

[[en:Poisson process]]

[[es:Proceso de Poisson]]

[[fa:فرایند پواسون]]

[[fi:Poisson-prosessi]]

[[fr:Processus de Poisson]]

[[he:תהליך פואסון]]

[[pl:Proces Poissona]]

[[ru:Пуассоновский процесс]]

[[uk:Пуассонівський процес]]

[[vi:Quá trình Poisson]]

[[zh:泊松过程]]