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Un '''processo di Poisson''', dal nome del matematico francese [[Siméon-Denis Poisson]], è un [[processo stocastico]] che simula il manifestarsi di eventi che siano [[indipendenza|indipendenti]] l'uno dall'altro e che accadano continuamente nel tempo. Il processo è definito da una collezione di [[variabili aleatorie]] <math>N_t</math> per <math>t>0,</math> che vengono viste come il numero di eventi occorsi dal tempo 0 al tempo <math>t.</math> Inoltre il numero di eventi tra il tempo <math>a</math> e il tempo <math>b</math> è dato come <math>N_b-N_a</math> ed ha una [[distribuzione di Poisson]]. Ogni traiettoria del processo (ovvero ogni possibile mappa da <math>t</math> a <math>N_t(\omega),</math> dove <math>\omega</math> appartiene allo [[spazio di probabilità]] su cui è definita <math>N</math>) è una funzione a gradino sui [[numeri interi]]
{{S|teoria della probabilità|statistica}}
Un '''processo di Poisson''', dal nome del matematico francese [[Siméon-Denis Poisson]] (1781 - 1840), è un [[processo stocastico]] che simula il manifestarsi di eventi che siano [[indipendenza|indipendenti]] l'uno dall'altro e che accadano continuamente nel tempo. Il processo è definito da una collezzione di [[variabili aleatorie]] ''N''(''t'') per ''t''>0, che vengono viste come il numero di eventi occorsi dal tempo ''0'' al tempo ''t''. Inoltre il numero di eventi tra il tempo ''a'' e il tempo ''b'' è dato come ''N''(''b'') − ''N''(''a'') ed ha una [[distribuzione di Poisson]]. Ogni traiettoria del processo (ovvero ogni possibile mappa da ''t'' a ''N(t)'') è una funzione a gradino sui [[numeri interi]]
Il processo di Poisson è un processo a tempo continuo: la sua controparte a tempo discreto è il [[processo di Bernoulli]]. Il processo di Poisson è uno dei più famosi [[processo di Lévy|processi di Lévy]]. I processi di Poisson sono anche esempiun esempio di [[processocatene di Markov|catena di markovianoMarkov]] a tempo continuo.
== Definizione ==
== Tipi di processi di Poisson ==
Esistono tre definizioni equivalenti di processo di Poisson:
=== ProcessoDefinizione di Poisson omogeneoinfinitesimale ===
Un processo di Poisson è un processo stocastico che soddisfa le seguenti proprietà:
* <math>N_0=0.</math>
* Il numero di eventi contati in intervalli di tempo disgiunti sono indipendenti, ossia le variabili aleatorie
::<math>N_{t_k}-N_{t_{k-1}}, \dots,N_{t_1}-N_{t_0},\qquad\forall t_0 = 0< t_1 < \dots < t_k,</math>
:sono indipendenti.
* La probabilità di un evento in un piccolo intervallo di tempo è proporzionale alla lunghezza, ossia, per <math>h\rightarrow 0</math>
::<math>\mathbb{P}(N_{t+h}-N_t=1)=\lambda h + o(h).</math>
:La costante di proporzionalità <math>\lambda</math> è detta '''intensità''' del processo.
* La probabilità che accada più di un evento in un piccolo intervallo di tempo è trascurabile, ossia
::<math>\mathbb{P}(N_{t+h}-N_t>1)= o(h).</math>
=== Costruzione attraverso i tempi di attesa ===
[[File:Sampleprocess.png|thumb|266px|right|Esempio di traiettoria di un processo di Poisson]]
UnConsideriamo processodegli dieventi Poissonche ''omogeneo''si èmanifestano caratterizzatoa dadistanze unaleatorie parametro<math>S_k</math> dil'uno frequenza λ, detto '''intensità''dall'altro, taledove che il numero di eventi in un intervallo di tempogli <math>(t,t+ \tau]S_k</math> seguono unasono [[distribuzione diesponenziale|distribuzioni Poissonesponenziali]] con ildi parametro associato <math>\lambda\tau</math>., Questaognuna relazioneindipendente èdalle dataaltre. come
Allora il processo definito da
:<math>N_t=\sup{\left\{n:\sum_{k=1}^n{S_k}\leq t\right\}}</math>
è un processo di Poisson di intensità <math>\lambda.</math>
=== Definizione attraverso le probabilità di transizione ===
:<math> P [(N(t+ \tau) - N(t)) = k] = \frac{e^{-\lambda \tau} (\lambda \tau)^k}{k!} \qquad k= 0,1,\ldots,</math>
Un processo di Poisson è un processo stocastico che soddisfa le seguenti proprietà:
dove ''N''(''t'' + τ) − ''N''(''t'') descrive il numero di eventi in un intervallo di tempo (''t'', ''t'' + τ].
* <math>N_0=0.</math>
* Gli incrementi sono stazionari (ovvero la distribuzione del numero di eventi che accadono in un certo intervallo dipende solo dalla lunghezza dell'intervallo) e hanno [[distribuzione di Poisson]] di parametro <math>\lambda t,</math> ossia:
::<math>\mathbb{P}(N_{t+\tau}-N_t=k)=\frac{e^{-\lambda \tau} (\lambda \tau)^k}{k!}, \qquad k= 0,1,\ldots.</math>
== Proprietà ==
Così come una variabile casuale di Poisson è caratterizzata dal suo parametro scalare λ, un processo di Poisson omogeneo è caratterizzato dal suo parametro di frequenza λ, che corrisponde con il [[valore atteso]] del numero di "eventi" che si manifestano per unità di tempo.
Oltre a quelle elencate nelle definizioni, il processo di Poisson soddisfa altre proprietà:
* Il processo di Poisson soddisfa la [[proprietà di Markov]].
<!--
''N''(''t'')* è unIl processo di Poisson omogeneo,soddisfa dala non[[proprietà confonderedi con una densità o una funzione diMarkov distribuzioneforte]].
* Il tempo del n-esimo evento ha [[distribuzione Gamma]] <math>\Gamma\left(n,\frac{1}{\lambda}\right)</math>.
-->
* Sapendo che in un certo intervallo di tempo è accaduto un solo evento, si ha che la sua distribuzione è [[distribuzione uniforme|uniforme]].
* Se <math>N_t</math> e <math>M_t</math> sono due processi di Poisson indipendenti di intensità <math>\lambda</math> e <math>\mu</math>, allora <math>Z_t=N_t+M_t</math> è un processo di Poisson di intensità <math>\lambda+\mu.</math>
* Il processo di Poisson è un [[processo di Lévy]].
== Bibliografia ==
'''Nel dettaglio:'''
* {{cita libro
|cognome = Norris
Avendo assunto che λ sia costante possiamo ritenere
|nome = J.R.
|titolo= Markov Chains
<math> P [(N(t+ \tau) - N(t)) = k] = P[N(T) = k]</math>
|editore= Cambridge University Press
|anno= 1997 }}
con <math>T = (t,t+ \tau]</math>, in quanto tale probabilità non dipende più dagli istanti iniziale e finale ma solo dalla durata dell'intervallo.
Possiamo inoltre suddividere ''T'' in ''n'' intervallini di ampiezza ''δ'' tale che <math>T = n\delta</math> e sufficientemente piccoli tale che
<math>P [N(\delta) = 1] = p</math>
<math>P [N(\delta) = 0] = 1- p</math>
<math>P [N(\delta) > 1]</math> ≈ 0
Per ogni singolo intervallino abbiamo quindi una [[Variabile casuale bernoulliana|distribuzione di probabilità di Bernoulli]] il cui [[valore atteso|valore medio]] risulta ''p''. Il numero medio di eventi per un intervallo di durata ''T'' risulta quindi:
<math>\lambda T = np</math>
Assumiamo infine che il numero di eventi per ogni intervallino non dipenda da ciò che avviene negli altri intervalli.
Abbiamo in pratica modellato il processo contatore come un'[[variabile casuale binomiale|estrazione semplice]], per cui la probabilità che si verifichino ''k'' eventi in un intervallo ''T'' equivale alla probabilità che ''k'' intervallini su ''n'' contengano un evento e <math>(n-k)</math> non ne contengano affatto:
<math>P [N(T) = k] = {n \choose k} p^{k}(1-p)^{n-k}</math>
sostituendo quindi ''p'' con <math>\lambda T/n</math> e calcolando il limite per ''n'' → ∞, ovvero per ''δ''→ 0, attraverso alcuni passaggi che omettiamo per brevità si arriva alla formula finale:
<math> P [(N(T) = k] = \frac{e^{-\lambda T} (\lambda T)^k}{k!} \qquad k= 0,1,\ldots,</math>
=== Processo di Poisson non omogeneo ===
In generale, può accadere che l'intensità del processo cambi nel tempo, ovvero ''λ=λ(t)''. In questo caso si parla di '''processo di Poisson non omogeneo'''.
Il numero di eventi in un intervallo [a,b] è una distribuzione di Poisson di parametro λ<sub>a,b</sub>, dove
:<math>\lambda_{a,b}=\int_{a}^{b}{\lambda(t)dt}</math>
ovvero
:<math> P [(N(b) - N(a)) = k] = \frac{e^{-\lambda_{a,b}} (\lambda_{a,b})^k}{k!} \qquad k= 0,1,\ldots.</math>
=== Processo di Poisson spaziale ===
== Voci correlate ==
* [[Distribuzione di Poisson]]
* [[Processo di Poisson composto]]
* [[Processo markoviano]]
* [[Processo stocastico]]
* [[Teoria delle code]]
== Collegamenti esterni ==
* {{Collegamenti esterni}}
{{Portale|matematica}}
[[Categoria:Processi stocastici]]
[[ar:عملية بواسون]]
[[ca:Procés de Poisson]]
[[de:Poisson-Prozess]]
[[en:Poisson process]]
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