Processo di Poisson: differenze tra le versioni

Versione delle 21:39, 18 dic 2006

Versione attuale delle 17:15, 16 feb 2022

(41 versioni intermedie di 30 utenti non mostrate)

Riga 1:

Un '''processo di Poisson''', dal nome del matematico francese [[Siméon-Denis Poisson]], è un [[processo stocastico]] che simula il manifestarsi di eventi che siano [[indipendenza|indipendenti]] l'uno dall'altro e che accadano continuamente nel tempo. Il processo è definito da una collezione di [[variabili aleatorie]] <math>N_t</math> per <math>t>0,</math> che vengono viste come il numero di eventi occorsi dal tempo 0 al tempo <math>t.</math> Inoltre il numero di eventi tra il tempo <math>a</math> e il tempo <math>b</math> è dato come <math>N_b-N_a</math> ed ha una [[distribuzione di Poisson]]. Ogni traiettoria del processo (ovvero ogni possibile mappa da <math>t</math> a <math>N_t(\omega),</math> dove <math>\omega</math> appartiene allo [[spazio di probabilità]] su cui è definita <math>N</math>) è una funzione a gradino sui [[numeri interi]]

{{S|matematica|statistica}}

Un '''processo di Poisson''', dal nome del matematico francese [[Siméon-Denis Poisson]] (1781 - 1840), è un [[processo stocastico]] definito riguardo il manifestarsi di eventi. Questo processo di conta, dato come una funzione del tempo ''N''(''t''), rappresenta il numero di eventi a partire dal tempo ''t = 0''. Inoltre il numero di eventi tra il tempo ''a'' e il tempo ''b'' è dato come ''N''(''b'')&nbsp;&minus;&nbsp;''N''(''a'') ed ha una [[distribuzione di Poisson]].

Il processo di Poisson è un processo a tempo continuo: la sua controparte a tempo discretadiscreto è il [[processo di Bernoulli]]. Il processo di Poisson è un uno dei più famosi [[processo di Lévy|processi di Lévy]]. I processi di Poisson sono anche esempiun esempio di [[processocatene markovianodi Markov|catena di Markov]] a tempo continuo.

== Definizione ==

Esistono tre definizioni equivalenti di processo di Poisson:

=== Definizione infinitesimale ===

Un processo di Poisson è un processo stocastico che soddisfa le seguenti proprietà:

* <math>N_0=0.</math>

* Il numero di eventi contati in intervalli di tempo disgiunti sono indipendenti, ossia le variabili aleatorie

::<math>N_{t_k}-N_{t_{k-1}}, \dots,N_{t_1}-N_{t_0},\qquad\forall t_0 = 0< t_1 < \dots < t_k,</math>

:sono indipendenti.

* La probabilità di un evento in un piccolo intervallo di tempo è proporzionale alla lunghezza, ossia, per <math>h\rightarrow 0</math>

::<math>\mathbb{P}(N_{t+h}-N_t=1)=\lambda h + o(h).</math>

:La costante di proporzionalità <math>\lambda</math> è detta '''intensità''' del processo.

* La probabilità che accada più di un evento in un piccolo intervallo di tempo è trascurabile, ossia

::<math>\mathbb{P}(N_{t+h}-N_t>1)= o(h).</math>

=== Costruzione attraverso i tempi di attesa ===

Consideriamo degli eventi che si manifestano a distanze aleatorie <math>S_k</math> l'uno dall'altro, dove gli <math>S_k</math> sono [[distribuzione esponenziale|distribuzioni esponenziali]] di parametro <math>\lambda</math>, ognuna indipendente dalle altre.

Allora il processo definito da

:<math>N_t=\sup{\left\{n:\sum_{k=1}^n{S_k}\leq t\right\}}</math>

è un processo di Poisson di intensità <math>\lambda.</math>

=== Definizione attraverso le probabilità di transizione ===

Un processo di Poisson è un processo stocastico che soddisfa le seguenti proprietà:

* <math>N_0=0.</math>

* Gli incrementi sono stazionari (ovvero la distribuzione del numero di eventi che accadono in un certo intervallo dipende solo dalla lunghezza dell'intervallo) e hanno [[distribuzione di Poisson]] di parametro <math>\lambda t,</math> ossia:

::<math>\mathbb{P}(N_{t+\tau}-N_t=k)=\frac{e^{-\lambda \tau} (\lambda \tau)^k}{k!}, \qquad k= 0,1,\ldots.</math>

== Proprietà ==

Oltre a quelle elencate nelle definizioni, il processo di Poisson soddisfa altre proprietà:

* Il processo di Poisson soddisfa la [[proprietà di Markov]].

* Il processo di Poisson soddisfa la [[proprietà di Markov forte]].

* Il tempo del n-esimo evento ha [[distribuzione Gamma]] <math>\Gamma\left(n,\frac{1}{\lambda}\right)</math>.

* Sapendo che in un certo intervallo di tempo è accaduto un solo evento, si ha che la sua distribuzione è [[distribuzione uniforme|uniforme]].

* Se <math>N_t</math> e <math>M_t</math> sono due processi di Poisson indipendenti di intensità <math>\lambda</math> e <math>\mu</math>, allora <math>Z_t=N_t+M_t</math> è un processo di Poisson di intensità <math>\lambda+\mu.</math>

* Il processo di Poisson è un [[processo di Lévy]].

== Bibliografia ==

* {{cita libro

|cognome = Norris

|nome = J.R.

|titolo= Markov Chains

|editore= Cambridge University Press

|anno= 1997 }}

== Voci correlate ==

* [[Distribuzione di Poisson]]

* [[Processo di Poisson composto]]

* [[Processo markoviano]]

* [[Processo stocastico]]

* [[Teoria delle code]]

== Collegamenti esterni ==

* {{Collegamenti esterni}}

{{SPortale|matematica|statistica}}

[[Categoria:Processi stocastici]]