Repunit: differenze tra le versioni

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Nella [[matematica ricreativa]], un '''repunit''' (dall'[[Lingua inglese|inglese]] "'''''rep'''eated '''unit'''''",<ref>Il termine venne coniato da [[Albert Beiler]] nel [[1964]] nel suo libro ''Recreations in the Theory of Numbers''(''[http://ssd.jpl.nasa.gov/sbdb.cgi?sstr=11111 fonte]'')</ref> ''unità ripetuta'' ) è un [[numero intero]], come 11, 111 o 1111, che contiene solo la [[cifra]] [[1 (cifra)|1]], come 11 o 1111111. Il termine fu coniato da [[Albert Beiler]] nel [[1964]] nel suo libro ''Recreations in the Theory of Numbers''.

IIn [[base 10]], i repunit sono definiti matematicamente come:

:<math>R_n={ 10^n-1 \over 9} ,</math>

dove ''R''<submath>''n''R_n</submath> è il numero in base 10 formato da ''n'' ripetizioni della cifra 1, ovviamente questo per la [[base 10]]; e la sequenza dei repunit con [[1 (numero)|1]], [[11 (numero)|11]], [[111 (numero)|111]], 1111, ... (sequenza [[OEIS:A002275|A002275]] dell'[[On-Line Encyclopedia of Integer Sequences|OEIS]]).

La sequenza dei repunit è [[1 (numero)|1]], [[11 (numero)|11]], [[111 (numero)|111]], 1111, 11111, ... (sequenza [[OEIS:A002275|A002275]] dell'[[On-Line Encyclopedia of Integer Sequences|OEIS]]).

== Generalizzazione ==

MatematicamenteLa ildefinizione di repunit è un concetto arbitrario, essoche dipendadipende dalla [[base (aritmetica)|base]] in cui il numero viene espresso; si pensi che ogni numero intero N può essere riscritto come 11 (''uno-uno'') se espresso in base N-1, ciò per un semplice motivo: un numero in un [[sistema posizionale]] può essere rappresentato comecon una [[serie geometrica]] di ragione la base di numerazione '''b''', che ne rappresenta la base di numerazione:

:<math>N = a_1^iba_0 b^0 + a_2^iba_1 b^1 + a_3^iba_2 b^2 + \dots + a_n^iba_{n-1} b^{n-1},</math>

idove varigli a<supmath>ia_i</supmath>, con <math>0 ≤\le ''i'' ≤< B-1n</math>, rapprendanorappresentano le Bn cifre presenti in quella determinatanella base dove impostiamo che:'''b'''.

Se vogliamo che quindi un numero N sia rappresentato con 11, basta risolvere l'equazione: <math>N = 1 ×\cdot b^{^0} + 1 ×\cdot b<sup>^1</supmath> da cui <math>b = N - 1</math>, cioè:

* a⁰ = 0 - numero [[zero]]

:<math>N = 1 + (N - 1)¹ = 1 + (N - 1)^1.</math>

* a¹ = 1 - numero [[uno]]

* a^b = 10 = b <small>(''uno'' e ''zero'' non rappresentano il [[dieci]], ma genericamente il primo numero che deve essere rappresentato con due cifre, cioè la base)</small>

Se vogliamo che quindi un numero N sia rappresentato con 11, basta risolvere l'equazione: N = 1 × b⁰ + 1 × b¹ da cui b = N - 1, cioè:

N = 1 + (N - 1)¹ = 1 + N - 1

Se fossimo addirittura inIn [[base unaria]], ad esempio, ogni numero sarebbe addirittura rappresentato da tanti uno quando''1'' èquanto inil valore di N:

* 2 = 11

* 3 = 111

* 6 = 111111

Risulta quindi evidente come non bisogna confondere la ''rappresentazione'' del numero colcon il ''[[numero]]'' stesso, che invece è un'entità indipendenteoggetto lamatematico qualeche può trovare, a seconda delle convenzioni, diverse rappresentazioni; ciò nonostante, quando anche la rappresentazione ha una sua spiegazione matematicagiustificazione, come in questo caso, può essa stessa essere fonte di proprietà matematiche fondate, proprietà come quelle dei repunit per i quali però conviene ragionare in termini generali, senza prendere a riferimento una [[base 10|precisa base]], come siamo soliti fare.

Partendo dal concetto che la notazione posizionale di fatto deriva da una serie geometrica, come nel caso dei repunit, ha tutte le cifre uguale 1, aⁱ = 1, è possibile arrivare a questa formula:

Line 31 ⟶ 29:

:<math>R_n^{(b)}={b^n-1\over b-1}.</math>

Dove R sta per la rappresentazione in forma di repunit di un generico numero N in base B e con ''n'' cifre 1.<ref>Intuitivamente la formula può anche essere spiegata così: ogni repunit è immancabilmente anche un [[divisore]] di altri [[numero a cifra ripetuta|numeri a cifra ripetuta]], ivi compreso quello corrispondente alla cifra a^b-1, e siccome tale numero è anche l'[[antecedente (matematica)|antecedente]] di un multiplo di bⁿ, tale multiplo meno [[1 (numero)|uno]] e diviso a^b-1, cioè b -1, non può che essere un repunit di ''n'' cifre</ref> ad esempio:

:<math>R_3^{(5)}={5^3-1\over 5-1} = 31</math>

significa che 31 espresso in base 5 è uguale a ''111'' cioè un repunit R<submath>3R_3</submath>.

=== Proprietà ===

Prendendo in generale i repunit per ogni base è possibile stilarne le caratteristiche più salienti:

* Ogni numero N può essere scritto almeno sotto forma di doppiodue uno,repunit <math>\scriptstyle{R_2^{(N-1)}}</math> (''11,'') see espresso in base B = N-<math>\scriptstyle{R_N^{(1)}}</math>

* In una base ''[[numero pari|pari]]'' i repunit sono soltanto numeri dispari; in base ''[[numero dispari|dispari]]'' i repunit sono numeri pari con ''n'' anch'esso pari, e numeri dispari ma con ''n'' a sua volta dispari. Questo significa che un numero pari può essere un repunit soltanto con base dispari e ''n'' pari.

* OgniSiccome in ogni repunit la somma della cifre è uguale a ''n'', si ha la [[aritmetica modulare|congruocongruenza]] n in modulo b-1 <math>\scriptstyle{R_n^{(b)} \equiv n \modpmod{b-1}.}</math>.<br/>quindi significa che può essere riscritto come <math>\scriptstyle{R_n^{(b)} = (b-1)k + n.}</math> e ciò può essere usato per scoprire, se è possibile, in quale base un numero può essere un repunit di tipo R_n.

* Se ''a'' è multiplo di ''b'' allora anche R_a è multipli di R_b

In verità, i repunit in base 2 sono i rispettabili [[numero di Mersenne|numeri di Mersenne]] ''M''_''n''&nbsp;=&nbsp;2^''n''&nbsp;&minus;−&nbsp;1. Il [[progetto Cunningham]] cerca di raccogliere le fattorializzazioni (fra l'altro) dei repunit in base 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11 e 12.

I primi repunit sono un sottoinsieme dei [[primo permutabile|primi permutabili]], cioè primi che rimangono tali dopo qualunque [[permutazione]] delle loro cifre.

== PrimiDeterminare N in forma repunit ==

È già stato dimostrato che ogni numero può essere espresso come repunit in base N-1, ma è anche vero che ci sono teoricamente molteplici possibilità di esprimere lo stesso numero in forma di repunit, ovviamente in basi diverse e con ''n'' diversi. Determinare però in quale base un numero è, se lo è, un repunit <math>R_n</math>, non è sempre agevole, benché con la formula generalizzata sia possibile, e questo perché richiede di risolvere una [[equazione]] di grado uguale a ''n''; è possibile, però, sfruttare alcune delle proprietà per verificare almeno preventivamente se quel numero può essere un <math>R_n</math>.

{{vedi anche|Repunit (fattori)}}

Storicamente, la definizione dei repunit è stata motivata dalla ricerca, all'interno della matematica ricreativa, dei [[fattore primo|fattori primi]] di tali numeri.

Sappiamo infatti, per esempio, che se N è pari sarà repunit solo se anche ''n'' è pari, <math>R_{2i}</math>; che se N-''n'' è primo allora non potrà essere un <math>R_n</math>.<br/>Per trovare la base in cui quel numero potrebbe essere un repunit ci sono due modi (che non implicano direttamente un'equazione) ovvero cercarlo tra i possibili [[divisori]] di N-''n'', ricordando di aggiungere uno, oppure approssimando attraverso la formula generale, immaginando che per N grande giustamente anche b sarà grande nonostante ''n'', e quindi stimando l'eventuale in base:

Si può facilmente dimostrare che se ''n'' è divisibile per ''a'', allora ''R_n'' è divisibile per ''R_a''. Ad esempio 9 è divisibile per 3, e ''R₉'' è divisibile per ''R₃'': 111111111&nbsp;=&nbsp;111&middot;1001001. Ne consegue che condizione necessaria perché ''R_n'' sia primo è che ''n'' sia a sua volta un numero primo<ref>Non si tratta ovviamente di condizione sufficiente, come peraltro facilmente verificabile con un immediato controesempio: ''R₃''&nbsp;=&nbsp;111&nbsp;=&nbsp;3&middot;37.</ref>.

:<math>b=\sqrt[n-1]{N}</math>

Si prende la parte intere della radice; anzi questa approssimazione risponde sorprendentemente bene anche per ''n'' grande con ''b'' piccolo, e non peggiora al crescere di ''n'' o del eventuale base.

La sequenza dei primi repunit attualmente noti è [[OEIS:A004022|A004022]] dell'OEIS, mentre la più compatta sequenza delle loro lunghezze è la [[OEIS:A004023|A004023]] dell'OEIS. ''R₄₉₀₈₁'' (scoperto nel [[1999]] da Harvey Dubner<ref>H. Dubner, "Repunit R49081 is a probable prime," Math. Comp., 71:238 (2002) 833--835</ref>), ''R₈₆₄₅₃'' (scoperto nell'ottobre [[2000]] da Lew Baxter) e ''R₁₀₉₂₉₇'' (scoperto anch'esso da Harvey Dubner nel marzo del [[2007]]) sono attualmente considerati [[primo probabile|primi probabili]], ovvero hanno sino ad ora superato molteplici [[Numero primo#Test di primalità|test di primalità]] pur mancando ancora una reale dimostrazione del fatto che siano effettivamente primi.

La stima ovviamente non dà la base in cui il numero N è certamente il repunit cercato, ma dà l'unica base in cui sarebbe possibile esprimerlo come <math>R_n</math>; occorre dunque verificare tale base attraverso la formula generalizzata, e se il riscontro è negativo significa che comunque il numero non può essere espresso in forma di repunit con quel determinato ''n'', senza escludere con ciò la possibilità che ciò sia possibile in altre basi e ovviamente altri ''n''

È stato congetturato che, benché estremamente rari, esistano infiniti numeri primi repunit<ref>http://primes.utm.edu/glossary/page.php?sort=Repunit</ref>.

==Voci correlateRepunit primi ==

{{vedi anche|Repunit (fattori)}}

Storicamente, la definizione dei repunit è stata motivata dalla ricerca, all'interno della matematica ricreativa, dei [[fattore primo|fattori primi]] di tali numeri.

Si può facilmente dimostrare che se ''n'' è divisibile per ''a'', allora ''R_n'' è divisibile per ''R_a''. Ad esempio 9 è divisibile per 3, e ''R₉'' è divisibile per ''R₃'': 111111111&nbsp;=&nbsp;111&middot;·1001001. Ne consegue che condizione necessaria perché ''R_n'' sia primo è che ''n'' sia a sua volta un numero primo<ref>Non si tratta ovviamente di condizione sufficiente, come peraltro facilmente verificabile con un immediato controesempio: ''R₃''&nbsp;=&nbsp;111&nbsp;=&nbsp;3&middot;·37.</ref>.

* [[Numero a cifra ripetuta]] (repdigit)

* [[Repunit (fattori)|Tabella dei fattori]]

La sequenza dei primi repunit primi attualmente noti è [[OEIS:A004022|A004022]] dell'OEIS, mentre la più compatta sequenza delle loro lunghezze è la [[OEIS:A004023|A004023]] dell'OEIS. ''R_4908186453'' (scoperto nelnell'ottobre [[19992000]] da Harvey Dubner<ref>H. Dubner, "Repunit R49081 is a probableLew prime," Math. Comp., 71:238 (2002) 833--835</ref>Baxter), ''R_86453109297'' (scoperto nell'ottobreda Harvey Dubner e Paul Bourdelais nel marzo del [[20002007]] da Lew Baxter) e ''R_109297270343'' (scoperto anch'esso da Harvey Dubner nel marzo delluglio [[ 2007]] da Maksym Voznyy e Anton Budnyy) sono attualmente considerati [[primo probabile|primi probabili]], ovvero hanno sino ad ora superato molteplici [[Numero primo#Test di primalità|test di primalità]] pur mancando ancora una reale dimostrazione del fatto che siano effettivamente primi.<ref>[http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=57 The Top Twenty: Repunit<!-- Titolo generato automaticamente -->]</ref>. La primalità di ''R₄₉₀₈₁'' (scoperto nel [[1999]] da Harvey Dubner) è stata dimostrata da Paul Underwood nel [[2022]]

*[[11111 Repunit]] - [[asteroide]] scoperto nel [[1995]]

È stato congetturato che, benché estremamente rari, esistano infiniti numeri primi repunit primi<ref>[http://primes.utm.edu/glossary/page.php?sort=Repunit The Prime Glossary: repunit<!-- Titolo generato automaticamente -->]</ref>.

==Note==

<references/>

==Voci correlate==

==Collegamenti esterni==

* [[Numero a cifra ripetuta]] (repdigit)

* {{MathWorld|Repunit}}

* [[Repunit (fattori)|Tabella dei fattori]]

* [http://www.cerias.purdue.edu/homes/ssw/cun/third/pmain901 Le tavole principali] del [http://www.cerias.purdue.edu/homes/ssw/cun/ progetto Cunningham]

* [[11111 Repunit]] - [[asteroide]] scoperto nel [[1995]]

* [[Palindromi]]

* [[Numeri primi di Mersenne]]

== Collegamenti esterni ==

* {{Collegamenti esterni}}

* [httphttps://www.cerias.purdue.edu/homes/ssw/cun/third/pmain901 Le tavole principali] del [httphttps://www.cerias.purdue.edu/homes/ssw/cun/ progetto Cunningham]

* [http://primes.utm.edu/glossary/page.php?sort=Repunit I repunit] sulle [http://primes.utm.edu/ Prime Pages] di Chris Caldwell

* [http://www.worldofnumbers.com/repunits.htm I repunit ed i loro fattori primi] su [http://www.worldofnumbers.com World!Of Numbers]

{{Portale|matematica}}

[[Categoria:Matematica ricreativa]]

[[de:Repunit]]

[[en:Repunit]]

[[fr:Répunit]]

[[ja:レピュニット]]

[[ru:Репьюниты]]

[[zh:循環單位]]