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Nella [[matematica ricreativa]], un '''repunit''' (dall'[[Lingua inglese|inglese]] "'''''rep'''eated '''unit'''''",<ref>Il termine venne coniato da [[Albert Beiler]] nel [[1964]] nel suo libro ''Recreations in the Theory of Numbers''(''[http://ssd.jpl.nasa.gov/sbdb.cgi?sstr=11111 fonte]'')</ref> ''unità ripetuta'' ) è un [[numero intero]] che contiene solo la [[cifra]] [[1 (cifra)|1]], come 11, 111 o 11111111111. Il termine fu coniato da [[Albert Beiler]] nel [[1964]] nel suo libro ''Recreations in the Theory of Numbers''.
IIn [[base 10]], i repunit sono definiti matematicamente come:
:<math>R_n={ 10^n-1 \over 9} ,</math>
dove ''R''<submath>''n''R_n</submath> è il numero in base 10 formato da ''n'' ripetizioni della cifra 1, ovviamente questo per la [[base 10]]; e la sequenza dei repunit con [[1 (numero)|1]], [[11 (numero)|11]], [[111 (numero)|111]], 1111, ... (sequenza [[OEIS:A002275|A002275]] dell'[[On-Line Encyclopedia of Integer Sequences|OEIS]]).
La sequenza dei repunit è [[1 (numero)|1]], [[11 (numero)|11]], [[111 (numero)|111]], 1111, 11111, ... (sequenza [[OEIS:A002275|A002275]] dell'[[On-Line Encyclopedia of Integer Sequences|OEIS]]).
== Generalizzazione ==
MatematicamenteLa ildefinizione di repunit è un concetto arbitrario, essoche dipendadipende dalla [[base (aritmetica)|base]] in cui il numero viene espresso; si pensi che ogni numero intero N può essere riscritto come 11 (''uno-uno'') se espresso in base N-1, ciò per un semplice motivo: un numero in un [[sistema posizionale]] può essere rappresentato comecon una [[serie geometrica]] di ragione la base di numerazione '''b''', che ne rappresenta la base di numerazione:
:<math>N = a_1^iba_0 b^0 + a_2^iba_1 b^1 + a_3^iba_2 b^2 + \dots + a_n^iba_{n-1} b^{n-1},</math>
idove varigli a<supmath>ia_i</supmath>, con <math>0 ≤\le ''i'' ≤< B-1n</math>, rapprendanorappresentano le Bn cifre presenti in quella determinatanella base dove impostiamo che:'''b'''.
Se vogliamo che quindi un numero N sia rappresentato con 11, basta risolvere l'equazione: <math>N = 1 ×\cdot b <sup>^0 </sup> + 1 ×\cdot b <sup>^1</ supmath> da cui <math>b = N - 1 </math>, cioè: ▼* a<sup>0</sup> = 0 - numero [[zero]]
:<math>N = 1 + (N - 1)^1 = 1 + (N - 1 )^1.</math> ▼* a<sup>1</sup> = 1 - numero [[uno]]
* a<sup>b</sup> = 10 = b <small>(''uno'' e ''zero'' non rappresentano il [[10 (numero)|dieci]], ma genericamente il primo numero che deve essere rappresentato con due cifre, cioè la base)</small>
▲Se vogliamo che quindi un numero N sia rappresentato con 11, basta risolvere l'equazione: N = 1 × b<sup>0</sup> + 1 × b<sup>1</sup> da cui b = N - 1, cioè:
▲:<math>N = 1 + (N - 1)^1 = 1 + N - 1</math>
Se fossimo addirittura inIn [[base unaria]], ad esempio, ogni numero sarebbe addirittura rappresentato da tanti uno quando''1'' èquanto inil valore di N:
* 2 = 11
* 3 = 111
* 6 = 111111
Risulta quindi evidente come non bisogna confondere la ''rappresentazione'' del numero colcon il ''[[numero]]'' stesso, che invece è un'entità indipendenteoggetto lamatematico qualeche può trovare, a seconda delle convenzioni, diverse rappresentazioni; ciò nonostante, quando anche la rappresentazione ha una sua spiegazione matematicagiustificazione, come in questo caso, può essa stessa essere fonte di proprietà matematiche fondate, proprietà come quelle dei repunit per i quali però conviene ragionare in termini generali, senza prendere a riferimento una [[base 10|precisa base]], come siamo soliti fare.
Partendo dal concetto che la notazione posizionale di fatto deriva da una serie geometrica, come nel caso dei repunit, ha tutte le cifre uguale 1, a<sup>i</sup> = 1, è possibile arrivare a questa formula:
:<math>R_n^{(b)}={b^n-1\over b-1}.</math>
Dove R sta per la rappresentazione in forma di repunit di un generico numero N in base B e con ''n'' cifre 1.<ref>Intuitivamente la formula può anche essere spiegata così: ogni repunit è immancabilmente anche un [[divisore]] di altri [[numero a cifra ripetuta|numeri a cifra ripetuta]], ivi compreso quello corrispondente alla cifra a<sup>b-1</sup>, e siccome tale numero è anche l'[[antecedente (matematica)|antecedente]] di un multiplo di b<sup>n</sup>, tale multiplo meno [[1 (numero)|uno]] e diviso a<sup>b-1</sup>, cioè b -1, non può che essere un repunit di ''n'' cifre</ref> ad esempio:
:<math>R_3^{(5)}={5^3-1\over 5-1} = 31</math>
significa che 31 espresso in base 5 è uguale a ''111'' cioè un repunit R<submath>3R_3</submath>.
=== Proprietà ===
Prendendo in generale i repunit per ogni base è possibile stilarne le caratteristiche più salienti:
* Se ''a'' è multiplo di ''b'' allora anche R<sub>a</sub> è multipli di R<sub>b</sub>
In verità, i repunit in base 2 sono i rispettabili [[numero di Mersenne|numeri di Mersenne]] ''M''<sub>''n''</sub> = 2<sup>''n''</sup> −− 1. Il [[progetto Cunningham]] cerca di raccogliere le fattorializzazioni (fra l'altro) dei repunit in base 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11 e 12.
I primi repunit sono un sottoinsieme dei [[primo permutabile|primi permutabili]], cioè primi che rimangono tali dopo qualunque [[permutazione]] delle loro cifre.
La stima ovviamente non dà la base in cui il numero N è certamente il repunit cercato, ma dà l'unica base in cui sarebbe possibile esprimerlo come <math>R_n</math>; occorre dunque verificare tale base attraverso la formula generalizzata, e se il riscontro è negativo significa che comunque il numero non può essere espresso in forma di repunit con quel determinato ''n'', senza escludere con ciò la possibilità che ciò sia possibile in altre basi e ovviamente altri ''n''
== PrimiRepunit repunitprimi ==
{{vedi anche|Repunit (fattori)}}
Storicamente, la definizione dei repunit è stata motivata dalla ricerca, all'interno della matematica ricreativa, dei [[fattore primo|fattori primi]] di tali numeri.
Si può facilmente dimostrare che se ''n'' è divisibile per ''a'', allora ''R<sub>n</sub>'' è divisibile per ''R<sub>a</sub>''. Ad esempio 9 è divisibile per 3, e ''R<sub>9</sub>'' è divisibile per ''R<sub>3</sub>'': 111111111 = 111··1001001. Ne consegue che condizione necessaria perché ''R<sub>n</sub>'' sia primo è che ''n'' sia a sua volta un numero primo<ref>Non si tratta ovviamente di condizione sufficiente, come peraltro facilmente verificabile con un immediato controesempio: ''R<sub>3</sub>'' = 111 = 3··37.</ref>.
La sequenza dei primi repunit primi attualmente noti è [[OEIS:A004022|A004022]] dell'OEIS, mentre la più compatta sequenza delle loro lunghezze è la [[OEIS:A004023|A004023]] dell'OEIS. ''R<sub>49081</sub>'' (scoperto nel [[1999]] da Harvey Dubner<ref>H. Dubner, "Repunit R49081 is a probable prime," Math. Comp., 71:238 (2002) 833--835</ref>), ''R<sub>86453</sub>'' (scoperto nell'ottobre [[2000]] da Lew Baxter), ''R<sub>109297</sub>'' (scoperto anch'esso da Harvey Dubner e Paul Bourdelais nel marzo del [[2007]]) e ''R<sub>270343</sub>'' (scoperto nel [[luglio]] [[ 2007]] da Maksym Voznyy e Anton Budnyy) sono attualmente considerati [[primo probabile|primi probabili]], ovvero hanno sino ad ora superato molteplici [[Numero primo#Test di primalità|test di primalità]] pur mancando ancora una reale dimostrazione del fatto che siano effettivamente primi.<ref>[http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=57 The Top Twenty: Repunit<!-- Titolo generato automaticamente -->]</ref>. La primalità di ''R<sub>49081</sub>'' (scoperto nel [[1999]] da Harvey Dubner) è stata dimostrata da Paul Underwood nel [[2022]]
È stato congetturato che, benché estremamente rari, esistano infiniti numeri primi repunit primi<ref>[http://primes.utm.edu/glossary/page.php?sort=Repunit The Prime Glossary: repunit<!-- Titolo generato automaticamente -->]</ref>.
==Voci correlate==
* [[Numero a cifra ripetuta]] (repdigit)
* [[Repunit (fattori)|Tabella dei fattori]]
* [[11111 Repunit]] - [[asteroide]] scoperto nel [[1995]]
* [[Palindromi]]
* [[Numeri primi di Mersenne]]
== Collegamenti esterni == ▼* {{Collegamenti esterni}}
* [ httphttps://www.cerias.purdue.edu/homes/ssw/cun/third/pmain901 Le tavole principali] del [ httphttps://www.cerias.purdue.edu/homes/ssw/cun/ progetto Cunningham] ▼
▲==Collegamenti esterni==
* {{MathWorld|Repunit}}
▲* [http://www.cerias.purdue.edu/homes/ssw/cun/third/pmain901 Le tavole principali] del [http://www.cerias.purdue.edu/homes/ssw/cun/ progetto Cunningham]
* [http://primes.utm.edu/glossary/page.php?sort=Repunit I repunit] sulle [http://primes.utm.edu/ Prime Pages] di Chris Caldwell
* [http://www.worldofnumbers.com/repunits.htm I repunit ed i loro fattori primi] su [http://www.worldofnumbers.com World!Of Numbers]
{{Portale|matematica}}
[[Categoria:Matematica ricreativa]]
[[de:Repunit]]
[[en:Repunit]]
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[[fr:Répunit]]
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[[ru:Репьюниты]]
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