Repunit: differenze tra le versioni

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La sequenza dei repunit è [[1 (numero)|1]], [[11 (numero)|11]], [[111 (numero)|111]], 1111, 11111, ... (sequenza [[OEIS:A002275|A002275]] dell'[[On-Line Encyclopedia of Integer Sequences|OEIS]]).

== Generalizzazione ==

La definizione di repunit è un concetto che dipende dalla [[base (aritmetica)|base]] in cui il numero viene espresso; si pensi che ogni numero intero N può essere riscritto come 11 (''uno-uno'') se espresso in base N-1, ciò per un semplice motivo: un numero in un [[sistema posizionale]] può essere rappresentato con una [[serie geometrica]] di ragione la base di numerazione '''b''':

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:<math>R_n^{(b)}={b^n-1\over b-1}.</math>

Dove R sta per la rappresentazione in forma di repunit di un generico numero N in base B e con ''n'' cifre 1.<ref>Intuitivamente la formula può anche essere spiegata così: ogni repunit è immancabilmente anche un [[divisore]] di altri [[numero a cifra ripetuta|numeri a cifra ripetuta]], ivi compreso quello corrispondente alla cifra a^b-1, e siccome tale numero è anche l'[[antecedente (matematica)|antecedente]] di un multiplo di bⁿ, tale multiplo meno [[1 (numero)|uno]] e diviso a^b-1, cioè b -1, non può che essere un repunit di ''n'' cifre</ref> ad esempio:

:<math>R_3^{(5)}={5^3-1\over 5-1} = 31</math>

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* Se ''a'' è multiplo di ''b'' allora anche R_a è multipli di R_b

In verità, i repunit in base 2 sono i rispettabili [[numero di Mersenne|numeri di Mersenne]] ''M''_''n''&nbsp;=&nbsp;2^''n''&nbsp;&minus;−&nbsp;1. Il [[progetto Cunningham]] cerca di raccogliere le fattorializzazioni (fra l'altro) dei repunit in base 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11 e 12.

I primi repunit sono un sottoinsieme dei [[primo permutabile|primi permutabili]], cioè primi che rimangono tali dopo qualunque [[permutazione]] delle loro cifre.

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La stima ovviamente non dà la base in cui il numero N è certamente il repunit cercato, ma dà l'unica base in cui sarebbe possibile esprimerlo come <math>R_n</math>; occorre dunque verificare tale base attraverso la formula generalizzata, e se il riscontro è negativo significa che comunque il numero non può essere espresso in forma di repunit con quel determinato ''n'', senza escludere con ciò la possibilità che ciò sia possibile in altre basi e ovviamente altri ''n''

== PrimiRepunit repunitprimi ==

{{vedi anche|Repunit (fattori)}}

Storicamente, la definizione dei repunit è stata motivata dalla ricerca, all'interno della matematica ricreativa, dei [[fattore primo|fattori primi]] di tali numeri.

Si può facilmente dimostrare che se ''n'' è divisibile per ''a'', allora ''R_n'' è divisibile per ''R_a''. Ad esempio 9 è divisibile per 3, e ''R₉'' è divisibile per ''R₃'': 111111111&nbsp;=&nbsp;111&middot;·1001001. Ne consegue che condizione necessaria perché ''R_n'' sia primo è che ''n'' sia a sua volta un numero primo<ref>Non si tratta ovviamente di condizione sufficiente, come peraltro facilmente verificabile con un immediato controesempio: ''R₃''&nbsp;=&nbsp;111&nbsp;=&nbsp;3&middot;·37.</ref>.

La sequenza dei primi repunit primi attualmente noti è [[OEIS:A004022|A004022]] dell'OEIS, mentre la più compatta sequenza delle loro lunghezze è la [[OEIS:A004023|A004023]] dell'OEIS. ''R₄₉₀₈₁'' (scoperto nel [[1999]] da Harvey Dubner), ''R₈₆₄₅₃'' (scoperto nell'ottobre [[2000]] da Lew Baxter), ''R₁₀₉₂₉₇'' (scoperto da Harvey Dubner e Paul Bourdelais nel marzo del [[2007]]) e ''R₂₇₀₃₄₃'' (scoperto nel luglio [[ 2007]] da Maksym Voznyy e Anton Budnyy) sono attualmente considerati [[primo probabile|primi probabili]], ovvero hanno sino ad ora superato molteplici [[Numero primo#Test di primalità|test di primalità]] pur mancando ancora una reale dimostrazione del fatto che siano effettivamente primi.<ref>[http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=57 The Top Twenty: Repunit<!-- Titolo generato automaticamente -->]</ref>. La primalità di ''R₄₉₀₈₁'' (scoperto nel [[1999]] da Harvey Dubner) è stata dimostrata da Paul Underwood nel [[2022]]

È stato congetturato che, benché estremamente rari, esistano infiniti numeri primi repunit primi<ref>[http://primes.utm.edu/glossary/page.php?sort=Repunit The Prime Glossary: repunit<!-- Titolo generato automaticamente -->]</ref>.

==Note==

<references/>

==Voci correlate==

* [[Numero a cifra ripetuta]] (repdigit)

* [[Repunit (fattori)|Tabella dei fattori]]

* [[11111 Repunit]] - [[asteroide]] scoperto nel [[1995]]

* [[Palindromi]]

* [[Numeri primi di Mersenne]]

== Collegamenti esterni ==

==Note==

* {{Collegamenti esterni}}

<references/>

* [httphttps://www.cerias.purdue.edu/homes/ssw/cun/third/pmain901 Le tavole principali] del [httphttps://www.cerias.purdue.edu/homes/ssw/cun/ progetto Cunningham]

==Collegamenti esterni==

* {{MathWorld|Repunit}}

* [http://www.cerias.purdue.edu/homes/ssw/cun/third/pmain901 Le tavole principali] del [http://www.cerias.purdue.edu/homes/ssw/cun/ progetto Cunningham]

* [http://primes.utm.edu/glossary/page.php?sort=Repunit I repunit] sulle [http://primes.utm.edu/ Prime Pages] di Chris Caldwell

* [http://www.worldofnumbers.com/repunits.htm I repunit ed i loro fattori primi] su [http://www.worldofnumbers.com World!Of Numbers]