Repunit: differenze tra le versioni

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Nella [[matematica ricreativa]], un '''repunit''' è un (dall'[[numeroLingua inglese|inglese]], come 11, 111 o 1111, che contiene solo la cifra 1. Il termine viene dall"''inglese '''rep'''eated '''unit'''''", "''unità ripetuta", ed'') è statoun coniato[[numero nelintero]] 1966che dacontiene A.H.solo Beiler.la Un[[cifra]] [[primo1 repunit(cifra)|1]], ècome un11 repunito che1111111. èIl anchetermine unfu coniato da [[numeroAlbert primoBeiler]] nel [[1964]] nel suo libro ''Recreations in the Theory of Numbers''.

IIn [[base 10]], i repunit sono definiti matematicamente come:

==Definizione==

:<math>R_n={ 10^n-1 \over 9}\qquad\mbox{per }n\ge1.,</math>

I repunit sono definiti matematicamente come:

Pertantodove il numero ''R''<submath>''n''R_n</submath> è il numero in base 10 formato da ''n'' ripetizioni della cifra 1.

:<math>R_n={ 10^n-1 \over 9}\qquad\mbox{per }n\ge1.</math>

La sequenza dei repunit conè [[uno1 (numero)|1]],&nbsp; [[undici11 (numero)|11]],&nbsp; [[centoundici111 (numero)|111]],&nbsp; 1111, 11111, ... (sequenza [[OEIS:A002275|A002275]] dell'[[On-Line Encyclopedia of Integer Sequences|OEIS]]).

Pertanto il numero ''R''_''n'' è formato da ''n'' ripetizioni della cifra 1.

La sequenza dei repunit con [[uno|1]],&nbsp;[[undici|11]],&nbsp;[[centoundici|111]],&nbsp;1111,... (sequenza [[OEIS:A002275|A002275]] dell'[[On-Line Encyclopedia of Integer Sequences|OEIS]]).

== Generalizzazione ==

==[[Primo repunit|Primi repunit]]==

La definizione di repunit è un concetto che dipende dalla [[base (aritmetica)|base]] in cui il numero viene espresso; si pensi che ogni numero intero N può essere riscritto come 11 (''uno-uno'') se espresso in base N-1, ciò per un semplice motivo: un numero in un [[sistema posizionale]] può essere rappresentato con una [[serie geometrica]] di ragione la base di numerazione '''b''':

:<math>N = a_0 b^0 + a_1 b^1 + a_2 b^2 + \dots + a_{n-1} b^{n-1},</math>

Storicamente, la definizione dei repunit è stata motivata dalla ricerca, all'interno della matematica ricreativa, dei [[fattore primo|fattori primi]] di tali numeri. Wikipedia contiene una lista di [[Repunit (fattori)|fattorizzazioni di repunit]].

dove gli <math>a_i</math>, con <math>0 \le i < n</math>, rappresentano le n cifre presenti nella base '''b'''.

Si può mostrare facilmente che se ''n'' è divisibile per ''a'', allora ''R''_''n'' è divisibile per ''R''_''a''. Ad esempio, 9 è divisibile per 3, ed infatti ''R''₉ è divisibile per ''R''₃: 111111111&nbsp;=&nbsp;111&nbsp;&middot;&nbsp;1001001. Di conseguenza, perché ''R''_''n'' sia primo ''n'' deve necessariamente essere primo.

Se vogliamo che quindi un numero N sia rappresentato con 11, basta risolvere l'equazione: <math>N = 1 \cdot b^0 + 1 \cdot b^1</math> da cui <math>b = N - 1</math>, cioè:

Ma questo non è sufficiente; ad esempio ''R''₃&nbsp;=&nbsp;111&nbsp;=&nbsp;3&nbsp;&middot;&nbsp;37 non è primo.

:<math>N = 1 + N - 1 = 1 + (N - 1)^1.</math>

In [[base unaria]], ad esempio, ogni numero sarebbe rappresentato da tanti ''1'' quanto il valore di N:

Da questo segue che i repunit primi sono rari. ''R''_''n'' è primo per ''n''&nbsp;=&nbsp;2,&nbsp;19,&nbsp;23, 317, 1031, ... (sequenza [[OEIS:A004023|A004023]] dell'OEIS). ''R''₄₉₀₈₁ e ''R''₈₆₄₅₃ sono [[primo probabile|primi probabili]]. È stato congetturato che [http://primes.utm.edu/glossary/page.php?sort=Repunit esistano infiniti numeri primi].

* 2 = 11

* 3 = 111

* 6 = 111111

Risulta quindi evidente come non bisogna confondere la ''rappresentazione'' del numero con il ''[[numero]]'' stesso, che invece è un oggetto matematico che può trovare, a seconda delle convenzioni, diverse rappresentazioni; ciò nonostante, quando anche la rappresentazione ha una sua giustificazione, come in questo caso, può essa stessa essere fonte di proprietà matematiche fondate, proprietà come quelle dei repunit per i quali però conviene ragionare in termini generali, senza prendere a riferimento una [[base 10|precisa base]], come siamo soliti fare.

==Generalizzazioni==

Partendo dal concetto che la notazione posizionale di fatto deriva da una serie geometrica, come nel caso dei repunit, ha tutte le cifre uguale 1, aⁱ = 1, è possibile arrivare a questa formula:

I matematici professionisti solitamente considerano i repunit un concetto arbitrario, sostenendo che dipendono dall'uso del [[sistema numerico decimale]]. L'arbitrarietà può però essere risolta generalizzando l'idea ai '''repunit in base ''b'' ''':

:<math>R_n^{(b)}={b^n-1\over b-1}\qquad\mbox{per }n\ge1.</math>

Dove R sta per la rappresentazione in forma di repunit di un generico numero N in base B e con ''n'' cifre 1.<ref>Intuitivamente la formula può anche essere spiegata così: ogni repunit è immancabilmente anche un [[divisore]] di altri [[numero a cifra ripetuta|numeri a cifra ripetuta]], ivi compreso quello corrispondente alla cifra a^b-1, e siccome tale numero è anche l'[[antecedente (matematica)|antecedente]] di un multiplo di bⁿ, tale multiplo meno [[1 (numero)|uno]] e diviso a^b-1, cioè b -1, non può che essere un repunit di ''n'' cifre</ref> ad esempio:

In verità, i repunit in base 2 sono i rispettabili [[numero di Mersenne|numeri di Mersenne]] ''M''_''n''&nbsp;=&nbsp;2^''n''&nbsp;&minus;&nbsp;1. Il [[progetto Cunningham]] cerca di raccogliere le fattorializzazioni (fra l'altro) dei repunit in base 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11 e 12.

:<math>R_3^{(5)}={5^3-1\over 5-1} = 31</math>

significa che 31 espresso in base 5 è uguale a ''111'' cioè un repunit <math>R_3</math>.

=== Proprietà ===

Prendendo in generale i repunit per ogni base è possibile stilarne le caratteristiche più salienti:

* Ogni numero può essere scritto almeno sotto forma di due repunit <math>\scriptstyle{R_2^{(N-1)}}</math> (''11'') e <math>\scriptstyle{R_N^{(1)}}</math>

* In una base ''[[numero pari|pari]]'' i repunit sono soltanto numeri dispari; in base ''[[numero dispari|dispari]]'' i repunit sono numeri pari con ''n'' anch'esso pari, e numeri dispari ma con ''n'' a sua volta dispari. Questo significa che un numero pari può essere un repunit soltanto con base dispari e ''n'' pari.

* Siccome in ogni repunit la somma della cifre è uguale a ''n'', si ha la [[aritmetica modulare|congruenza]] <math>\scriptstyle{R_n^{(b)} \equiv n \pmod{b-1}}</math>.<br/>quindi significa che può essere riscritto come <math>\scriptstyle{R_n^{(b)} = (b-1)k + n}</math> e ciò può essere usato per scoprire, se è possibile, in quale base un numero può essere un repunit di tipo R_n.

* Se ''a'' è multiplo di ''b'' allora anche R_a è multipli di R_b

In verità, i repunit in base 2 sono i rispettabili [[numero di Mersenne|numeri di Mersenne]] ''M''_''n''&nbsp;=&nbsp;2^''n''&nbsp;&minus;−&nbsp;1. Il [[progetto Cunningham]] cerca di raccogliere le fattorializzazioni (fra l'altro) dei repunit in base 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11 e 12.

I primi repunit sono un sottoinsieme dei [[primo permutabile|primi permutabili]], cioè primi che rimangono tali dopo qualunque [[permutazione]] delle loro cifre.

== Determinare N in forma repunit ==

È già stato dimostrato che ogni numero può essere espresso come repunit in base N-1, ma è anche vero che ci sono teoricamente molteplici possibilità di esprimere lo stesso numero in forma di repunit, ovviamente in basi diverse e con ''n'' diversi. Determinare però in quale base un numero è, se lo è, un repunit <math>R_n</math>, non è sempre agevole, benché con la formula generalizzata sia possibile, e questo perché richiede di risolvere una [[equazione]] di grado uguale a ''n''; è possibile, però, sfruttare alcune delle proprietà per verificare almeno preventivamente se quel numero può essere un <math>R_n</math>.

Sappiamo infatti, per esempio, che se N è pari sarà repunit solo se anche ''n'' è pari, <math>R_{2i}</math>; che se N-''n'' è primo allora non potrà essere un <math>R_n</math>.<br/>Per trovare la base in cui quel numero potrebbe essere un repunit ci sono due modi (che non implicano direttamente un'equazione) ovvero cercarlo tra i possibili [[divisori]] di N-''n'', ricordando di aggiungere uno, oppure approssimando attraverso la formula generale, immaginando che per N grande giustamente anche b sarà grande nonostante ''n'', e quindi stimando l'eventuale in base:

:<math>b=\sqrt[n-1]{N}</math>

Si prende la parte intere della radice; anzi questa approssimazione risponde sorprendentemente bene anche per ''n'' grande con ''b'' piccolo, e non peggiora al crescere di ''n'' o del eventuale base.

La stima ovviamente non dà la base in cui il numero N è certamente il repunit cercato, ma dà l'unica base in cui sarebbe possibile esprimerlo come <math>R_n</math>; occorre dunque verificare tale base attraverso la formula generalizzata, e se il riscontro è negativo significa che comunque il numero non può essere espresso in forma di repunit con quel determinato ''n'', senza escludere con ciò la possibilità che ciò sia possibile in altre basi e ovviamente altri ''n''

== Repunit primi ==

{{vedi anche|Repunit (fattori)}}

Storicamente, la definizione dei repunit è stata motivata dalla ricerca, all'interno della matematica ricreativa, dei [[fattore primo|fattori primi]] di tali numeri. Wikipedia contiene una lista di [[Repunit (fattori)|fattorizzazioni di repunit]].

Si può mostrare facilmente dimostrare che se ''n'' è divisibile per ''a'', allora ''R''_''n'''' è divisibile per ''R''_''a''''. Ad esempio, 9 è divisibile per 3, ed infattie ''R''₉'' è divisibile per ''R''₃'': 111111111&nbsp;=&nbsp;111&nbsp;&middot;&nbsp;·1001001. DiNe conseguenza,consegue che condizione necessaria perché ''R''_''n'''' sia primo è che ''n'' devesia necessariamentea esseresua volta un numero primo<ref>Non si tratta ovviamente di condizione sufficiente, come peraltro facilmente verificabile con un immediato controesempio: ''R₃''&nbsp;=&nbsp;111&nbsp;=&nbsp;3·37.</ref>.

La sequenza dei repunit primi attualmente noti è [[OEIS:A004022|A004022]] dell'OEIS, mentre la più compatta sequenza delle loro lunghezze è la [[OEIS:A004023|A004023]] dell'OEIS. ''R₈₆₄₅₃'' (scoperto nell'ottobre [[2000]] da Lew Baxter), ''R₁₀₉₂₉₇'' (scoperto da Harvey Dubner e Paul Bourdelais nel marzo del [[2007]]) e ''R₂₇₀₃₄₃'' (scoperto nel luglio [[ 2007]] da Maksym Voznyy e Anton Budnyy) sono attualmente considerati [[primo probabile|primi probabili]], ovvero hanno sino ad ora superato molteplici [[Numero primo#Test di primalità|test di primalità]] pur mancando ancora una reale dimostrazione del fatto che siano effettivamente primi.<ref>[http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=57 The Top Twenty: Repunit<!-- Titolo generato automaticamente -->]</ref>. La primalità di ''R₄₉₀₈₁'' (scoperto nel [[1999]] da Harvey Dubner) è stata dimostrata da Paul Underwood nel [[2022]]

È stato congetturato che, benché estremamente rari, esistano infiniti numeri repunit primi<ref>[http://primes.utm.edu/glossary/page.php?sort=Repunit The Prime Glossary: repunit<!-- Titolo generato automaticamente -->]</ref>.

==Note==

<references/>

==Voci correlate==

* [[Numero a cifra ripetuta]] (repdigit)

* [[Repunit (fattori)|Tabella dei fattori]]

* [[11111 Repunit]] - [[asteroide]] scoperto nel [[1995]]

* [[Palindromi]]

* [[Numeri primi di Mersenne]]

== Collegamenti esterni ==

* {{Collegamenti esterni}}

*[http://mathworld.wolfram.com/Repunit.html I repunit su MathWorld]

* [httphttps://www.cerias.purdue.edu/homes/ssw/cun/third/pmain901 Le tavole principali] del [httphttps://www.cerias.purdue.edu/homes/ssw/cun/ progetto Cunningham]

* [http://primes.utm.edu/glossary/page.php?sort=Repunit I repunit] sulle [http://primes.utm.edu/ Prime Pages] di Chris Caldwell

* [http://www.worldofnumbers.com/repunits.htm I repunit ed i loro fattori primi] su [http://www.worldofnumbers.com World!Of Numbers]

{{Portale|matematica}}

[[Categoria:Matematica ricreativa]]

[[de:Repunit]]

[[en:Repunit]]

[[fr:Répunit]]

[[ja:レピュニット]]

[[ru:Репьюниты]]

[[zh:循環單位]]