Positive harmonic function: Difference between revisions

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Line 14:

Then

:<math> f_n(re^{i\theta}) = {1\over 2\pi}\int_0^{2\pi} {1-r^2\over 1-2r\cos(\theta-\varphi) + r^2 }\, f_n(\varphi)\,d\phivarphi =\int_0^{2\pi}{1-r^2\over 1-2r\cos(\theta-\varphi) + r^2 } d\mu_n(\varphi)</math>

where

Line 41:

Let

:<math> f(z)=1 + a_1b_1 z + a_2b_2 z^2 + \cdots</math>

be a holomorphic function on the unit disk. Then ''f''(''z'') has positive real part on the disk

Line 70:

==References==

*{{citation|title=Über den Variabilitätsbereich der Koeffizienten von Potenzreihen, die gegebene Werte nicht annehmen|journal= Math. Ann.|year=1907|volume= 64|pages=95–115|first=C.|last=Carathéodory|doi=10.1007/bf01449883|s2cid= 116695038|url=https://zenodo.org/record/1428260/files/article.pdf}}

*{{citation|last=Duren|first=P. L.|title=Univalent functions|series=Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften|volume= 259|publisher= Springer-Verlag|year= 1983|isbn= 0-387-90795-5}}

Univalent functions|series=Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften|volume= 259|publisher= Springer-Verlag|year= 1983|isbn= 0-387-90795-5}}

*{{citation|last=Herglotz|first=G.|title=Über Potenzreihen mit positivem, reellen Teil im Einheitskreis|journal=Ber. Verh. Sachs. Akad. Wiss. Leipzig|volume=63|pages= 501–511|year=1911}}

*{{citation|last=Pommerenke|first= C.|authorlink=Christian Pommerenke|title=Univalent functions, with a chapter on quadratic differentials by Gerd Jensen|series= Studia Mathematica/Mathematische Lehrbücher|volume=15|publisher= Vandenhoeck & Ruprecht|year= 1975}}