Funzione sinc: differenze tra le versioni

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[[ImmagineFile:Sinc function (both).svg|thumb|La funzione sinc normalizzata (blu) e quella non-normalizata normalizzata (rosso).]]

LaIn [[matematica]] la '''funzione sinc''' (o '''seno cardinale'''), indicata come <math>\mathrm{sinc}(x)</math> o, più raramente, con <math>\mathrm{Sa}(x)</math>, è usata in [[matematica]] e può essere definita in due modi.

La funzione sinc normalizzata, usata nell'[[elaborazione numerica dei segnali]] e nella [[teoria dell'informazione]] è definita come:

:<math>\mathrm{sinc}(x) = \begin{cases}\frac{\sin(\pi x)}{\pi x} &\text{ se } x \neq 0\, \\ 1 &\text{ se } x = 0 \end{cases}</math>

mentre la funzione sinc non- normalizzata, da molto tempo usata in parecchi ambiti è:

:<math>\mathrm{sinc}(x) = \begin{cases}\frac{\sin(x)}{x} &\text{ se } x \neq 0\, \\ 1 &\text{ se } x = 0 \end{cases}</math>

In entrambi i casi, il limite della funzione nelin punto<math>0</math> è 0uguale a <math>1</math>, checiò è unaimmediata conseguenza del calcolo del [[puntolimite di discontinuità|singolarità eliminabilenotevole]], calcolabilee attraversoquindi larisulta essere una [[regolapunto di dediscontinuità|singolarità l'Hôpitaleliminabile]], è pari ad 1. La sinc è quindi una [[funzione analitica]] ovunque.

== Proprietà ==

*La funzione sinc non- normalizzata assume il valore zero per multipli, non nulli, di π<math>\pi</math>; quella normalizzata per valori interi, sempre diversi da zero.

*I [[Massimo e minimo di una funzione|massimi e minimi locali]] per la funzione sinc non-normalizzata si trovano nei punti di intersezione con la [[funzione coseno]]. Quindi <math>\frac{\mathrm{sinc}sin(\xi)}{\xi} = \mathrm{cos}(\xi)</math> per ogni ξ<math>\xi</math> per cui la derivata di <math>\mathrm{sinc}sin(\xi)\over\xi</math> è nulla.

*La funzione sinc normalizzata può essere rappresentata come [[prodotto infinito]]:

:<math>\frac{\sin(\pi x)}{\pi x} = \prod_{n=1}^{+\infty} \left(1 - \frac{x^2}{n^2}\right)</math>

oppure utilizzando la [[funzione gamma]]

:<math>\frac{\sin(\pi x)}{\pi x} = \frac{1}{\Gamma(1+x)\Gamma(1-x)}</math>

*La [[trasformata di Fourier]] della funzione sinc normalizzata è pariuguale a <math>\mathrm{rect}(f)</math>

:<math>\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{sinc}(t) e^{-2\pi i f t} dt = \mathrm{rect}(f)</math>

dove la [[funzione rettangolo]] assume il valore unitario per argomenti tra <math>-\frac{1/}{2}</math> e <math>\frac{1/}{2}</math>. Questo integrale di Fourier include il caso speciale

:<math>\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sin(\pi x)}{\pi x} dx = \mathrm{rect}(0) = 1</math>

che è un [[integrale improprio]]. Poiché

:<math>\int_{-\infty}^{+\infty }\left|\frac{\sin(\pi x)}{\pi x} \right| dx = +\infty</math>

non si tratta di un [[integrale di Lebesgue]].

==Voci correlate==

* [[Seno (matematica)]]

* [[Teoria dei segnali]]

* [[pl:FunkcjaFiltro sinc]]

* [[Punto di discontinuità]]

* [[Integrale di Borwein]]

== Altri progetti ==

{{interprogetto}}

== Collegamenti esterni ==

* {{Collegamenti esterni}}

*{{MathWorld|SincFunction}}

{{Portale|Matematica}}

[[Categoria:Funzioni matematiche]]

[[Categoria:Funzioni matematiche|sinc]]

[[Categoria:Teoria dei segnali]]

[[Categoria:Trigonometria]]

[[de:Sinc-Funktion]]

[[en:Sinc function]]

[[es:Función sinc]]

[[fr:Sinus cardinal]]

[[he:Sinc]]

[[ja:Sinc関数]]

[[km:អនុគមន៍ស៊ីនុសកាឌីណាល់]]

[[ko:싱크함수]]

[[pl:Funkcja sinc]]

[[pt:Função sinc]]

[[ru:Sinc]]

[[sk:Sinc]]

[[sv:Sinc-funktionen]]

[[uk:Функція sinc]]

[[zh:Sinc函数]]