Particella libera: differenze tra le versioni

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In [[fisica]], in particolare in [[meccanica quantistica]], la '''particella libera''' è la descrizione di una [[particella non(fisica)|particella]] soggetta ad alcunun [[Potenziale scalare|potenziale]] costante, cioè quello in cui si considera una particella non soggetta a [[forza (fisica)|forze]].

<div style="float:right; width:16em; background:transparent;">{{voce complessa|Funzione d'onda|Energia potenziale|Hamiltoniana|Equazione di Schrödinger}}<br clear=all /></div>

In [[fisica]], in particolare in [[meccanica quantistica]], la '''particella libera''' è la descrizione di una particella non soggetta ad alcun potenziale.

==Caso unidimensionale==

L'[[equazione di ShrödingerSchrödinger]] dipendente dal tempo per la [[funzione d'onda]] di una particella libera è caratterizzata da un potenziale nullo, ed assume la forma:

{{vedi anche|Equazione di Schrödinger}}

L'equazione di Shrödinger dipendente dal tempo per la [[funzione d'onda]] di una particella libera è caratterizzata da un potenziale nullo, ed assume la forma:

:<math>i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi (x,t)

= -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} \psi (x,t)</math>

con la funzione d'onda preparata nello stato iniziale <math>\psi_psi(x,0)=\phi_k(x)</math>.<br>

La soluzione più generale nel caso di particella libera è il [[pacchetto d'onda]] in una dimensione:

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:<math>\int_{-\infty}^{\infty} |\psi(x,t)|^2 dx = 1</math>

che rappresenta il fatto che la probabilità di trovare la particella in qualche punto dello spazio (in questo caso siamo su una retta perché stiamo prendendo solo il caso unidimensionale, ma tutto ciò vale anche nel caso tridimensionale), deve essere 1 con certezza. Abbiamo inoltre stabilito che le funzioni accettabili come soluzioni dell'equazione di Schrödinger sono le funzioni definite in un [[campo vettoriale]] complesso e che siano a quadrato sommabili, cioè sia sempre verificata:

:<math>\int_{-\infty}^{\infty} |\psi(x,0)|^2 dx < \infty</math>

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===Autofunzioni===

{{vedi anche|Autofunzione}}

Nel caso di particella libera le autofunzioni dell'energia coincidono con le le autofunzioni dell'[[operatore impulso]], dal momento che i due operatori <math>\hat{H}</math> e <math>\hat{p}</math> [[commutatore (matematica)|commutano]], e possiedono quindi una base di [[Autostato|autostati]] comune.<br>

L'[[equazione di Schrödinger]] stazionaria per le autofunzioni di particella libera è in generale

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:<math>\phi_k(x) = A\,e^{i k x}+ B\,e^{-i k x},</math>

con ''A'',''B'' coefficienti reali arbitrari da determinarsi. Imponendo la [[condizione al contorno]] che l'autofunzione contenga solo una componente progressiva, si ottiene <math>B = 0</math> e

:<math>\phi_k(x) = A\,e^{i k x},</math>

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<ref>

Una possibile normalizzazione è fornita dalla rappresentazione di Fourier della [[Delta di Dirac]]

:<math>\int_{-\infty}^{\infty} dx \phi_{k^{\prime}}^{\ast} (x) \phi_{k} (x)

= \vert A \vert^2 \int_{-\infty}^{\infty} dx e^{i (k-k^{\prime}) x }

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===L'equazione di Schrödinger radiale===

{{Vedi anche|Moto in un campo centrale|Equazione di Schrödinger}}

L'equazione di Schrödinger radiale è:nel caso di particella libera per le autofunzioni dell'energia

:<math>\Psi_{k,l,m} = R(r) Y_{l,m} (\theta, \varphi)</math>

:<math>\left(-\frac{1}{2 m} \left[\frac{\hbar^2}{r^2} \frac{d}{d r} \left(r^2 \frac{d}{d r} \right) - \frac{l(l+1) \hbar^2}{r^2} \right] + V(r) \right) R (r) = E \cdot (r)</math>

dove <math>Y_{l,m}</math> sono le armoniche sferiche, ha la forma:

dove <math>l(l+1) \hbar^2</math> sono gli autovalori del momento angolare orbitale <math>\mathcal{L}</math>, si vede che <math>R_{E,l}</math> dipende anche da ''l'' ma non da ''m'', infatti non compare l'operatore <math>\mathcal{L}_z</math>.

:<math>\left(-\frac{1}{2 m} \left[\frac{\hbar^2}{r^2} \frac{d}{d r} \left(r^2 \frac{d}{d r} \right) - \frac{l(l+1) \hbar^2}{r^2} \right] + V(r) \right) R (r)Psi_{k,l,m} = E \cdot (r)Psi_{k,l,m}</math>

Nel caso di particella libera <math>V(r) = 0</math> per cui:

dove <math>l(l+1) \hbar^2</math> sono gli autovalori del momento angolare orbitale <math>\mathcal{L}</math>, si. vedeLa chefunzione <math>R_{E,l}</math> dipende anche da ''l'' ma non da ''m'', infatti non compare l'operatore <math>\mathcal{L}_z</math>.<br>

:<math>\left[\frac{d^2}{d r^2} + \frac{2}{r} - \frac{l(l+1)}{r^2} \right] R_{k,l} (r) + k^2 R_{k,l} (r) = 0</math>

Posto <math>R(r) = \frac{R_{k,l}(r)}{r}</math>, l'equazione per la parte radiale si può scrivere:

:<math>\left[- \frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{d r^2} + \frac{\hbar^2}{r} - \frac{l(l+1)}{2m r^2} \right] R_{k,l} (r) += k^2E R_{k,l} (r) = 0</math>

dove abbiamo per la particella libera <math>E>0</math> determinata

Le funzioni <math>R_{k,l}</math> dipendono da ''k'' e dal valore di ''l''.

:<math>k^2 = \frac{2 m E}{\hbar^2}</math>

quindi soluzioni nel continuo date da <math>\Psi_{k,l,m} = R_{k,l} (r) \cdot Y_{l,m} (\theta, \varphi)</math> dove <math>Y_{l,m}</math> sono le armoniche sferiche. A noi interessa solo la soluzione radiale <math>R_{k,l} (r)</math> con valore di ''l'' detreminato. Vediamo anche che le funzioni <math>R_{k,l}</math> dipendono da ''k'' definito prima oltre che dal valore di ''l''.

La normalizzazione delle funzioni d'onda sono date da:

:<math>\int_{0}^{\infty} \Psi_{k',l',m'}^{*} \Psi_{k,l,m} r^2 \, dr \,\int d \Omega = 2 \pi \delta_{l'l} \delta_{m'm} \delta (k'-k)</math>

come vuole la normalizzazione discreta (<math>d\Omega = d \theta d\varphi</math>) per ''l'' ed ''m'' data dalle [[autofunzioni del momento angolare]] e normalizzazione continua per ''k''. Per le funzioni radiali che ci interessano:

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:<math>\frac{d^3 \chi_{k,l}}{d r^3} + \frac{2 (l+1)}{r} \frac{d^2 \chi_{k,l}}{dr^2} + k^2 \frac{d\chi_{k,l}}{dr} - \frac{2 (l+1)}{r^2} \frac{d\chi_{k,l}}{dr} = 0</math>

cioè derivando si aggiunge un termine costante. Quindi se <math>\chi'_{k,l} = r \chi_{k, l+1}</math> l'equazione precedente si riduce

:<math>\frac{d^2 \chi_{k,l+1}}{d r^2} + \frac{2 (l+2)}{r} \frac{d \chi_{k,l+1}}{dr} + k^2 \chi_{k,l+1} = 0</math>

Riga 215 ⟶ 211:

:<math>j_0(x) = \frac{\sin x}{x}</math>

:<math>n_0(x) = -\frac{\cos x}{x}</math>

Riga 244 ⟶ 240:

:<math>j_l (x) = \sqrt{\frac{\pi}{2x}} J_{l+1/2} (x)</math>

Gli andmentiandamenti asintotici per <math>x \to 0</math>:

:<math>j_{l} (x) \simeq \frac{x^l}{(2 l + 1)!!}</math>

Riga 259 ⟶ 255:

=== Funzioni di Hankel sferiche ===

Le prime [[funzioni di Hankel sferiche]] per la particella libera sono:

A volte è utile esprimere le funzioni d'onda della particella libera <math>R_{k,l} (r)</math> in termini di [[Funzione di Hankel|funzioni di Hankel sferiche]] che sono date:

:<math>h_{l0}^{(1)} (x) = j_l (x) + i n_l (x)\frac{e^{ix}}{ix}</math>

:<math>h_{l}^{(2)} (x) = j_l (x) - i n_l (x) = [h_{l}^{(1)} (x)]^*</math>

Le prime funzioni di Hankel sono:

:<math>h_{0}^{(1)}(x) = \frac{e^{ix}}{ix}</math>

:<math>h_{1}^{(1)}(x) = - \frac{e^{ix}}{x} \left( 1 + \frac{i}{x} \right)</math>

Riga 286 ⟶ 276:

Così le funzioni radiali hanno comportamento asintotico:

:<math>R_{k,l}^{(1)} \simeq \frac{1}{kr} e^{i (kr - (l+1) \pi /2 )}</math>

Riga 296 ⟶ 286:

== Note ==

{{<references|2}}/>

== Bibliografia ==

*B.H. Bransden & C.J. Joachain - Physics of atoms and molecules

==Voci correlate==

Riga 304 ⟶ 297:

*[[Particella in una scatola]]

*[[Oscillatore armonico quantistico]]

{{Portale|meccanica quantistica}}

[[Categoria:Problemi unidimensionali]]

[[cs:Volná částice]]

[[de:Freies Teilchen]]

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