Differenza finita: differenze tra le versioni

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:<math>\Delta_{c,h} f(x)=f\left(x+c+\frac{h}{2}\right)-f\left(x+c-\frac{h}{2}\right) \qquad \forall c,h \in \R</math>

Si studiano principalmente trequattro tipi di differenze finite.:
* La '''differenza finita in avanti''' (forward difference):

:<math>\Delta_h f (x)= \Delta_{\frac h 2, h} f (x)=\Delta_h f (x)=\Delta f (x)=f(x+h)-f(x)</math>

e* laLa '''differenza finita centrataall'indietro''' (centralbackward difference):

:<math>\Delta_h f (x)= \Delta_{\frac h 2, h} f (x)=f(x+h)-f(x)</math>

:<math> \Delta_{-\frac h 2, h} f (x)= \Delta_{-\frac h} 2,f h}(x)= \nabla f(x)=f(x)-f(x-h)</math>

la* La '''differenza finita all'indietrocentrata''' (backwardcentral difference):

:<math>\Delta_{0,h} f(x)=\Delta_0 f (x)= \Delta_{0,h}delta f(x) =f\left(x+\frac{h}{2}\right)-f\left(x-\frac{h}{2}\right)</math>

* La '''differenza finita media''' (medium difference):

:<math> \Delta_{-h} f (x)= \Delta_{-\frac h 2, h} f(x)=f(x)-f(x-h)</math>

:<math>\Delta_{(0,h)/2} f(x)=\Delta_{1/2} f (x)=\mu\,f(x)=\frac{1}{2}\left[f\left(x+\frac{h}{2}\right)-f\left(x-\frac{h}{2}\right)\right]</math>

e la '''differenza finita centrata''' (central difference):

:<math>\Delta_0 f (x)= \Delta_{0,h} f(x)=f\left(x+\frac{h}{2}\right)-f\left(x-\frac{h}{2}\right)</math>

Le differenze finite sono centrali nell'[[analisi numerica]] per l'approssimazione delle [[derivata|derivate]] e quindi nella [[metodi di soluzione numerica per equazioni differenziali ordinarie|risoluzione numerica delle equazioni differenziali]].

==Relazione con le derivate==

{{vedi anche|Approssimazione numerica di una derivata}}

La [[derivata]] di una funzione <math>f</math> in <math>x</math> è definita come il [[limite di una funzione|limite]] del [[rapporto incrementale]]:

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e la stessa formula vale per la differenza finita all'indietro:

:<math> \frac{\nabla_hDelta_{-h}[f](x)}{h} - f'(x) = O(h) </math>

La differenza finita centrata, tuttavia, fornisce un'approssimazione più accurata. In tal caso l'errore è proporzionale al quadrato del passo <math>h</math>, (se la funzione è differenziabile con continuità due volte, ovvero la derivata seconda <math>f^{''}</math> è continua per ogni <math>x</math>):

:<math> \frac{\delta_hDelta_0[f](x)}{h} - f'(x) = O(h^{2})</math>

===Metodo alle differenze finite===

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==Operatore==

Un [[operatore (matematica)|operatore]] astratto agente su uno [[spazio funzionale]] che, data una funzione, ne restituisce la differenza finita con centro <math>c</math> e passo <math>h</math> si dice un ''operatore alle differenze''. Quello in avanti per esempio può essere espresso come:

:<math>\Delta_h =T_h - I</math>

dove <math>T_h</math> è l'[[operatore di shift|operatore di shift]] <math>T_h(f)=f(x+h)</math> e <math>I</math> l'[[funzione identità|identità]]. Similmente si possono descrivere gli altri due tipi.

Qualsiasi operatore alle differenze di quelli visti è [[trasformazione lineare|lineare]] e soddisfa la [[regola di Leibniz]].

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==Proprietà==

In analogia con le regole di derivazione, per un operatore alle differenze (insi avanti o all'indietro)ha:

* Se <math>c</math> è costante <math>\Deltaimplies\Delta_h c = 0{\,}</math>

* Linearità:

* Se <math>a</math> e <math>b</math> sono costanti (linearità):

:<math>\Delta Delta_h(a\alpha f + b \beta\,g) = a \,alpha\DeltaDelta_h f + b \beta\,\DeltaDelta_h g</math>con <math>\alpha</math> e <math>b</math> sono costanti.

Denotando con <math>\Delta</math> e <math>\nabla</math> rispettivamente gli operatori in avanti e all'indietro:

* Regola del prodotto:

:<math> \DeltaDelta_h (f g) = f \,\DeltaDelta_h g + g \,\DeltaDelta_h f + \DeltaDelta_h f \,\DeltaDelta_h g </math>

:<math> \nablaDelta_{-h} (f\cdot g) = f \,\nablaDelta_{-h} g + g \,\nablaDelta_{-h} f - \nablaDelta_{-h} f \,\nablaDelta_{-h} g </math>

* Regola del quoziente:

:<math>\nabla Delta_h\left( \frac{f}{g} \right) = \frac{1} {g} \det ,\begin{bmatrix}Delta_h \nablaf - f & \nabla,\Delta_h g \}{g\,(g f+ &\Delta_h g \end{bmatrix)} </math>

:<math>\Delta_{-h}\left( \det frac{\beginf}{bmatrixg} g &\right)= \nablafrac {g \,\Delta_{-h} 1f &- 1f \end,\Delta_{bmatrix-h} g}{g\,(g-\right)^Delta_{-1h} g)}</math>

:oppure:

:<math>\nabla\left( \frac{f}{g} \right)= \frac {g \,\nabla f - f \,\nabla g}{g \cdot (g - \nabla g)}</math>

:<math>\Delta\left( \frac{f}{g} \right)= \frac {g \,\Delta f - f \,\Delta g}{g \cdot (g + \Delta g)}</math>

* Regole di sommazione:

:<math>\sum_{n=a}^{b} \DeltaDelta_h f(n) = f(b+1)-f(a)</math>

:<math>\sum_{n=a}^{b} \nablaDelta_{-h} f(n) = f(b)-f(a-1)</math>

==Differenze finite di ordine superiore==

Si possono definire approssimazioni per le derivate di ordine successivo in modo iterativo.

Utilizzando ad esempio le differenze centrate per approssimare <math>f'(x+h/2) - f'(x-h/2)</math> otteniamo la differenza finita centrata del second'ordine:

:<math> \Delta_0^2 f (x) = f(x+h) - 2 f(x) + f(x-h)</math>

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==Generalizzazioni==

* Una differenza finita generalizzata è spesso definita come:

:<math>\Delta_h^\mualpha[f](x) = \sum_{k=0}^Nn \mu_kalpha_k f(x+kh)</math>

:dove <math>\mualpha = (\mu_0alpha_0,\ldots,\mu_Nalpha_n)</math> è il vettore dei suoi coefficienti. Un'ulteriore generalizzazione si ha quando la sommmasomma viene rimpiazzata da una serie infinita, ottenendo la ''differenza infinita''.

:Si possono anche rendere i coefficienti <math>\mu_kalpha_k</math> dipendenti dal punto <math>x</math>, ovvero <math>\mu_kalpha_k=\mu_kalpha_k(x)</math>, ottenendo così una differenza "pesata". Si può anche far dipendere <math>h</math> dal punto <math>x</math>, ovvero <math>h=h(x)</math>: ciò risulta utile ad esempio per definire diversi [[modulo di continuità|moduli di continuità]].

*L'operatore alle differenze si generalizza alla [[formula di inversione di Möbius]] su un [[insieme parzialmente ordinato]].

*L'operatore alle differenze si generalizza alla [[formula di inversione di Möbius]] su un [[insieme parzialmente ordinato]].

==Interpolazione di Newton==

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==Bibliografia==

* {{en}} Richtmeyer, D. and Morton, K.W., (1967). ''Difference Methods for Initial Value Problems'', 2nd ed., Wiley, New York.

* {{en}} {{citeCita booklibro|lastcognome=Levy|firstnome=H.|author2autore2=Lessman, F.|titletitolo=Finite Difference Equations|yearurl=https://archive.org/details/finitedifference0000levy|anno=1992|publishereditore=Dover|isbn=0-486-67260-3|lingua=en}}

* {{en}} Ames, W. F., (1977). ''Numerical Methods for Partial Differential Equations'', Section 1.6. Academic Press, New York. ISBN 0-12-056760-1.

* {{en}} Hildebrand, F. B., (1968). ''Finite-Difference Equations and Simulations'', Section 2.2, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey.

==Voci correlate==

* [[Approssimazione numerica di una derivata]]

* [[Derivata]]

* [[Equazione alle differenze]]

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* [[Serie di Taylor]]

* [[Teorema di Taylor]]

* [[Differenze divise]]

==Collegamenti esterni==