Formula di Grassmann: differenze tra le versioni

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== Enunciato ==

Sia <math> V </math> uno [[spazio vettoriale]] su un [[Campo_Campo (matematica)|campo]] <math>K</math> dotato di [[dimensione]] finita, cioè dotato di una [[base (algebra lineare)|base]] finita. Siano <math> W </math> e <math> U </math> due sottospazi di <math> V </math>. Indicando con <math> W+U </math> il [[sottospazio vettoriale|sottospazio somma]] di <math>W</math> e <math>U</math> dato da:<ref>{{Cita|S. Lang|Pag. 52|lang}}.</ref>

:<math> W + U := \{ \mathbf w+\mathbf u\ |\ \mathbf w \in W, \mathbf u \in U\} </math>

e con <math> W\cap U </math> il loro sottospazio intersezione, la formula di Grassmann afferma che:<ref>{{Cita|Hoffman, Kunze|Pag. 46|kunze}}.</ref>

:<math>\dim(W + U) = \dim(W) + \dim(U) - \dim(W \cap U)</math>

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La formula si dimostra individuando due basi per <math> W </math> e <math> U </math> che hanno in comune i vettori che costituiscono una base per la loro intersezione. Più precisamente, si prende una base <math> B </math> per <math> W\cap U </math>, e si [[completamento a base|completa]] ad una base <math> B \cup B_U </math> di <math> U</math>, e ad una base <math> B \cup B_W </math> di <math> W </math>. I vettori in:

:<math> B \cup B_U \cup B_W </math>

[[span lineare|generano]] lo spazio <math> U + W </math>, si verifica che sono indipendenti, e quindi sono una base per <math> U+ W </math>. Un conteggio degli elementi nelle quattrotre basi trovate fornisce la formula di Grassmann.

=== Verifica dell'indipendenza lineare ===

L'unico fatto che necessita di una dimostrazione approfondita è l'indipendenza dei vettori in:

:<math> B \cup B_U \cup B_W </math>

che viene mostrata nel modo seguente. Sia:

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:<math> \mathbf v + \mathbf u + \mathbf w = 0 </math>

Da questo segue che <math> \mathbf w = -\mathbf v-\mathbf u </math>, e poiché sia <math> \mathbf v </math> che <math> \mathbf u </math> appartengono a <math> U </math>, ne segue che anche <math> \mathbf w </math> appartiene a <math> U </math>. Quindi <math> \mathbf w </math> appartiene all'intersezione <math> U\cap W </math>, e si scrive come combinazione lineare di elementi di <math> B </math>. D'altra parte, come elemento di <math> W </math>, è descritto come combinazione lineare di elementi di <math> B \cup B_W </math>: poiché ogni elemento ha un'unica descrizione come combinazione lineare di elementi di una base, ne segue che entrambe queste combinazioni hanno tutti i coefficienti nulli. Quindi:

:<math> \gamma_1=\ldots=\gamma_t= 0, \quad \mathbf w=0 </math>

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Si consideri la funzione:

:<math>f\colon U \times W \to U + W \;\colon\; (u,w) \mapsto \mathbf u + \mathbf w </math>

che si verifica essere un'[[applicazione lineare]]. Si ha:

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== Bibliografia ==

* {{cita libro | cognome= Lang| nome= Serge | titolo= Algebra lineare| editore= Bollati Boringhieri| città= Torino| anno= 1992| isbn= 88-339-5035-2|cid =lang}}

* {{cita libro | cognome= Hoffman| nome= Kenneth |coautori= Ray Kunze| titolo= Linear Algebra| url= https://archive.org/details/linearalgebra00hoff_0| editore= Prentice - Hall, inc.| città= Englewood Cliffs, New Jersey| anno= 1971|ed = 2|isbn= 0-13-536821-9|cid =kunze}}

==Voci correlate==

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* [[Teorema della dimensione]]

== Collegamenti esterni ==

==Altri progetti==

* {{Collegamenti esterni}}

{{Wikilibro|Algebra lineare}}

{{Algebra lineare}}