Derivata parziale: differenze tra le versioni

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[[ImmagineFile:Totalni diferencial geom vyznam.svg|250pxupright=1.4|thumb|La pendenza della retta <math>t_1</math> è data dalla derivata parziale di <math>f</math> rispetto alla prima variabile in <math>(x_0,y_0)</math>. La pendenza della retta <math>t_2</math> è data dalla derivata di <math>f</math> rispetto alla seconda variabile nello stesso punto.]]

In [[analisi matematica]], la '''derivata parziale''' è una prima generalizzazione del concetto di [[derivata]] di una [[funzione di variabile reale|funzione reale]] alle funzioni di più variabili. Se per funzioni reali la derivata in un punto rappresenta la pendenza del [[grafico di una funzione|grafico]] della funzione (una [[curva (matematica)|curva]] contenuta nel [[piano cartesiano|piano]] <math>\R^2</math>), la derivata parziale in un punto rispetto alla (perad esempio) alla prima variabile di una funzione di <math>f(x</math> e <math>,y)</math> rappresenta la pendenza della retta tangente alla curva ottenuta intersecando il grafico di <math>f</math> (una [[superficie (matematica)|superficie]] contenuta nello [[spazio euclideo|spazio]] <math>\R^3</math>) con un piano passante per il punto e parallelo al piano <math>y=0</math>.

Come tecnica di calcolo, la derivata parziale di una funzione rispetto a una variabile <math>x</math> (lo stesso discorso può ripetersi per le altre variabili <math>y</math>, <math>z</math> ecc.) in un punto si ottiene derivando la funzione nella sola variabile <math>x</math>, considerando tutte le altre variabili come se fossero costanti.

== Definizione ==

Sia <math>\mathbf{F}: E \subset \R^n \rightarrow \R^m</math> una [[funzione (matematica)|funzione]] definita su un [[insieme aperto]] dello [[spazio euclideo]] <math>\R^n .</math>

Come per la derivata ordinaria la derivata parziale è definita come [[Limite di una funzione|limite]].

SiaDette <math>E\subseteq{\mathbbmathbf e_i\}_{R1 \le i \le n}^n </math> aperto. Consideriamo una [[funzione (matematica)|funzione]] di ''n'' variabilie <math>f(\vec{x\mathbf u_i\})=_{1 f(x_1,\le i x_2,\ldots,x_n)~:~E\to\mathbb{Rle m} </math>. Sile definisce[[base derivatacanonica|basi parzialecanoniche]] di <math>f\R^n </math> ine <math>\vec{x}\inR^m E</math> rispettivamente, rispettola allafunzione variabilepuò <math>k</math>-esimaessere <math>x_k</math>,scritta ilnel limite,seguente se esiste finito,modo:

:<math>

\frac{\partial f(\vec{x})}{\partial x_k}=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_1,x_2,\ldots,x_k+h,\ldots,x_n)-f(x_1,x_2,\ldots,x_n)}{h}

</math>

:<math>\mathbf{F}(\mathbf x ) = \sum_i^m F_i(\mathbf x ) \mathbf u_i \quad \mathbf x = (x_1,x_2, \ldots , x_n) \in E</math>

Tale limite è a volte chiamato limite del [[rapporto incrementale]] di <math>f</math> nel punto <math>\vec{x}</math> rispetto alla variabile <math>x_k</math>.

La componente <math>i</math>-esima della funzione è allora:

=== Derivate parziali in R² ===

Per chiarire le idee, consideriamo l'esempio più semplice, cioè una funzione ''f'' con [[dominio (matematica)|dominio]] in <math>\mathbb{R}^2</math>, insieme formato da tutte le [[coppia ordinata|coppie ordinate]] <math>(x,y)\;</math> con <math>x,y \in \mathbb{R}\;</math>, e con valori in <math>\mathbb{R}</math>. Tale funzione in ogni punto <math>\left( {x_{{\rm 0}{\rm ,}} y_{\rm 0} } \right)</math> del proprio dominio può avere due derivate parziali:

:<math>F_i(\mathbf x ) = \mathbf F(\mathbf x ) \cdot \mathbf u_i \quad 1 \le i \le m.</math>

* derivata parziale di ''f'' rispetto a x:

<math>

{f_x \left( {x_{{\rm 0}{\rm ,}} y_{\rm 0} } \right) = {{\partial f} \over {\partial x}}\left( {x_{{\rm 0}{\rm ,}} y_{\rm 0} } \right) = \mathop {\lim_{h \to 0}} {{f\left( {x_o + h,y_{\rm 0} } \right) - f\left( {x_{{\rm 0}{\rm ,}} y_{\rm 0} } \right)} \over h}}

</math>

*Si definisce derivata parziale di ''f''<math>F_i</math> rispetto aalla yvariabile <math>x_j</math> il limite:<ref name="WRudin">{{Cita|W. Rudin|Pag. 216|rudin}}.</ref>

<math>

{f_y \left( {x_{{\rm 0}{\rm ,}} y_{\rm 0} } \right) = {{\partial f} \over {\partial y}}\left( {x_{{\rm 0}{\rm ,}} y_{\rm 0} } \right) = \mathop {\lim_{k \to 0}} {{f\left( {x_o ,y_{\rm 0} + k} \right) - f\left( {x_{{\rm 0}{\rm ,}} y_{\rm 0} } \right)} \over k}}

</math>

:<math>\frac{\partial F_i (\mathbf {x})}{\partial x_j} = \lim_{t\to 0} \frac{F_i (\mathbf x + t\mathbf e_j) - F_i (\mathbf x)}{t} = \lim_{t\to 0} \frac{F_i (x_1,x_2, \dots x_j + t, \dots, x_n) - F_i (x_1,x_2, \dots , x_n)}{t}.</math>

Se entrambi i limiti esistono finiti, allora la funzione ''f'' si dice derivabile in <math>(x_0, y_0) \in \mathbb{R}^2</math>.

Il [[Vettore (matematica)|vettore]] che ha per componenti <math>

{f_x}\;</math> e <math>

{f_y}\;</math> è detto [[gradiente]] della funzione <math>f\;</math> in <math>(x_0, y_0)\;</math>

Tale limite è a volte chiamato limite del [[rapporto incrementale]] di <math>f</math> nel punto <math>\mathbf {x}</math>, e viene denotato anche con <math>D_jF_i</math>. La derivata parziale di una funzione, o nel caso di funzione vettoriale di una sua componente, si effettua quindi considerando le variabili diverse da quella rispetto a cui si vuole derivare come costanti e calcolandone il rapporto incrementale.

=== Derivata direzionale ===

La derivata parziale è un caso particolare di [[derivata direzionale]]. Usando questo concetto si può definire la derivata parziale come:

Se una funzione è [[funzione differenziabile|differenziabile]] in <math>\mathbf {x}</math>, allora tutte le derivate parziali esistono in <math>\mathbf {x}</math>,<ref name="WRudin" /> e determinano completamente l'[[applicazione lineare]] <math>\mathbf{L}:\R^n \rightarrow \R^m</math> che permette di approssimare la funzione nel punto:<ref>{{Cita|W. Rudin|Pag. 213|rudin}}.</ref>

:<math>\mathbf{F}(\mathbf{x}_0+\mathbf{h})-\mathbf{F}(\mathbf{x}_0) = \mathbf{L}(\mathbf{x}_0)\mathbf{h} + \mathbf r(\mathbf{h}) </math>

dove <math>\mathbf r(\mathbf{h})</math> si annulla all'annullarsi dell'incremento <math>\mathbf{h}</math>.

La trasformazione <math>\mathbf{L}</math> è rappresentata nella base canonica dalla [[matrice jacobiana]], ed è chiamata [[derivata]] della funzione in <math>\mathbf {x}</math>.

Il calcolo delle derivate parziali può essere svolto tramite il calcolo di derivate ordinarie. Supponendo di voler calcolare <math>\partial f(\mathbf x) / \partial x_k</math>, si definisce <math>\phi(t)=f(x_1,x_2,\ldots,x_k+t,\ldots,x_n)</math>. Allora:

:<math>\frac{\partial f}{\partial x_k}(\mathbf x) = \frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}t}(0).</math>

La derivata parziale di <math>f</math> in <math>x</math> rispetto a <math>x_k</math> è la derivata che si ottiene considerando la funzione come funzione della sola <math>x_k</math> e considerando costanti le rimanenti.

=== Derivate parziali in R² ===

Si consideri una funzione <math>f</math> con [[dominio (matematica)|dominio]] in <math>\mathbb{R}^2</math>, insieme formato da tutte le [[coppia ordinata|coppie ordinate]] <math>(x,y)</math> con <math>x,y \in \mathbb{R},</math> e con valori in <math>\mathbb{R}.</math> Tale funzione in ogni punto <math>\left( {x_{{\rm 0}{\rm ,}} y_{\rm 0} } \right)</math> del proprio dominio può essere derivata sia rispetto a <math>x</math>:

:<math>

\frac{\partialf_x f}{\partial( x_0, y_0 x_k}(\vec{x}) = \frac{\partial f}{\partial \vec vx}(\vecx_0, xy_0)

= \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h, y_0) - f(x_0, y_0)}h

</math>

sia rispetto a <math>y</math>:

con <math>\vec v=\vec e_k=(0,\ldots,1,\ldots 0)</math>, ovvero il [[versore]] <math>k-</math>esimo, cioè quel vettore che ha tutte le componenti nulle tranne la <math>k-</math>esima.

:<math>

== Notazioni ==

f_y ( x_0, y_0 ) = {\partial f \over \partial y}(x_0, y_0)

La notazione più comune fa uso del simbolo <math>\partial\,\!</math> simile alla <math>d\,\!</math> usata nella [[notazione di Leibniz]] per la [[derivata]] di funzioni di una variabile. Altre notazioni per indicare la derivata di <math>f(x,y)\,\!</math> rispetto alla prima variabile (<math>x\,\!</math>) sono:

= \lim_{k \to 0} \frac{f(x_0, y_0+ k) - f(x_0, y_0)}k

</math>

Se entrambi i limiti esistono finiti, allora la funzione <math>f</math> si dice derivabile in <math>(x_0, y_0) \in \mathbb{R}^2</math>. Il [[Vettore (matematica)|vettore]] che ha per componenti <math>{f_x}</math> e <math>{f_y}</math> è detto [[gradiente]] della funzione <math>f\;</math> in <math>(x_0, y_0)</math> e si indica

* <math>\partial_x f(x,y),\,\!</math>

* <math>f_x(x,y),\,\!</math>

\operatorname{grad}f=\nabla f=(f_x, f_y)

</math>

=== Derivata direzionale ===

* <math>\mathrm{D}_x f(x,y),\,\!</math>

La derivata parziale è un caso particolare di [[derivata direzionale]]. Usando questo concetto si può definire la derivata parziale come:

* :<math>\mathrmfrac{D\partial f}^{\partial x_k}(1,0)\mathbf {x})=\frac{\partial f}{\partial \mathbf v}(\mathbf x,y)\,\!</math>

con <math>\mathbf v=\mathbf e_k=(0,\ldots,0,1,0,\ldots,0)</math>, ovvero il [[versore]] <math>k</math>-esimo, cioè quel vettore, di modulo unitario, che ha tutte le componenti nulle tranne la <math>k</math>-esima che è uguale a <math>1</math>.

L'ultima notazione fa uso dei cosiddetti [[Notazione multi-indice|multiindici]].

== Notazioni ==

== Calcolo delle derivate parziali ==

{{vedi anche|Notazioni per la differenziazione}}

Il calcolo delle derivate parziali può essere svolto tramite il calcolo di derivate ordinarie. Infatti supponiamo di voler calcolare <math>\frac{\partial f(\vec x)}{\partial x_k}</math>. Definiamo <math>\,\!\phi(t)=f(x_1,x_2,\ldots,x_k+t,\ldots,x_n)</math>. Allora:

La notazione più comune fa uso del simbolo <math>\partial</math><ref>Il simbolo corrisponde alla "D" minuscola dell'alfabeto cirillico con grafia corsiva e si legge "de" (si veda [[Д]]).</ref> simile alla <math>d</math> usata nella [[notazione di Leibniz]] per la [[derivata]] di funzioni di una variabile. Altre notazioni per indicare la derivata di <math>f(x,y)</math> rispetto alla prima variabile (<math>x</math>) sono:

:<math>\frac{\partial f}{\partial x_k}(\vec x) = \frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}t}(0)</math>

:<math>\partial_x f(x,y) \qquad f_x(x,y) \qquad \mathrm{D}_x f(x,y) \qquad \mathrm{D}^{(1,0)} f(x,y)</math>

dove l'ultima notazione fa uso dei cosiddetti [[Notazione multi-indice|multiindici]].

È per questo che a parole si dice che la derivata parziale di <math>f</math> in <math>x</math> rispetto a <math>x_k</math> è la derivata che si ottiene considerando la funzione come funzione della sola <math>x_k</math> e considerando costanti le rimanenti.

==Derivate parziali di ordine superiore==

Le operazioni di derivazione possono essere applicate anche alle funzioni ottenute come derivate parziali di una data funzione. Si possono definire quindi derivate parziali di ordine superiore al primo.

Si distingue a questo punto tra derivate parziali ''pure'', quelle ottenute derivando ripetutamente sempre rispetto alla stessa variabile, e derivate parziali ''[[derivata mista|miste]]'', cioè quelle in cui le variabili di derivazione non sono sempre le stesse. Un' importante risultato, noto come [[teorema di Schwarz]], afferma che se le derivate miste di second'ordine sono [[funzione continua|continue]], allora l'ordine di derivazione è ininfluente (cioè derivare prima rispetto <math>x_i</math> e poi rispetto <math>x_j</math> porta allo stesso risultato di derivare prima rispetto a <math>x_j</math> e poi rispetto <math>x_i</math>).

==Continuità delle derivate parziali==

Se una [[Funzione (matematica)|funzione]] <math>f(\vecmathbf {x})\;</math> ha le derivate parziali prime [[funzione continua|continue]] nel suo dominio in <math>D \subseteq \R^n</math>, si dice che è una [[Funzione (matematica)|funzione]] di classe <math>C^1(D)\;</math> (si legge funzione di [[Classe C di una funzione|classe C uno]] in <math>D\;</math>).

In generale per un qualsiasi intero positivo ''<math>m''</math> se tutte le derivate parziali di ordine minore o uguale a ''<math>m''</math> della funzione sono [[funzione continua|continue]] nell'[[insieme di definizione]] ''<math>D''</math>, si dice che la ''<math>f''</math> è di classe <math>C^m(D)\;.</math>.

Un punto <math>P</math> di una superficie di equazione <math>F (x, y , z) = 0</math>, si dice [[punto semplice]] se le tre derivate parziali della funzione sono continue e non nulle. Se invece le derivate rispetto alle tre variabili sono nulle, oppure una non esiste, il punto si dice [[Punto singolare (matematica)|singolare]].

== Note ==

<references/>

==Bibliografia==

* [[Nicola Fusco (matematico)|Nicola Fusco]], [[Paolo Marcellini]], [[Carlo Sbordone]], ''Lezioni di Analisi Matematica Due'', Zanichelli, 2020, ISBN 9788808520203, capitolo 3.

* {{cita libro | cognome= Rudin| nome= Walter | titolo= Principi di analisi matematica | editore= McGraw-Hill | città= Milano | anno= 1991| isbn= 88-386-0647-1|cid =rudin}}

==Voci correlate==

*[[Continuità separata]]

*[[Derivata direzionale]]

*[[Derivata totale]]

*[[Differenziale (matematica)]]

*[[Gradiente]]

*[[Nabla]]

*[[Continuità separata]]

*[[Differenziale (matematica)|Differenziale]]

*[[Rotore (fisica)|Rotore]]

*[[Divergenza]]

*[[Equazione di Poisson]]

*[[Gradiente]]

*[[Laplaciano]]

*[[Nabla]]

*[[Rotore (fisica)]]

== Collegamenti esterni ==

* {{Collegamenti esterni}}

{{analisi matematica}}

{{Controllo di autorità}}

{{Portale|matematica}}

[[Categoria:Funzioni reali di più variabili reali]]

[[Categoria:Calcolo a più variabili]]

[[Categoria:CalcoloOperatori differenzialedifferenziali]]

[[Categoria:Operatori lineari]]

[[ar:مشتق جزئي]]

[[bg:Частна производна]]

[[ca:Derivada parcial]]

[[cs:Parciální derivace]]

[[de:Partielle Ableitung]]

[[en:Partial derivative]]

[[eo:Parta derivaĵo]]

[[es:Derivada parcial]]

[[eu:Deribatu partzial]]

[[fa:مشتق پاره‌ای]]

[[fi:Osittaisderivaatta]]

[[fr:Dérivée partielle]]

[[he:נגזרת חלקית]]

[[hu:Parciális derivált]]

[[id:Turunan parsial]]

[[is:Hlutafleiða]]

[[ja:偏微分]]

[[ko:편미분]]

[[lt:Dalinė išvestinė]]

[[nl:Partiële afgeleide]]

[[pl:Pochodna cząstkowa]]

[[pt:Derivada parcial]]

[[ro:Derivată parțială]]

[[ru:Частная производная]]

[[sk:Parciálna derivácia]]

[[sq:Derivati pjesor]]

[[sv:Partiell derivata]]

[[tr:Kısmi türev]]

[[uk:Часткова похідна]]

[[zh:偏导数]]