Insieme nullo (teoria della misura): differenze tra le versioni

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Nella [[teoria della misura]], un '''insieme nullo''' è un insieme trascurabile ai fini della [[misura (matematica)|misura]] usata. La classe degli insiemi nulli dipende dalla misura considerata. Quindi disi dovrebbe parlare di insiemi ''<math> ''m''\mu </math>-nulli'' per la data misura ''m''<math> \mu </math>.

''Il termine '''insieme nullo''' è talvolta usato come sinonimo di [[insieme vuoto]]. In altri casi, è usato nel senso più generale di [[insieme trascurabile]]''

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Nella [[teoria della misura]], un '''insieme nullo''' è un insieme trascurabile ai fini della [[misura (matematica)|misura]] usata. La classe degli insiemi nulli dipende dalla misura considerata. Quindi di dovrebbe parlare di insiemi '' ''m''-nulli'' per la data misura ''m''.

== Definizione ==

Sia <math> X </math> uno [[spazio misurabile]], sia <math> \mu </math> una misura su <math> X </math>, e sia <math> N </math> un [[insieme misurabile]] in <math> X </math>.

SiaSe <imath>X \mu </imath> unoè una [[spaziomisura misurabilepositiva]], siaallora <i>m</imath> una misura suN <i>X</imath>, eè sia <i>N</i> unnullo [[insiemese misurabilee solo se]] in <imath>X \mu (N)=0 </imath>.

Se <imath>m \mu </imath> non è una [[misura positiva]], allora <imath> N </imath> è <math> \mu </math>-nullo [[sse]]se la<math> suaN misura</math> è <imath>m ||\mu ||</imath>(-nullo, dove <imath>N || \mu || </imath>) è la [[0variazione (numero)|zerototale]] di <math> \mu </math>; questo è più forte che richiedere <math> \mu (N)=0 </math>.

Se <i>m</i> non è una misura positiva, allora <i>N</i> è <i>m</i>-nullo se <i>N</i> è |<i>m</i>|-nullo, dove |<i>m</i>| è la [[variazione totale]] di <i>m</i>; questo è più forte che richiedere <i>m</i>(<i>N</i>) = 0.

Un insieme non misurabile è considerato nullo se è un [[sottoinsieme]] di un insieme misurabile nullo.

Alcune fonti richiedono che un insieme nullo sia misurabile: comunque gli insiemi nulli sono sempre trascurabili per i fini della teoria della misura.

Parlando di insiemi nulli nell'[[spazio euclideo|''n''-spazio euclideo]] <bmath> \mathbb{R</b><sup><i>}^n </i></supmath> è di solito sottointesosottinteso che la misura usata è quella di [[misura di Lebesgue|Lebesgue]].

== Proprietà ==

L'[[insieme vuoto]] è sempre un insieme nullo.

Più in generale, ogni [[unione (insiemistica)|unione]] [[numerabile]] di insiemi nulli è nulla.

Ogni sottoinsieme misurabile di un insieme nullo è nullo.

Insieme, questi fatti mostrano che gli insiemi <imath>m \mu </imath>-nulli di <imath> X </imath> formano un [[sigma-ideale]] su <imath> X </imath>.

Allo stesso modo gli insiemi <imath>m \mu </imath>-nulli misurabili formano un sigma-ideale della [[sigma-algebra]] degli insiemi misurabili.

Quindi gli insiemi nulli possono essere interpretati come [[insieme trascurabile|insiemi trascurabili]], definendo una nozione di [[quasi ovunque]].

=== Nella misura di Lebesgue ===

Per la misura di Lebesgue su <bmath> \mathbb{R</b><sup><i>}^n </i></supmath>, tutti gli [[singleton (matematica)|insiemi di un punto]] sono nulli, e quindi tutti gli insiemi numerabili sono nulli.

In particolare, L'insieme <bmath> \mathbb{Q} </bmath> dei [[numero razionale|numeri razionali]] è un insieme nullo, nonostante sia [[denso (topologia)|denso]] in <bmath> \mathbb{R} </bmath>.

L'[[insieme di Cantor]] è un esempio di insieme nullo [[insieme non numerabile|non numerabile]] in <bmath> \mathbb{R} </bmath>.

Più in generale, un sottoinsieme <imath> N</i> di\subseteq <b>\mathbb{R} </bmath> è nullo se e solo se:

Per la misura di Lebesgue su <b>R</b>^<i>n</i>, tutti gli [[singleton (matematica)|insiemi di un punto]] sono nulli, e quindi tutti gli insiemi numerabili sono nulli.

: Dato un qualsiasi [[numero positivo]] &epsilon;<math> \varepsilon </math>, esiste una [[successione (matematica)|successione]] {<i>I</i><sub><imath> \{I_n\}_{n \in \mathbb{N}} </i></submath>} di [[intervallo (matematica)|intervalli]] tali che <imath> N </imath> è contenuto nell'unione degli <imath>I I_n </i><sub><i>n</i></submath> e la lunghezza totale degli <imath>I I_n </i><sub><i>n</i></submath> è minore di &epsilon;<math> \varepsilon </math>.

In particolare, L'insieme <b>Q</b> dei [[numero razionale|numeri razionali]] è un insieme nullo, nonostante sia [[denso (topologia)|denso]] in <b>R</b>.

Questa condizione può essere generalizzata a <bmath> \mathbb{R</b><sup><i>}^n </i></supmath>, usando <i>n</i>-[[Cubo (geometria)ipercubo|''n''-cubi]] al posto degli intervalli.

L'[[insieme di Cantor]] è un esempio di insieme nullo [[insieme non numerabile|non numerabile]] in <b>R</b>.

Più in generale, un sottoinsieme <i>N</i> di <b>R</b> è nullo se e solo se:

: Dato un qualsiasi [[numero positivo]] &epsilon;, esiste una [[successione]] {<i>I</i>_<i>n</i>} di [[intervallo (matematica)|intervalli]] tali che <i>N</i> è contenuto nell'unione degli <i>I</i>_<i>n</i> e la lunghezza totale degli <i>I</i>_<i>n</i> è minore di &epsilon;.

Questa condizione può essere generalizzata a <b>R</b>^<i>n</i>, usando <i>n</i>-[[Cubo (geometria)|cubi]] al posto degli intervalli.

Di fatto l'idea può essere resa sensata in ogni [[varietà topologica]], anche se non è disponibile una misura di Lebesgue.

== UtilitàApplicazioni ==

{{vedi anche|Spazio Lp|Spazio di misura}}

*Gli insiemi nulli giocano un ruolo chiave nella definizione dell'[[integrale di Lebesgue]]: se le funzioni ''f'' e ''g'' sono uguali ovunque tranne che in un insieme di misura nulla, allora ''f'' è integrabile se e solo se ''g'' lo è, e gli integrali sono uguali.

*Uno [[spazio di misura]] in cui tutti gli insiemi contenuti in un insieme nullo siano misurabili è detto '''completo'''.

Una misura in cui tutti tutti gli insiemi di misura nulla sono misurabili è ''[[misura completa|completa]]''.

Ogni misura non completa può essere completata andando a formare una misura completa, assumendo che gli insiemi nulli abbiano misura zero.

La misura di Lebesgue è un esempio di misura completa; in alcune costruzioni è definita come il completamento di una [[misura di Borel]] non completa.

==Bibliografia==

[[Categoria:Teoria della misura]]

* {{Cita libro

| cognome = Halmos

| nome = Paul R.

| wkautore = Paul Halmos

| anno = 1974

| titolo = Measure Theory

| url = https://archive.org/details/measuretheory00halm

| editore = Springer-Verlag

| città = New York

| isbn = 0-387-90088-8

}}

==Voci correlate==

*[[Teoria della misura]]

*[[Quasi ovunque]]

*[[Quasi certamente]]

== Collegamenti esterni ==

* {{Collegamenti esterni}}

{{Portale|matematica}}

[[de:Nullmenge]]

[[en:Null set]]

[[Categoria:Teoria della misura]]

[[fr:Ensemble de mesure nulle]]