Insieme nullo (teoria della misura): differenze tra le versioni

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Nella [[teoria della misura]], un '''insieme nullo''' è un insieme trascurabile ai fini della [[misura (matematica)|misura]] usata. La classe degli insiemi nulli dipende dalla misura considerata. Quindi si dovrebbe parlare di insiemi ''<math> ''m''\mu </math>-nulli'' per la data misura ''m''<math> \mu </math>.

== Definizione ==

Sia ''<math> X'' </math> uno [[spazio misurabile]], sia ''m''<math> \mu </math> una misura su ''<math> X'' </math>, e sia ''<math> N'' </math> un [[insieme misurabile]] in ''<math> X'' </math>.

Se ''m''<math> \mu </math> è una [[misura positiva]], allora ''<math> N'' </math> è nullo [[se e solo se]] la<math> sua\mu misura ''m''(''N'') è [[=0 (numero)|zero]]</math>.

Se ''m''<math> \mu </math> non è una misura positiva, allora ''<math> N'' </math> è ''m''<math> \mu </math>-nullo se ''<math> N'' </math> è <math> |''m''|\mu ||</math>-nullo, dove <math> |''m''| \mu || </math> è la [[variazione totale]] di ''m''<math> \mu </math>; questo è più forte che richiedere ''m''<math> \mu (''N'') = 0 </math>.

Un insieme non misurabile è considerato nullo se è un [[sottoinsieme]] di un insieme misurabile nullo.

Alcune fonti richiedono che un insieme nullo sia misurabile: comunque gli insiemi nulli sono sempre trascurabili per i fini della teoria della misura.

Parlando di insiemi nulli nell'[[spazio euclideo|''n''-spazio euclideo]] '''R'''<supmath>'' \mathbb{R}^n'' </supmath> è di solito sottinteso che la misura usata è quella di [[misura di Lebesgue|Lebesgue]].

== Proprietà ==

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Più in generale, ogni [[unione (insiemistica)|unione]] [[numerabile]] di insiemi nulli è nulla.

Ogni sottoinsieme misurabile di un insieme nullo è nullo.

Insieme, questi fatti mostrano che gli insiemi ''m''<math> \mu </math>-nulli di ''<math> X'' </math> formano un [[sigma-ideale]] su ''<math> X'' </math>.

Allo stesso modo gli insiemi ''m''<math> \mu </math>-nulli misurabili formano un sigma-ideale della [[sigma-algebra]] degli insiemi misurabili.

Quindi gli insiemi nulli possono essere interpretati come [[insieme trascurabile|insiemi trascurabili]], definendo una nozione di [[quasi ovunque]].

=== Nella misura di Lebesgue ===

Per la misura di Lebesgue su '''R'''<supmath>'' \mathbb{R}^n'' </supmath>, tutti gli [[singleton (matematica)|insiemi di un punto]] sono nulli, e quindi tutti gli insiemi numerabili sono nulli.

In particolare, L'insieme '''<math> \mathbb{Q'''} </math> dei [[numero razionale|numeri razionali]] è un insieme nullo, nonostante sia [[denso (topologia)|denso]] in '''<math> \mathbb{R'''} </math>.

L'[[insieme di Cantor]] è un esempio di insieme nullo [[insieme non numerabile|non numerabile]] in '''<math> \mathbb{R'''} </math>.

Più in generale, un sottoinsieme ''<math> N'' di\subseteq '''\mathbb{R'''} </math> è nullo se e solo se:

: Dato un qualsiasi [[numero positivo]] ε<math> \varepsilon </math>, esiste una [[successione (matematica)|successione]] {''I''<submath>'' \{I_n\}_{n'' \in \mathbb{N}} </submath>} di [[intervallo (matematica)|intervalli]] tali che ''<math> N'' </math> è contenuto nell'unione degli ''I''<submath>''n'' I_n </submath> e la lunghezza totale degli ''I''<submath>''n'' I_n </submath> è minore di ε<math> \varepsilon </math>.

Questa condizione può essere generalizzata a '''R'''<supmath>'' \mathbb{R}^n'' </supmath>, usando [[ipercubo|''n''-cubi]] al posto degli intervalli.

Di fatto l'idea può essere resa sensata in ogni [[varietà topologica]], anche se non è disponibile una misura di Lebesgue.

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{{vedi anche|Spazio Lp|Spazio di misura}}

*Gli insiemi nulli giocano un ruolo chiave nella definizione dell'[[integrale di Lebesgue]]: se le funzioni ''f'' e ''g'' sono uguali ovunque tranne che in un insieme di misura nulla, allora ''f'' è integrabile se e solo se ''g'' lo è, e gli integrali sono uguali.

*Uno [[spazio di misura]] in cui tutti tutti gli insiemi contenuti in un insieme nullo siano misurabili è detto '''completo'''.

Ogni misura non completa può essere completata andando a formare una misura completa, assumendo che gli insiemi nulli abbiano misura zero.

La misura di Lebesgue è un esempio di misura completa; in alcune costruzioni è definita come il completamento di una [[misura di Borel]] non completa.

==Voci correlate==

*[[Teoria della misura]]

*[[Quasi ovunque]]

*[[Quasi certamente]]

==Bibliografia==

* {{Cita libro

| cognome = Halmos

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| anno = 1974

| titolo = Measure Theory

| url = https://archive.org/details/measuretheory00halm

| editore = Springer-Verlag

| città = New York

| isbn = 0-387-90088-8

}}

==Voci correlate==

*[[Teoria della misura]]

*[[Quasi ovunque]]

*[[Quasi certamente]]

== Collegamenti esterni ==

* {{Collegamenti esterni}}

{{Portale|matematica}}