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[[File:SoftGravitonTheorem.svg|miniatura|[[Scattering]] di ''n'' particelle in entrata e ''m'' in uscita con un [[gravitone]] uscente aggiunto a una gamba in uscita.]]

In [[fisica]], il '''teorema del gravitone ''molle''''' (''soft'' in inglese), formulato la prima volta da [[Steven Weinberg]] nel 1965,<ref name=":0">{{Cita pubblicazione|nome=Steven|cognome=Weinberg|data=1965-10-25|titolo=Infrared Photons and Gravitons|rivista=Physical Review|volume=140|numero=2B|pp=B516–B524|accesso=2021-08-19|abstract=x|doi=10.1103/PhysRev.140.B516|url=https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRev.140.B516}}</ref> permette di calcolare la [[matrice S]], usata nel calcolo dell'esito degli [[Urto|urti]] tra [[Particella subatomica|particelle]], quando entrano in gioco [[Gravitone|gravitoni]] a bassa energia (''molli'').

In particolare, se in una [[Urto|collisione]] tra ''n'' particelle entranti da cui scaturiscono ''m'' particelle uscenti, l'esito della collisione dipende da una certa matrice ''S'', aggiungendo uno o più gravitoni uscenti(?)alle ''n + m'' particelle, la matrice ''S'' risultante (sia ''S''<nowiki/>') differisce dalla ''S'' iniziale soltanto per un fattore che non dipende in alcun modo, se non per il [[Quantità di moto|momento]], dal tipo di particelle a cui i gravitoni si accoppiano.<ref>{{Cita pubblicazione|autore=Temple He|autore2=Vyacheslav Lysov|autore3=Prahar Mitra|coautori=Andrew Strominger|titolo=BMS Supertranslations and Weinberg's Soft Graviton Theorem|url=https://arxiv.org/abs/1401.7026}}</ref>

Il teorema vale anche mettendo dei fotoni al posto dei gravitoni, ottenendo così un corrispondente '''teorema del fotone ''molle'''''.

Il teorema viene usato nell'ambito dei tentativi di formulare una teoria della [[gravità quantistica]] sotto forma di [[Teoria perturbativa (meccanica quantistica)|teoria quantistica perturbativa]],[?] cioè come approssimazione di una possibile, non ancora nota, teoria esatta della gravità quantistica,.<ref>{{Cita web|url=https://www.hri.res.in/~strings/verma.pdf|titolo=Soft Graviton Theorem in Generic Quantum

Theory of Gravity|autore=Mritunjay Verma|editore=Harish-Chandra Research Institute}}</ref>

Nel 2014 [[Andrew Strominger]] e Freddy Cachazo hanno esteso il teorema relativo al gravitone aggiungendo un termine che ne permette l'[[Teoria di gauge|invarianza di gauge]] per rotazioni, garantendo la conservazione globale del [[momento angolare]], invece dell'invarianza di gauge conseguente alla sola conservazione globale del [[Quantità di moto|momento lineare]], come nella versione scoperta da Weinberg. Tale estensione è associata all'effetto [[Effetto memoria gravitazionale|memoria gravitazionale di spin]].<ref>{{Cita libro|nome=Freddy|cognome=Cachazo|nome2=Andrew|cognome2=Strominger|wkautore2=Andrew Strominger|titolo=Evidence for a New Soft Graviton Theorem|url=https://arxiv.org/pdf/1404.4091|data=aprile 2014}}</ref>

== Formulazione ==

Date delle particelle la cui interazione è descritta da una certa matrice ''S'' iniziale, aggiungendo un gravitone molle (cioè la cui energia è trascurabile rispetto all'energia delle altre particelle) che si accoppia a una delle particelle in entrata o uscita(?), la risultante matrice ''S''<nowiki/>' è

<math>{\cal S}' = \sqrt{8\pi G} \frac{\eta p^\mu \cdot p^\nu \epsilon_{\mu\nu}}{p \cdot p_G - i \eta \varepsilon}{\cal S} + O(p_G^0)</math> ,<ref name=":0" /><ref name=":1">{{Cita libro|nome=Andrew|cognome=Strominger|titolo=Lectures on the Infrared Structure of Gravity and Gauge Theory|url=https://press.princeton.edu/books/hardcover/9780691179506/lectures-on-the-infrared-structure-of-gravity-and-gauge-theory|accesso=2023-01-18|data=2018-03-06|editore=[[Princeton University Press]]|lingua=en|pp=35-36|ISBN=978-0-691-17950-6}}</ref>

dove <math>p</math> è il momento della particella che interagisce con il gravitone, <math>p_G</math> è il momento del gravitone, <math>\epsilonepsilon_{\mu\nu}</math> è la sua [[Polarizzazione della radiazione elettromagnetica|polarizzazione]] e il fattore''  ''<math>\eta</math> è uguale a 1 per le particelle uscenti o ugualee a -1 per quelle entranti.

La formula deriva da uno [[Serie di potenze|sviluppo in serie]] e l'ultimo termine con la [[O-grande|O grande]] indica che termini di ordine superiore non sono considerati.

Se al posto del gravitone aggiungiamo un fotone molle (la cui energia è trascurabile rispetto all'energia delle altre particelle), la risultante matrice ''S''<nowiki/>' è

Nel caso di più gravitoni molli coinvolti, il fattore davanti a ''S'' è la somma dei fattori dovuti a ogni singolo gravitone.

<math>{\cal S}' = \frac{\eta q p \cdot \epsilon}{p \cdot p_\gamma - i \eta \varepsilon} {\cal S}</math> ,<ref name=":0" />

Se al posto del gravitone aggiungiamosi aggiunge un fotone molle (la cui energia è trascurabile rispetto all'energia delle altre particelle), la risultante matrice ''S''<nowiki/>' è

con gli stessi parametri di prima ma con <math>p_\gamma</math> momento del fotone, <math>\epsilon</math> la sua [[Polarizzazione della radiazione elettromagnetica|polarizzazione]] e <math>q</math> è la carica della particella accoppiata al fotone.

<math>{\cal S}' = \frac{\eta q p \cdot \epsilon}{p \cdot p_\gamma - i \eta \varepsilon} {\cal S} + O(p_\gamma^0)</math> ,<ref name=":0" /><ref name=":1" />

re-formulates scattering amplitudes of a set of finite energy external particles with one or more low energy external gravitons, in terms of the amplitude without the low energy gravitons.

con gli stessi parametri di prima ma con <math>p_\gamma</math> momento del fotone, <math>\epsilon</math> la sua [[Polarizzazione della radiazione elettromagnetica|polarizzazione]] e <math>q</math> è la carica della particella accoppiata al fotone.

In the classical limit, there is a different manifestation of the same theorem (2): here it determines the low frequency component of the gravitational wave-form produced during a scattering process in terms of the momenta and spin of the incoming and outgoing objects, without any reference to the interactions responsible for the scattering.

Come sopra, nel caso di più fotoni occorre sommare i corrispondenti termini.

=== Estensione al termine successivo ===

Weinberg’s soft graviton theorem [1] is a universal formula relating any S-matrix element in any quantum theory including gravity to a second S-matrix element which differs only by the addition of a graviton whose four-momentum is taken to zero. Remarkably, the formula is blind to the spin or any other quantum numbers of the asymptotic particles involved in the S-matrix element.

Volendo estendere lo sviluppo della formula al termine successivo [[Andrew Strominger]] e Freddy Cachazo hanno dimostrato che per il gravitone vale la seguente relazione:

<math>{\cal S}' = \sqrt{8\pi G} \frac{\eta p^\mu p^\nu \epsilon_{\mu\nu}}{p \cdot p_G - i \eta \varepsilon}{\cal S}-i\sqrt{8\pi G} \frac{\eta p^\mu ({p_G}_\rho J^{\rho\nu}) \epsilon_{\mu\nu}}{p \cdot p_G - i \eta \varepsilon}{\cal S} + O(p_G^1)</math>,

https://dash.harvard.edu/bitstream/handle/1/29374083/1401.7026.pdf;jsessionid=6392FB47A36DFFDF342EC0BC22893C9E?sequence=1

dove <math>J^{\rho\nu}</math>rappresenta il momento angolare della particella che interagisce con il gravitone.<ref>{{Cita libro|nome=Freddy|cognome=Cachazo|nome2=Andrew|cognome2=Strominger|wkautore2=Andrew Strominger|titolo=Evidence for a New Soft Graviton Theorem|url=https://arxiv.org/pdf/1404.4091|data=aprile 2014|pp=1-3|capitolo=1 .Introduction}}</ref>

''Consider an amplitude M involving some incoming and some outgoing particles. Now, consider the same amplitude with an additional soft-photon (''<math>\omega_{\text{photon}} \to 0</math>'') coupled to one of the particles. Call this amplitude M'. The two amplitudes are related by''

<math>{\cal M}' = {\cal M} \frac{\eta q p \cdot \epsilon}{p \cdot p_\gamma - i \eta \varepsilon}</math>

''where p is the momentum of the particle that the photon couples to,'' <math>\epsilon</math>'' is the polarization of the photon and'' <math>p_\gamma</math>'' is the momentum of the soft-photon.  ''<math>\eta = 1</math>''for outgoing particles and'' <math>\eta = -1</math>'' for incoming ones. Finally, q is the charge of the particle.''

[[:en:Francis_E._Low|F.E. Low]] per il fotone

the proportionality factor relating M and M' is independent of the type of particle that the photon couples to

[2] F. E. Low, “Scattering of light of very low frequency by systems of spin 1/2,” Phys. Rev. 96 (1954) 1428–32.

[4] F. E. Low, “Bremsstrahlung of very low-energy quanta in elementary particle collisions,”Phys. Rev. 110 (1958) 974–77.

[1] S. Weinberg, “Infrared photons and gravitons,” Phys. Rev. 140, B516 (1965); ibid “The Quantum theory of fields. Vol. 1: Foundations,” Cambridge, UK: Univ. Pr. (1995).

== Dimostrazione ==

(2) https://arxiv.org/abs/1912.06413

Il teorema si dimostra in base a uno [[Serie di potenze|sviluppo in serie]] del [[propagatore]] del [[Elettrodinamica quantistica#Diagrammi di Feynman|fotone]] o del gravitone aggiunto ad ogni linea esterna all'interazione primaria e descritta dalla matrice ''S'' iniziale.

Si consideri il caso di un gravitone uscente da una gamba (linea) esterna (fuori dall'area d'interazione), come in figura, di momento <math>p_G</math>. Il calcolo esatto dell'ampiezza d'interazione richiederebbe la conoscenza della teoria completa, ossia la gravità quantistica, ma alle basse energie si può utilizzare uno sviluppo in [[serie di Laurent]], utilizzando come [[Polo (analisi complessa)|polo]] tale momento e considerando solo il primo termine dello sviluppo. In base alle [[Formule di riduzione LSZ|regole LSZ]] per calcolare le ampiezze di scattering si possono utilizzare le relative [[Propagatore#Propagatori relativistici|funzioni di Green]] in [[Ordinamento sul cammino|ordinamento temporale]] amputando (quindi ignorando) le gambe esterne.

Ciò in pratica comporta che i calcoli procedano considerando solo i termini relativi al vertice e al propagatore (in base alla tecnica dei diagrammi di Feynman).

To derive this formula, let us take any scattering process with n incoming and

Weinberg re-immaginò la teoria quantistica dei campi da una prospettiva diversa, affermando il primato della relatività speciale, della meccanica quantistica e della nozione di particelle come punto di partenza. Nei suoi primi lavori ha studiato le forze a lungo raggio, come l'elettromagnetismo e la gravità, mediate da particelle senza massa, il fotone e il gravitone. Come tutte le particelle elementari, queste hanno un momento angolare intrinseco, o "spin", che si presenta in unità quantizzate: i fotoni hanno spin 1 e i gravitoni spin 2. Weinberg ha mostrato che la relatività speciale e la meccanica quantistica pongono restrizioni molto stringenti sulle interazioni delle particelle senza massa.

m outgoing particles and then consider adding to it one outgoing photon, denoted

Le particelle con spin 1 devono essere descritte da teorie le cui equazioni hanno la simmetria di gauge, mentre le particelle con spin 2 devono avere le proprietà del gravitone, con una forza di accoppiamento universale comune a tutte le particelle. Questo fornisce una derivazione più profonda del principio di equivalenza assunto da Albert Einstein come punto di partenza per sviluppare la relatività generale. Nessun'altra possibilità è coerente – le forze a lungo raggio che vediamo in natura esauriscono ciò che è permesso dalla relatività speciale e dalla meccanica quantistica.

by a wavy line in figure 2.5, with momentum q. (The derivation for an incoming

https://www.lescienze.it/news/2021/08/17/news/quanta_weinberg_fisico_teorico_teoria_quantistica_campi-4955567/

photon is similar.) In the soft limit, we can write the amplitude as a sum of two

types of terms, ones in which the soft photon attaches to an external line and others

in which the soft photon attaches to an internal line. The soft photon can attach to

any one of the n + m external lines, so we must include a '''sum over all such terms'''.

The full amplitude has a Laurent expansion in q with an infinite number of terms

whose detailed form depends on what theory we are talking about. '''For the pole we'''

'''need not specify what theory we are studying except that it has a photon'''. That is

one of the beauties of this formula.

The '''LSZ rule''' for computing scattering amplitudes starts out by computing

'''the time-ordered Green’s functions using the Feynman iε prescription and then'''

'''amputating the external legs.''' The Feynman diagrams have factors for vertices and

propagators. What happens when we attach the extra photon to an external leg is,

'''since external legs are amputated, we need only add a vertex and propagator for'''

'''the particle to whose external leg the photon is added'''. The '''difference between the'''

'''diagram with and without the attached external soft photon is just the vertex and'''

'''propagator.'''

Andrew Strominger - Lectures on the Infrared Structure of Gravity and Gauge Theory, p. 35

re-formulates scattering amplitudes of a set of finite energy external particles with one or more low energy external gravitons, in terms of the amplitude without the low energy gravitons.

In the classical limit, there is a different manifestation of the same theorem<ref>{{Cita (2)pubblicazione|nome=Arnab Priya|cognome=Saha|nome2=Biswajit|cognome2=Sahoo|nome3=Ashoke|cognome3=Sen|data=2020-04-23|titolo=Proof of the Classical Soft Graviton Theorem in D=4|rivista=arXiv:1912.06413 [gr-qc, physics:hep-th]|accesso=2023-05-02|url=http://arxiv.org/abs/1912.06413}}</ref>: here it determines the low frequency component of the gravitational wave-form produced during a scattering process in terms of the momenta and spin of the incoming and outgoing objects, without any reference to the interactions responsible for the scattering.

Weinberg’s soft graviton theorem<ref [1]name=":0" /> is a universal formula relating any S-matrix element in any quantum theory including gravity to a second S-matrix element which differs only by the addition of a graviton whose four-momentum is taken to zero. Remarkably, the formula is blind to the spin or any other quantum numbers of the asymptotic particles involved in the S-matrix element.

https://dash.harvard.edu/bitstream/handle/1/29374083/1401.7026.pdf;jsessionid=6392FB47A36DFFDF342EC0BC22893C9E?sequence=1

== Note ==