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Il teorema viene usato nell'ambito dei tentativi di formulare una teoria della [[gravità quantistica]] sotto forma di [[Teoria perturbativa (meccanica quantistica)|teoria quantistica perturbativa]], cioè come approssimazione di una possibile, non ancora nota, teoria esatta della gravità quantistica.<ref>{{Cita web|url=https://www.hri.res.in/~strings/verma.pdf|titolo=Soft Graviton Theorem in Generic Quantum

Theory of Gravity|autore=Mritunjay Verma|editore=Harish-Chandra Research Institute}}</ref>

Nel 2014 [[Andrew Strominger]] e Freddy Cachazo hanno esteso il teorema relativo al gravitone aggiungendo un termine che ne permette l'[[Teoria di gauge|invarianza di gauge]] per rotazioni, garantendo la conservazione globale del [[momento angolare]], invece dell'invarianza di gauge conseguente alla sola conservazione globale del [[Quantità di moto|momento lineare]], come nella versione scoperta da Weinberg. Tale estensione è associata all'effetto [[Effetto memoria gravitazionale|memoria gravitazionale di spin]].<ref>{{Cita libro|nome=Freddy|cognome=Cachazo|nome2=Andrew|cognome2=Strominger|wkautore2=Andrew Strominger|titolo=Evidence for a New Soft Graviton Theorem|url=https://arxiv.org/pdf/1404.4091|data=aprile 2014}}</ref>

== Formulazione ==

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<math>{\cal S}' = \sqrt{8\pi G} \frac{\eta p^\mu p^\nu \epsilon_{\mu\nu}}{p \cdot p_G - i \eta \varepsilon}{\cal S} + O(p_G^0)</math> ,<ref name=":0" /><ref name=":1">{{Cita libro|nome=Andrew|cognome=Strominger|titolo=Lectures on the Infrared Structure of Gravity and Gauge Theory|url=https://press.princeton.edu/books/hardcover/9780691179506/lectures-on-the-infrared-structure-of-gravity-and-gauge-theory|accesso=2023-01-18|data=2018-03-06|editore=[[Princeton University Press]]|lingua=en|pp=35-36|ISBN=978-0-691-17950-6}}</ref>

dove <math>p</math> è il momento della particella che interagisce con il gravitone, <math>p_G</math> è il momento del gravitone, <math>\epsilon_{\mu\nu}</math> è la sua polarizzazione e il fattore''  ''<math>\eta</math> è uguale a 1 per le particelle uscenti e a -1 per quelle entranti.

La formula deriva da uno [[Serie di potenze|sviluppo in serie]] e l'ultimo termine con la [[O-grande|O grande]] indica che termini di ordine superiore non sono considerati.

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Come sopra, nel caso di più fotoni occorre sommare i corrispondenti termini.

=== Estensione al termine successivo ===

== Dimostrazione ==

Volendo estendere lo sviluppo della formula al termine successivo [[Andrew Strominger]] e Freddy Cachazo hanno dimostrato che per il gravitone vale la seguente relazione:

Il teorema si dimostra in base a uno [[Serie di potenze|sviluppo in serie]] del [[propagatore]] del [[Elettrodinamica quantistica#Diagrammi di Feynman|fotone]] o del gravitone aggiunto ad ogni linea esterna all'interazione primaria e non nota.

<math>{\cal S}' = \sqrt{8\pi G} \frac{\eta p^\mu p^\nu \epsilon_{\mu\nu}}{p \cdot p_G - i \eta \varepsilon}{\cal S}-i\sqrt{8\pi G} \frac{\eta p^\mu ({p_G}_\rho J^{\rho\nu}) \epsilon_{\mu\nu}}{p \cdot p_G - i \eta \varepsilon}{\cal S} + O(p_G^1)</math>,

Infatti la formula completa richiederebbe un termin O(p⁰)

dove <math>J^{\rho\nu}</math>rappresenta il momento angolare della particella che interagisce con il gravitone.<ref>{{Cita libro|nome=Freddy|cognome=Cachazo|nome2=Andrew|cognome2=Strominger|wkautore2=Andrew Strominger|titolo=Evidence for a New Soft Graviton Theorem|url=https://arxiv.org/pdf/1404.4091|data=aprile 2014|pp=1-3|capitolo=1 .Introduction}}</ref>

[[:en:Francis_E._Low|F.E. Low]] per il fotone

[2] F. E. Low, “Scattering of light of very low frequency by systems of spin 1/2,” Phys. Rev. 96 (1954) 1428–32.

[4] F. E. Low, “Bremsstrahlung of very low-energy quanta in elementary particle collisions,”Phys. Rev. 110 (1958) 974–77.

== Dimostrazione ==

Il teorema si dimostra in base a uno [[Serie di potenze|sviluppo in serie]] del [[propagatore]] del [[Elettrodinamica quantistica#Diagrammi di Feynman|fotone]] o del gravitone aggiunto ad ogni linea esterna all'interazione primaria e nondescritta notadalla matrice ''S'' iniziale.

Si consideri il caso di un gravitone uscente da una gamba (linea) esterna (fuori dall'area d'interazione), come in figura, di momento <math>p_G</math>. Il calcolo esatto dell'ampiezza d'interazione richiederebbe la conoscenza della teoria completa, ossia la gravità quantistica, ma alle basse energie si può utilizzare uno sviluppo in [[serie di Laurent]], utilizzando come [[Polo (analisi complessa)|polo]] tale momento e considerando solo il primo termine dello sviluppo. In base alle [[Formule di riduzione LSZ|regole LSZ]] per calcolare le ampiezze di scattering si possono utilizzare le relative [[Propagatore#Propagatori relativistici|funzioni di Green]] in [[Ordinamento sul cammino|ordinamento temporale]] amputando (quindi ignorando) le gambe esterne.

Ciò in pratica comporta che i calcoli procedano considerando solo i termini relativi al vertice e al propagatore (in base alla tecnica dei diagrammi di Feynman).

To derive this formula, let us take any scattering process with n incoming and

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'''propagator.'''

Andrew Strominger - Lectures on the Infrared Structure of Gravity and Gauge Theory, p. 35

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re-formulates scattering amplitudes of a set of finite energy external particles with one or more low energy external gravitons, in terms of the amplitude without the low energy gravitons.

In the classical limit, there is a different manifestation of the same theorem<ref>{{Cita (2)pubblicazione|nome=Arnab Priya|cognome=Saha|nome2=Biswajit|cognome2=Sahoo|nome3=Ashoke|cognome3=Sen|data=2020-04-23|titolo=Proof of the Classical Soft Graviton Theorem in D=4|rivista=arXiv:1912.06413 [gr-qc, physics:hep-th]|accesso=2023-05-02|url=http://arxiv.org/abs/1912.06413}}</ref>: here it determines the low frequency component of the gravitational wave-form produced during a scattering process in terms of the momenta and spin of the incoming and outgoing objects, without any reference to the interactions responsible for the scattering.

Weinberg’s soft graviton theorem [1] is a universal formula relating any S-matrix element in any quantum theory including gravity to a second S-matrix element which differs only by the addition of a graviton whose four-momentum is taken to zero. Remarkably, the formula is blind to the spin or any other quantum numbers of the asymptotic particles involved in the S-matrix element.

Weinberg’s soft graviton theorem<ref [1]name=":0" /> is a universal formula relating any S-matrix element in any quantum theory including gravity to a second S-matrix element which differs only by the addition of a graviton whose four-momentum is taken to zero. Remarkably, the formula is blind to the spin or any other quantum numbers of the asymptotic particles involved in the S-matrix element.

https://dash.harvard.edu/bitstream/handle/1/29374083/1401.7026.pdf;jsessionid=6392FB47A36DFFDF342EC0BC22893C9E?sequence=1

''Consider an amplitude M involving some incoming and some outgoing particles. Now, consider the same amplitude with an additional soft-photon (''<math>\omega_{\text{photon}} \to 0</math>'') coupled to one of the particles. Call this amplitude M'. The two amplitudes are related by''

<math>{\cal M}' = {\cal M} \frac{\eta q p \cdot \epsilon}{p \cdot p_\gamma - i \eta \varepsilon}</math>

https://dash.harvard.edu/bitstream/handle/1/29374083/1401.7026.pdf;jsessionid=6392FB47A36DFFDF342EC0BC22893C9E?sequence=1

''where p is the momentum of the particle that the photon couples to,'' <math>\epsilon</math>'' is the polarization of the photon and'' <math>p_\gamma</math>'' is the momentum of the soft-photon.  ''<math>\eta = 1</math>''for outgoing particles and'' <math>\eta = -1</math>'' for incoming ones. Finally, q is the charge of the particle.''

the proportionality factor relating M and M' is independent of the type of particle that the photon couples to

[1] S. Weinberg, “Infrared photons and gravitons,” Phys. Rev. 140, B516 (1965);

ibid “The Quantum theory of fields. Vol. 1: Foundations,” Cambridge, UK: Univ. Pr. (1995).

(2) https://arxiv.org/abs/1912.06413

Weinberg re-immaginò la teoria quantistica dei campi da una prospettiva diversa, affermando il primato della relatività speciale, della meccanica quantistica e della nozione di particelle come punto di partenza. Nei suoi primi lavori ha studiato le forze a lungo raggio, come l'elettromagnetismo e la gravità, mediate da particelle senza massa, il fotone e il gravitone. Come tutte le particelle elementari, queste hanno un momento angolare intrinseco, o "spin", che si presenta in unità quantizzate: i fotoni hanno spin 1 e i gravitoni spin 2. Weinberg ha mostrato che la relatività speciale e la meccanica quantistica pongono restrizioni molto stringenti sulle interazioni delle particelle senza massa.

Le particelle con spin 1 devono essere descritte da teorie le cui equazioni hanno la simmetria di gauge, mentre le particelle con spin 2 devono avere le proprietà del gravitone, con una forza di accoppiamento universale comune a tutte le particelle. Questo fornisce una derivazione più profonda del principio di equivalenza assunto da Albert Einstein come punto di partenza per sviluppare la relatività generale. Nessun'altra possibilità è coerente – le forze a lungo raggio che vediamo in natura esauriscono ciò che è permesso dalla relatività speciale e dalla meccanica quantistica.

https://www.lescienze.it/news/2021/08/17/news/quanta_weinberg_fisico_teorico_teoria_quantistica_campi-4955567/

== Note ==