Anello noetheriano: differenze tra le versioni

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In [[algebra]], un '''anello noetheriano''' è un [[anello (algebra)|anello]] i cui [[ideale (matematica)|ideali]] sono finitamente generati. Questa proprietà per gli anelli costituisce un analogo della finitezza, e fu studiata per prima da [[Emmy Noether]], che la rilevò sugli [[anello dei polinomi|anelli di polinomi]].

== Definizione formale ==

Un anello <math>A</math> si dice neoetherianonoetheriano ''sinistro'' se soddisfa una delle seguenti condizioni equivalenti:

# ogni ideale sinistro <math>I</math> di <math>A</math> è finitamente generato, cioè esistono degli elementi <math>a_1, \ldots , a_n \in I</math> tali che <math>I = A a_1 + \ldots + A a_n + \mathbb{Z} a_1 + \ldots + \mathbb{Z} a_n</math><ref>Se l'anello è dotato di unità, la condizione si può scrivere più semplicemente <math>I = A a_1 + \ldots + A a_n</math></ref>

Line 21 ⟶ 22:

* l'anello dei [[numero intero|numeri interi]] <math>\mathbb{Z}</math>, in cui ogni ideale è [[ideale principale|principale]], cioè generato da un solo elemento;

* tutti i [[campo (matematica)|campi]]; un campo <math>C</math> ha infatti due soli ideali, <math>\{0\}</math> e sé stesso, <math>C = 1 C</math> (ovvero l'intero campo è generato dall'[[elemento neutro]] della moltiplicazione);

* l'anello dei [[polinomi]] in un numero finito di variabili, a [[coefficiente|coefficienti]] interi o appartenenti ad un campo.;

* un qualunque [[dominio ad ideali principali]].

Sono anelli non noetheriani:

Line 42 ⟶ 44:

# ogni famiglia non vuota di sottomoduli possiede un elemento massimale.

Esiste uno stretto legame tra anelli e sottomoduli noetheriani: infatti ogni anello noetheriano è anche un modulo noetheriano su sé stesso; inoltre un anello <math>A</math> è noetheriano sinistro (destro) [[se e solo se]] ogni <math>A-modulo</math> sinistro (destro) finitamente generato è noetheriano.

== Applicazioni ==

La proprietà di "finitezza" degli anelli noetheriani viene utilizzata nella [[teoria degli anelli]] e nella [[geometria algebrica]] per numerose applicazioni. Ad esempio, un insieme di infinite [[equazione polinomiale|equazioni polinomiali]] può essere rimpiazzato da un [[insieme finito]] di equazioni con le stesse soluzioni, grazie al fatto che l'anello dei polinomi su un campo è noetheriano; la riduzione è operata considerando l'ideale generato dai polinomi associati alle equazioni: i polinomi generatori dell'ideale, che sono in numero finito, hanno le stesse [[radice (matematica)|radici]] degli infiniti polinomi di partenza.

== Note ==

Line 57 ⟶ 59:

* [[Anello di Dedekind]]

* [[Teorema della base di Hilbert]]

== Collegamenti esterni ==

* {{Collegamenti esterni}}

{{Algebra}}

{{algebra commutativa}}

{{Portale|matematica}}

[[Categoria: Teoria degli anelli]]

[[ca:Anell noetherià]]

[[cs:Noetherovský okruh]]

[[de:Noetherscher Ring]]

[[en:Noetherian ring]]

[[es:Anillo noetheriano]]

[[fi:Noetherin rengas]]

[[fr:Anneau noethérien]]

[[he:חוג נותרי]]

[[ja:ネーター環]]

[[ko:뇌터 환]]

[[nl:Noetherse ring]]

[[pl:Pierścień noetherowski]]

[[pt:Anel noetheriano]]

[[ru:Нётерово кольцо]]

[[sv:Noethersk ring]]

[[uk:Кільце Нетер]]

[[zh:諾特環]]