Funzione liscia: differenze tra le versioni

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In [[matematica]], una '''funzione liscia''' in un punto del suo dominio è una [[funzione (matematica)|funzione]] che è [[funzione differenziabile|differenziabile]] infinite volte in tale punto, o equivalentemente, che è [[derivata parziale|derivabile]] infinite volte nel punto rispetto ad ogni sua variabile (per il [[teorema del differenziale totale]], infatti, una funzione è differenziabile in un punto se le sue derivate parziali sono ivi continue). Se una funzione <math>f</math> è liscia in tutti i punti di un insieme <math>A</math>, si dice che essa è di [[classe C di una funzione|classe]] <math>C^{\infty}</math> su <math>A</math>, e si scrive <math>f \in C^\infty(A)</math>.

{{S|analisi matematica}}

In [[matematica]] una '''funzione liscia''' è una [[funzione (matematica)|funzione]] che ammette [[derivata parziale|derivate parziali]] di qualsiasi ordine.

== Funzioni lisce e funzioni analitiche nel caso reale ==

Una funzione è detta di classe '''C''', o più comunemente '''C'''⁰, se è una [[funzione continua]]. Una funzione è di classe '''C'''¹ se ammette tutte le derivate parziali prime e queste sono funzioni continue. Una funzione è di [[Classe C di una funzione|classe C^''n'']] per ''n'' ≥ 1 se essa ha tutte le derivate parziali di ordine ''n'' continue.

{{vedi anche|Funzione analitica}}

Sia <math>f : D \to \R</math> una funzione reale di variabile reale definita su un dominio <math>D \subseteq \R</math>, e si supponga che <math>f</math> sia liscia sull'intervallo [[insieme aperto|aperto]] <math>I \subseteq D</math>. Preso allora un punto <math>x_0 \in I</math>, è possibile approssimare la funzione attorno a quel punto grazie al [[teorema di Taylor]]:

:<math>f(x) = f(x_0) + f^\prime(x_0)(x-x_0) + \dots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n + o((x-x_0)^n)</math>

Le funzioni lisce sono quelle che giacciono nella classe '''C'''^''n'' per tutti gli ''n''; ad esse vi si riferisce spesso anche come funzioni '''C'''^∞.

dove la quantità <math>o((x-x_0)^n)</math> è un resto tale che:

Per esempio la [[funzione esponenziale]] è evidentemente una funzione liscia, avendo derivate di qualsiasi ordine e pari a se stessa.

:<math>\lim_{x \to x_0}\frac{o((x-x_0)^n)}{(x-x_0)^n} = 0</math>

La funzione riportata in figura

:<math>f(x) = \begin{cases}e^{-1/(1-x^2)} & \mbox{ se } |x| < 1, \\ 0 &\mbox{ altrove }\end{cases}</math>

è un esempio di funzione liscia.

Poiché la funzione è liscia, questa approssimazione vale per ogni <math>n</math>. In particolare, è possibile valutare la [[serie di Taylor]] della funzione prendendo il limite per <math>n \to +\infty</math>:

[[File:Mollifier illustration.png|center]]

:<math>T_f(x) := f(x_0) + \sum_{k=1}^{+\infty}{\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k}</math>

A differenza di quanto ci si potrebbe aspettare, questa serie in generale non [[Convergenza|converge]] a <math>f(x)</math>: se la convergenza (puntuale) è verificata, si dice che <math>f</math> è ''[[Funzione analitica|analitica]]'' in <math>x_0</math>, e se <math>A</math> è l'insieme dei punti in cui <math>f</math> è analitica si scrive <math>f \in C^{\omega}(A)</math>. Poiché ogni funzione analitica è in particolare liscia, vale la relazione insiemistica:

:<math>C^{\omega}(A) \subset C^{\infty}(A)</math>

Un discorso analogo può essere fatto per le funzioni a più variabili reali.

=== Esempi ===

Per* esempio laLa [[funzione esponenziale]] è evidentemente una funzione liscia su tutto l'asse reale, avendo derivate di qualsiasi ordine, eciascuna parimultipla adi se stessa.:

:: <math>f(x) = e^{\alpha x} \Rightarrow f^{(n)}(x) = \alpha^n e^{\alpha x} \quad \forall x \in \R</math>

::Si dimostra che tale funzione è anche analitica su tutto l'asse reale, ossia la sua serie di Taylor converge a <math>e^{\alpha x}</math> per ogni <math>x</math> reale.

* La seguente [[funzione definita a tratti]]:

[[File:Mollifier illustration.png|thumb|upright=1.8|Una funzione liscia non è necessariamente analitica.]]

:: <math>f(x) = \begin{cases}e^\exp\Big(\frac{-1/(1-}{x^2)-1}\Big) & \mboxtext{ se } |x| < 1, \\ 0 &\mboxtext{ altrove }\end{cases}</math>

::è un esempio di funzione liscia ma non analitica sull'intero asse reale. Infatti, si consideri ad esempio il punto <math>x=1</math>: tutte le derivate destre della funzione in quel punto sono banalmente nulle, mentre le derivate sinistre valgono

:: <math>f^{(n)}{(1)} = \lim_{x \to 1^-}\exp\Big(\frac{1}{x^2-1}\Big)\frac{d^n}{dx^n}{(1-x^2)^{-1}} = 0</math>

::poiché l'esponenziale decresce più rapidamente di qualunque funzione algebrica. Dal momento che tutte le derivate sinistre e destre combaciano, la funzione è infinitamente derivabile (si dice anche che "si incolla bene") in <math>x=1</math>. Tuttavia, si vede anche che la serie di Taylor della funzione scritta attorno a tale punto risulta identicamente nulla, mentre <math>f</math> è non nulla in qualunque intorno sinistro di <math>x=1</math>; la funzione non è perciò analitica in tale punto.

== Funzioni lisce complesse ==

Nel caso di [[Funzione di variabile complessa|funzioni complesse di variabile complessa]], la liscezza in un punto (o su un insieme) discende direttamente dall'[[funzione olomorfa|olomorfia]] della funzione in tale punto (o su tale insieme). Per tale motivo si parla indifferentemente di "liscezza" o di "derivabilità" di una funzione complessa. In effetti, è possibile dimostrare che una funzione complessa olomorfa su un dominio è ivi addirittura analitica (vedi [[Equazioni di Cauchy-Riemann]]).

== Definizione per le varietà differenziabili ==

Siano <math>M,</math> e <math>N</math> [[varietà differenziabile|varietà differenziabili]] e ''<math>p''</math> un punto di ''<math>M''</math>. Una funzione <math>F:M\rightarrow N</math> è detta differenziabile in <math>p</math> (oppure liscia o di classe <math>C^\infty</math> in <math>p</math>) se esistono una [[Atlante (topologia)|carta]] <math>(U,\phi)</math> in <math>p</math> ed una carta <math>(V,\psi)</math> in <math>F(p)</math> tali che <math>F(U)\subset V</math> e la composizione:

:<math>F:M\rightarrow N</math>

è detta '''differenziabile''', o '''liscia''', o di '''classe <math>C^\infty</math>''' in ''p'' se esistono una [[varietà differenziabile|carta]] <math>(U,\phi )</math> in ''p'' ed una carta <math>(V,\psi )</math> in ''F(p)'' tali che <math>F(U)\subset V</math> e la composizione

:<math>\psi\circ\ F\circ \phi^{-1}:\phi (U)\rightarrow \psi (V)</math>

sia liscia in un [[intorno]] di <math>\phi (p)</math>.

:<math>\psi\circ\ F\circ \phi^{-1}:\colon\phi (U)\rightarrow \psi (V)</math>

Tale definizione non dipende dalle carte scelte: prendendo infatti altre carte <math>(U',\phi ' )</math>,<math>(V',\phi ')</math> la composizione <math>\psi '\circ\ F\circ \phi '^{-1}</math> rimane liscia in un intorno di <math>\phi (p)</math>.

sia liscia in un [[intorno]] di <math>\phi (p)</math>. Tale definizione non dipende dalle carte scelte: prendendo infatti altre carte <math>(U',\phi ' )</math>, e <math>(V',\phi ')</math> la composizione <math>\psi '\circ\ F\circ \phi '^{-1}</math> rimane liscia in un intorno di <math>\phi (p)</math>.

''F'' sarà detta '''differenziabile''', o '''liscia''', o di '''classe <math>C^\infty</math>''' se lo è per ogni ''p'' in ''M''. Se inoltre ''F'' è [[funzione inversa|invertibile]] con inversa liscia allora ''F'' si dirà un '''[[diffeomorfismo]]'''. Lo studio delle proprietà invarianti per diffeomorfismi è oggetto della [[topologia differenziale]].

''<math>F''</math> saràè detta '''differenziabile''', o '''(liscia''', o di '''classe <math>C^\infty</math>''') se lo è per ogni ''<math>p''</math> in ''<math>M''</math>. Se inoltre ''<math>F''</math> è [[funzione inversa|invertibile]] con inversa liscia allora ''<math>F''</math> si dirà un '''[[diffeomorfismo]]'''. Lo studio delle proprietà invarianti per diffeomorfismi è oggetto della [[topologia differenziale]].

== Costruire funzioni lisce tramite restrizioni ==

È spesso utile costruire funzioni lisce che sono nulle al di fuori di un dato [[intervallo (matematica)|intervallo]], ma non all'interno dello stesso; tale([[funzione a supporto compatto|funzioni a supporto compatto]]). Tale proprietà non si può mai avere per una [[serie di potenze]],<ref>Una ilserie chedi mostrapotenze ilè divario[[funzione traolomorfa|olomorfa]] lesul funzionisuo lisceinsieme di convergenza, e quellepertanto analitiche.può Ilammettere ivi solo zeri [[teoremapunto di Taylorisolato|isolati]].</ref>, nonil può,che pertanto,fornisce essereun'ulteriore applicatodimostrazione indel generaledivario pertra espanderele funzioni lisce e [[funzione analitica|funzioni analitiche]].

== Note ==

È spesso utile costruire funzioni lisce che sono nulle al di fuori di un dato [[intervallo (matematica)|intervallo]], ma non all'interno dello stesso; tale proprietà non si può mai avere per una [[serie di potenze]], il che mostra il divario tra le funzioni lisce e quelle analitiche. Il [[teorema di Taylor]] non può, pertanto, essere applicato in generale per espandere funzioni lisce.

<references />

==Bibliografia==

* Cartan, H. ''Cours de calcul différentiel, nouv. éd., refondue et corr.'' Paris: Hermann, 1977.

* S. Salsa, ''Equazioni a derivate parziali'', Springer-Verlag Italia, Milano, 2004. ISBN 88-470-0259-1

== Voci correlate ==

* [[Classe C di una funzione]]

* [[Funzione analitica]]

* [[Funzione di cutoff]]

* [[Funzione differenziabile]]

* [[Funzione olomorfa]]

* [[Partizione dell'unità]]

* [[Serie di Taylor]]

*[[Teorema di Taylor]]

==Collegamenti esterni==

* {{Collegamenti esterni}}

{{S|analisi matematica}}

{{Portale|matematica}}

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[[Categoria:Calcolo differenziale]]

[[Categoria:Funzioni reali di più variabili reali]]

[[de:Glatte Funktion]]

[[en:Smooth function]]

[[es:Función continuamente diferenciable]]

[[fi:Sileä funktio]]

[[fr:Classe de régularité]]

[[he:פונקציה חלקה]]

[[is:Þjált fall]]

[[ja:滑らかな関数]]

[[ko:매끈한 함수]]

[[nl:Gladde functie]]

[[no:Glatt funksjon]]

[[pl:Regularność funkcji]]

[[pt:Função suave]]

[[ru:Гладкая функция]]

[[sv:Glatt funktion]]

[[zh:光滑函数]]