Teoria di stringa bosonica: differenze tra le versioni
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All'inizio degli anni '70, con la scoperta della [[supersimmetria]], fu sviluppata la nuova versione della teoria detta [[teoria delle superstringhe]], che da allora è il nuovo riferimento, lasciando alla teoria di stringa bosonica solo il posto di modello di approccio alla teoria delle stringhe.
== Formulazione matematica ==
Questo paragrafo segue la trattazione delle lezioni del fisico David Tong.<ref>{{Cita web|url=https://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/string.html|titolo=David Tong: String Theory|accesso=2022-04-30}}</ref>
=== Azione di Nambu-Goto ===
L'[[azione di Nambu-Goto]], introdotta negli anni 1970 da [[Yōichirō Nambu]] e [[Tetsuo Gotō (fisico)|Tetsuo Gotō]], è la più semplice [[Azione (fisica)|azione]] della teoria delle stringhe; descrive una teoria di stringa bosonica (senza fermioni). Tuttavia, poiché la quantizzazione del cono di luce dell'azione di Nambu-Goto non è manifestamente covariante, è più conveniente usare l'[[Azione di Poljakov|azione di Polyakov]] che più complicata ma equivalente. Una particella puntiforme che si muove nello spazio-tempo descrive una curva unidimensionale, chiamata anche [[linea di universo]], o ''wordline'' in inglese. L'azione per una particella puntiforme relativistica è
:<math>S = -m \int \mathrm ds = -m \int \sqrt{-\eta_{\mu \nu} \mathrm \mathrm dX^{\mu} \, \mathrm dX^{\nu}} = -m \int \sqrt{-\eta_{\mu \nu} \tfrac {\mathrm dX^{\mu}}{\mathrm d\tau} \, \tfrac {\mathrm dX^{\nu}}{\mathrm d\tau}} \mathrm d\tau</math>
(dove il segno per il termine sotto il segno della radice è scelto in modo che il termine sotto la radice sia positivo per linee di universo di tipo tempo).
Analogamente, una stringa unidimensionale che si muove nello spazio-tempo descrive una superficie di universo bidimensionale, detta ''worldsheet''. La superficie del mondo di una stringa è descritta da una parametrizzazione <math>X^{\mu}(\tau,\sigma)</math> dove <math>\mu=0, 1, 2, \dots, d</math>, mentre <math>-\infty < \tau < \infty</math> può essere interpretato come il parametro temporale e <math>0 \leqslant \sigma \leqslant \sigma_{m}</math> parametrizza la stringa. Per le stringhe chiuse vale la condizione <math>X^{\mu}(\tau,\sigma)=X^{\mu}(\tau,\sigma+2\pi)</math>. Si definiscano i vettori tangenziali alla worldsheet <math>\mathrm dv_{1}^{\mu}=\tfrac{\partial X^{\mu}}{\partial \tau}\mathrm d\tau</math> e <math>\mathrm dv_{2}^{\mu}= \tfrac{\partial X^{\mu}}{\partial \sigma}\mathrm d\sigma</math>. Per descrivere la worldsheet, si può partire dalla nota formula per una superficie euclidea:
:<math>\begin{align}
\mathrm dA &= |\mathrm dv_{1}||\mathrm dv_{2}||{\sin \phi}|=|\mathrm dv_{1}||\mathrm dv_{2}|\sqrt{1-\cos^{2} \phi} = \sqrt{|\mathrm dv_{1}|^{2}|\mathrm dv_{2}|^{2}-|\mathrm dv_{1}|^{2}|\mathrm dv_{2}|^{2}\cos^{2}\phi}\\
&= \sqrt{\left(\mathrm dv_{1} \cdot \mathrm dv_{1}\right)\left(\mathrm dv_{2} \cdot \mathrm dv_{2}\right) - \left(\mathrm dv_{1} \cdot \mathrm dv_{2}\right)^{2}}
\end{align}</math>
Poiché il radicando è negativo nel caso delle stringhe, il segno deve essere cambiato semplicemente scambiando i termini; se ora si inseriscono i vettori tangenziali, questo porta a
:<math>A= \int \mathrm d\tau \mathrm d\sigma \sqrt{\left( \frac{\partial X^{\mu}}{\partial \tau} \frac{\partial X^{\mu}}{\partial \sigma}\right)^{2}-\left(\frac{\partial X^{\mu}}{\partial \tau}\right)^{2}\left(\frac{\partial X^{\mu}}{\partial \sigma}\right)^{2}} = \int \mathrm d\tau \mathrm d\sigma \sqrt{-\det \left( \frac{\partial X^{\mu}}{\partial \sigma_1} \frac{\partial X^{\nu}}{\partial \sigma_2} \eta_{\mu \nu} \right)}</math>
dove <math>\eta_{\mu \nu}</math> è il [[tensore metrico]].
Dopo aver moltiplicato per unità appropriate al fine di rendere il funzionale compatibile con un'azione, si ottiene l'azione di Nambu-Goto per stringhe relativistiche chiuse e aperte in uno spaziotempo <math>d</math>-dimensionale:
:<math>S = -\frac{T_s}{c} \int_{\tau_{i}}^{\tau_{f}} \mathrm d\tau \int_{0}^{\sigma_{m}} \mathrm d\sigma \sqrt{(\dot{X} \cdot X')^{2}-\dot{X}^{2}X'^{2}}</math>
dove <math>c</math> è la [[velocità della luce]] e <math>T_s</math> è la tensione della stringa. Inoltre:
:<math>L(\dot{X^{\mu}},X^{\mu'})=\sqrt{(\dot{X} \cdot X')^{2}-\dot{X}^{2}X'^{2}}</math>
in cui si sono usate le seguenti notazioni:
:<math>\dot{X}=\frac{\partial X^{\mu}}{\partial \tau}, \, X'=\frac{\partial X^{\mu}}{\partial \sigma}</math>
Da qui si ottengono i momenti coniugati:
:<math>P^{\tau}_{\mu}=\frac{\partial L}{\partial \dot{X^{\mu}}}=-\frac{T_{s}}{c} \frac{(\dot{X}\cdot X')X'_{\mu}-X'^{2}\dot{X}_{\mu}}{\sqrt{(\dot{X} \cdot X')^{2}-\dot{X}^{2}X'^{2}}}</math>
:<math>P^{\sigma}_{\mu}=\frac{\partial L}{\partial X^{\mu'}}=-\frac{T_{s}}{c} \frac{(\dot{X}\cdot X')\dot{X}_{\mu}-(\dot{X})^{2}X'_{\mu}}{\sqrt{(\dot{X} \cdot X')^{2}-\dot{X}^{2}X'^{2}}}</math>
L'azione di Nambu-Goto può essere riscritta in maniera da renderla manifestamente invariante per riparametrizzazioni con <math>\gamma = \det(\gamma_{\alpha \beta})</math>, im Detail
:<math>\gamma_{\alpha \beta}= \begin{pmatrix} \dot{X}^2 & \dot{X}X' \\ \dot{X}X' & X'^2 \end{pmatrix}</math>.
Questo porta a:
:<math>S= \frac{T_{s}}{c} \int \mathrm d\tau \mathrm d\sigma \sqrt{-\gamma}</math>
Questa forma dell'azione la rende facilmente generalizzabile a oggetti con più dimensioni delle stringhe, come le [[D-brana|D-brane]].
=== Azione di Polijakov ===
La radice quadrata nell'azione di Nambu-Goto rende più complicata la quantizzazione. Le difficoltà si risolvono passando all'azione di Polijakov:
:<math>S_{\sigma}= -\frac{T}{2} \int \mathrm d^{2}\sigma \ \sqrt{-h}h^{\alpha \beta} \partial_{\alpha}X \cdot \partial_{\beta}X</math>,
dove <math>h_{\alpha \beta}(\sigma, \tau)</math> è una metrica dinamica sulla worldsheet (<math>\mathrm d^{2}\sigma=\mathrm d \sigma \mathrm d\tau</math>). L'invarianza per riparametrizzazioni e l'invarianza di scala (propriamente l'invarianza di Weyl) permettono di scrivere tale metrica come la [[metrica di Minkowski]]:
:<math>h_{\alpha \beta}= \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}</math>
per cui l'azione si semplifica e prende la forma:
:<math>S= \frac{T}{2}\int \mathrm d^{2}\sigma \left(\dot{X}^{2} - X'^2\right)</math>
==== Simmetrie dell'azione di Polijakov ====
Si osserva che l'azione di Polijakov è invariante rispetto alle seguenti trasformazioni:
* [[Gruppo di Poincaré|Trasformazioni di Poincaré]]: una simmetria globale che agisce sulle coordinate della worldsheet come <math>\delta X^{\mu} = a^{\mu}_{\nu}X^{\nu}+b^{\mu}</math> con <math>\delta h^{\alpha \beta}=0</math>.
* Riparametrizzazioni: L'azione di Polyakov è classicamente equivalente all'azione di Nambu-Goto, quindi anche localmente invariante per riparametrizzazioni del tipo <math>\sigma^{\alpha} \mapsto f^{\alpha}(\sigma)=\sigma'^{\alpha}</math> e <math>h_{\alpha \beta}(\sigma) = \tfrac{\partial f^{\gamma}}{\partial \sigma^{\alpha}} \tfrac{\partial f^{\delta}}{\partial \sigma^{\beta}}h_{\gamma \delta}(\sigma')</math>.
* [[Trasformazione di Weyl|Trasformazioni di Weyl]]: trasformazioni locali della metrica per un fattore di scala: <math>h_{\alpha \beta} \mapsto e^{\phi(\sigma, \tau)}h_{\alpha \beta}</math> mentre le coordinate non variano: <math>\delta X^{\mu}=0</math>.
==== Equazione del moto e condizioni al contorno ====
Supponendo che il moto avvenga nello spaziotempo piatto di Minkowski, le equazioni del moto dell'azione di Polyakov sono un'[[equazione delle onde]] <math>\partial_\alpha \partial^{\alpha}X^{\mu}=0</math> per le coordinate <math>X^\mu</math>, mentre il vincolo per la metrica <math>h_{\alpha\beta}</math> è l'annullamento del [[tensore energia-impulso]].
Per una stringa chiusa si applicano ora le condizioni periodiche al contorno
:<math>X^{\mu}(\sigma, \tau)=X^{\mu}(\sigma + \pi, \tau)</math>.
Per una stringa aperta si possono applicare le [[condizioni al contorno di Neumann]], che lasciano gli estremi della stringa liberi di muoversi:
:<math>X'_{\mu} = 0</math> per <math>\sigma =0, \pi</math>,
per una stringa aperta con le [[condizioni al contorno di Dirichlet]], invece, i punti estremi sono fissati:
:<math>X^{\mu}|_{\sigma=0}= X^{\mu}_{0}</math> e <math>X^{\mu}|_{\sigma=\pi}= X^{\mu}_{\pi}</math>.
==== Soluzione dell'equazione del moto ====
Per trovare le soluzioni delle equazioni del moto, è adatta una formulazione in [[Coordinate del cono di luce|coordinate del cono-luce]], ovvero:
:<math>\sigma^{\pm} = \tau \pm \sigma</math>
che porta alla seguente equazione delle onde:
:<math>\partial_{+} \partial_{-} X^{\mu}=0</math>.
dove si sono definite le derivate
:<math>\partial_{\pm} = \frac{1}{2}(\partial_{\tau} \pm \partial_{\sigma})</math>
===== Stringa chiusa =====
La soluzione generale dell'equazione d'onda per stringhe chiuse con condizioni al contorno periodiche è data da
:<math>X^{\mu}_{R} = \frac{1}{2}x^{\mu}+ \frac{1}{2} l^{2}_{s} p^{\mu}(\tau - \sigma) + \frac{i}{2}l_{s} \sum_{n \neq 0} \frac{1}{n} \alpha^{\mu}_{n}e^{-2in(\tau-\sigma)}</math>
:<math>X^{\mu}_{L} = \frac{1}{2}x^{\mu}+ \frac{1}{2} l^{2}_{s} p^{\mu}(\tau + \sigma) + \frac{i}{2}l_{s} \sum_{n \neq 0} \frac{1}{n} \tilde{\alpha}^{\mu}_{n}e^{-2in(\tau+\sigma)}</math>,
dove si è usato il parametro <math>l_{s}=\alpha'</math> in luogo di <math>T = \tfrac{1}{2 \pi \alpha'}</math> per semplicità. La coordinata <math>X^{\mu}_{R}</math> è detta ''right-moving'' mentre <math>X^{\mu}_{L}</math> è detta ''left-moving''.
===== Stringa aperta =====
La soluzione generale dell'equazione d'onda per stringhe aperte con condizioni al contorno di Neumann è data da
:<math>X^{\mu}_{L} = \frac{1}{2}x^{\mu}+ \frac{1}{2} l^{2}_{s} p^{\mu}\tau + il_{s} \sum_{m \neq 0} \frac{1}{m} \alpha^{\mu}_{m}e^{im \tau}\cos(m \sigma)</math>.
dove <math>x^{\mu}</math> e <math>p^{\mu}</math> sono rispettivamente la posizione e l'impulso del [[centro di massa]] della stringa; i vari termini esponenziali descrivono gli stati eccitati.
solo il posto di modello di approccio alla teoria delle stringhe.
==Problemi==
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Questa alta dimensionalità non comporta problemi per la teoria bosonica, perché può essere formulata in modo tale che lo [[spaziotempo]] si arrotoli lungo le 22 dimensioni extra, formando una struttura [[toro (geometria)|toroidale]], che lascerebbe visibili solo le familiari quattro dimensioni dello spaziotempo.
== Note ==
<references />
==Bibliografia==
===Testi divulgativi===
* ''Particelle,stringhe e altro'' di Warren Siegel, [[Di Renzo Editore]] (2008), ISBN 88-8323-204-6.
* ''L'Universo Elegante'' di Brian Greene, Einaudi (2000), ISBN 88-06-15523-7.
* ''La Trama del Cosmo'' di Brian Greene, Einaudi (2004), ISBN 88-06-18091-6
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[[Categoria:Teoria delle stringhe]]
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