Controllo in feedback linearization: differenze tra le versioni

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Il '''controllo con linearizzazione in retroazione''' ('''feedback linearization''' in inglese) è una tecnica di base utilizzata nel [[controllo non lineare|controllo di sistemi non lineari]]. Quest'approccio consiste nella trasformazione di un sistema non lineare in un equivalente sistema lineare, grazie a un cambio di variabili e a un ingresso appositamente scelto. La feedbacklinearizzazione linearizationin retroazione può essere applicata a quei sistemi non lineari che possono essere riscritti nella seguente forma

:<math>\begin{align}\dot{x} &= f(x) + g(x)u \qquad &(1)\\

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che renda lineare la funzione ingresso-uscita tra il nuovo ingresso <math>v</math> e l'uscita <math>y</math>. A questo punto può essere applicata una classica strategia di controllo per sistemi lineari.

Si noti che a differenza di tecniche di linearizzazione classiche come l'[[serie di Taylor|espansione di Taylor]], che approssimano una funzione non lineare ad una lineare in un certo intorno, la feedbacklinearizzazione linearizationin retroazione trasforma esattamente il sistema a ciclo chiuso in un sistema lineare.

== FeedbackLinearizzazione linearizationin retroazione di sistemi SISO ==

Si consideri il caso di feedbacklinearizzazione linearizationin retroazione di un sistema ad un singolo ingresso e singola uscita ([[SISO]]). I risultati ottenuti possono comunque essere facilmente estesi al caso di sistemi con più ingressi e più uscite ([[Multiple-input and multiple-output|MIMO]]). Quindi, in questo caso, <math>u \in \mathbb{R}</math> e <math>y \in \mathbb{R}</math>. L'obiettivo è trovare una trasformazione di coordinate <math>z = T(x)</math> che porti il sistema (1) nella cosiddetta forma normale:

:<math>\dot{z} = Az+bv</math>

con

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grazie a una legge di controllo della forma

:<math>u = a(x) + b(x)v</math>.

Per assicurare che il sistema trasformato sia un'equivalente rappresentazione del sistema originale, la trasformazione dovrà essere un [[diffeomorfismo]]. Cioè, la trasformazione non solo deve essere invertibile (biettiva), ma sia la trasformazione che la sua inversa devono essere [[funzione liscia|lisce]] così che la differenziabilità nell'originale [[sistema di coordinate]] è preservato nel nuovo sistema. In pratica, la trasformazione può anche essere solo localmente diffeomorfa, ma naturalmente la linearizzazione risultante terrà solo localmente.

Prima di risolvere questo problema si devono introdurre una serie di strumenti matematici.

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=== Derivata di Lie ===

L'obiettivo della feedbacklinearizzazione linearizationin retroazione è produrre un sistema trasformato il cui stato è composto dall'uscita <math>y</math> e dalle sue prime <math>(n-1)</math> derivate. Per costruire la struttura di questo nuovo sistema, si utilizzeranno le [[Derivata di Lie|derivate di Lie]]. Si consideri la derivata rispetto al tempo di (2), che può essere calcolata grazie alla [[regola della catena]],

:<math>\begin{align}

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Considerando questa definizione di grado relativo e il significato della derivata di Lie di <math>y</math>, si può considerare che il grado relativo del sistema (1) e (2) sia il numero di volte che il vettore di uscita <math>y</math> deve essere differenziato prima che l'ingresso <math>u</math> appaia esplicitamente. In un [[sistema lineare tempo invariante]], il grado relativo è equivalentemente definito come la differenza tra il grado del denominatore polinomiale della funzione di trasferimento (cioè il numero di [[Polo (analisi complessa)|poli]]) e il grado del suo numeratore polinomiale (cioè il numero di [[Zero (analisi complessa)|zeri]]).

=== Linearizzazione attraverso illa feedbackretroazione ===

Si assuma che il grado relativo del sistema sia <math>n</math>. In questo caso, dopo aver differenziato l'uscita <math>n</math> volte si ha,

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\dot{z}_n &= v\end{cases}</math>

è una serie di <math>n</math> integratori a cascata. Una legge di controllo <math>v</math> può così essere scelta utilizzando classiche metodologie per sistemi lineari. Ad esempio, ununa legge di controllo del tipo

:<math>v = -Kz\qquad,</math>

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=== Dinamica zero instabile ===

La feedbacklinearizzazione linearizationin retroazione può essere utilizzata per sistemi il cui grado relativo è minore di <math>n</math>. Tuttavia la forma normale del sistema includerà la [[dinamica zero]] (cioè stati che non sono [[osservabilità|osservabili]] dall'uscita del sistema) che potrebbe essere instabile. Nel caso di una dinamica zero instabile, ci potrebbero essere degli effetti deleteri nel sistema, come stati interni che crescono illimitatamente. D'altra parte la dinamica zero potrebbe anche essere stabile o almeno [[controllabilità|controllabile]] così che si possa fare in modo che gli stati interni non causino problemi. Nel caso di grado relativo <math>r < n</math>, il sistema diventa:

<math>\begin{cases}\dot{z}_1 &= z_2\\

\dot{z}_2 &= z_3\\

&\vdots\\

\dot{z}_r &= v\\

\dot{\eta} &=q(z,\eta)

\end{cases}</math>

ove si è assunta una forma normale stretta. La dinamica zero è rappresentata dalla seguente equazione:

<math>\dot{\eta}=q(0,\eta)</math>

con un ingresso tale da azzerare l'uscita per ogni t.

== Bibliografia ==

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== Collegamenti esterni ==

* [http://www.ece.osu.edu/~passino/lab5prelabnlc.pdf ECE&nbsp;758: Modeling and Nonlinear Control of a Single-link Flexible Joint Manipulator] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20080723141150/http://www.ece.osu.edu/%7Epassino/lab5prelabnlc.pdf |date=23 luglio 2008 }}&nbsp;– (EN) Spiegazione e applicazione della feedback linearization.

* [http://wwwwww2.ece.osuohio-state.edu/~pavlict/ece758/lab5_nonlinearpassino/lab5_nonlinear_ball_tube_ex.pdf ECE&nbsp;758: Ball-inIn-Tube Linearization Example]&nbsp;– (EN) Semplice applicazione di linearizzazione per un sistema che è già in forma normale (cioè non è necessario un cambio di coordinate).

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