Versore: differenze tra le versioni

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{{F|matematica|luglio 2017}}

Ciao

In [[matematica]], un ''' versore''' è un [[vettore (matematica)|vettore]] in uno [[spazio normato]] di [[norma (matematica)|modulo]] uguale ad 1. Un versore è utilizzato per indicare una particolare direzione e verso.

Dato un qualunque vettore <math>\mathbf{v}</math> (diverso dal [[vettore nullo]] che è l'unico ad avere modulo pari a zero) è possibile formarne un versore moltiplicandolo per il reciproco del suo modulo:

== Esempi ==

:# <math>\hat{\mathbf{x v}},\ = \hatfrac{\mathbf{yv}},{\ \hat{lVert\mathbf{zv}\rVert} .</math>

Esempi di versori comunemente utilizzati sono:

* i versori associati agli [[assi cartesiani]] nello spazio: sono una terna di vettori di modulo unitario, ognuno parallelo ad uno degli assi coordinati. Sono indicati equivalentemente con:

:# <math>\hat{\imath},\ \hat{\jmath},\ \hat {k} </math>

:# <math>\mathbf{e}_x,\ \mathbf{e}_y,\ \mathbf{e}_z </math>

:# <math>\mathbf{e}_1,\ \mathbf{e}_2,\ \mathbf{e}_3 </math>

:# <math>\hat{\mathbf{x}},\ \hat{\mathbf{y}},\ \hat{\mathbf{z}} </math>

:# <math>\mathbf{x}_0,\ \mathbf{y}_0,\ \mathbf{z}_0 </math>

:# <math>\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\0 \end{bmatrix},\ \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\0 \end{bmatrix},\ \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\1 \end{bmatrix} </math>

== Esempi ==

* i versori associati agli assi cartesiani nel piano: analoghi dei precedenti. Sono indicati come i precedenti, con l'eccezione che il terzo versore è mancante.

Esempi di versori comunemente utilizzati sono:

* i versori associati ad un sistema di [[coordinate polari]] nel piano, che indicano la direzione radiale ed angolare. Si possono indicare con:

* iI versori associati agli [[assi cartesiani]] nello spazio: sono una terna di vettori di modulo unitario, ognuno parallelo ad uno degli assi coordinati. Sono indicati equivalentemente con:

:# <math>\hat{r},\ \hat{\theta} </math>

:*# <math>\hat{\mathbf{r}imath},\ \hat{\boldsymboljmath},\hat {\thetak}} ;</math>

:*# <math>\mathbf{e}_r_x,\ \mathbf{e}__y,\mathbf{\thetae} _z;</math>

:*# <math>\mathbf{re}_0_1,\ mathbf{e}_2,\boldsymbolmathbf{\thetae}_0 _3;</math>

:*# <math>\hat{\mathbf{ex}}_1,\ hat{\mathbf{ey}}_2,\ hat{\mathbf{ez}_3 };</math>

:*# <math>\mathbf{ex}_x_0,\ \mathbf{ey}_y_0,\ \mathbf{ez}_z _0;</math>

* Data una curva nel piano, per ogni punto di essa è possibile considerare il versore [[tangente (matematica)|tangente]] e il versore [[perpendicolarità|normale]]. Si indicano con:

:*# <math>\hatbegin{tbmatrix},\ 1 \\ 0 \\0 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\0 \hatend{nbmatrix},\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\1 \end{bmatrix}.</math>

* iI versori associati agli assi cartesiani nel piano: analoghi dei precedenti. Sono indicati come i precedenti, con l'eccezione che il terzo versore è mancante (e nel sesto caso sono presenti solo due componenti in ognuno dei due vettori rimanenti).

:# <math>\hat{\mathbf{t}},\ \hat{\mathbf{n}} </math>

* iI versori associati ad un sistema di [[coordinate polari]] nel piano, che indicano la direzione radiale ed angolare. Si possono indicare equivalentemente con:

:# <math>\mathbf{e}_t,\ \mathbf{e}_n </math>

:*# <math>\hat{r},\ \hat{\theta} ;</math>

*# <math>\hat{\mathbf{r}},\hat{\boldsymbol{\theta}};</math>

*# <math>\mathbf{e}_r,\mathbf{e}_{\theta};</math>

*# <math>\mathbf{r}_0,\boldsymbol{\theta}_0.</math>

* Data una curva nel piano, per ogni punto di essa è possibile considerare il versore [[tangente (matematica)|tangente]] e il versore [[perpendicolarità|normale]]. Si indicano conspesso nei seguenti tre modi equivalenti:

*# <math>\hat{t}, \hat{n};</math>

:*# <math>\mathbfhat{x}_0,\ \mathbf{yt}}_0,\ hat{\mathbf{zn}_0 };</math>

:*# <math>\mathbf{e}_t,\ \mathbf{e}_n .</math>

==Derivata di un versore==

{{vedi anche|derivata}}

Sia <math>\hat{\mathbf{v}}(t)</math> un versore dipendente dal tempo. Se consideriamo il [[prodotto scalare]] di questo vettore per se stesso abbiamo:

:<math>\hat{\mathbf{v}} \cdot \hat{\mathbf{v}} = \left|\hat{\mathbf{v}}\right|^2</math>

e ricordando che i versori hanno modulo unitario: si ha

:<math>\hat{\mathbf{v}} \cdot \hat{\mathbf{v}} = 1</math>

:# <math>\hat{\imathmathbf{v},} \ cdot \hat{\jmath},\ \hat mathbf{kv}} = 1.</math>

Prendendo quest'ultima espressione, e derivandola membro a membro rispetto al tempo otteniamo:

:<math>\hat{\mathbf{v}}' \cdot \hat{\mathbf{v}} + \hat{\mathbf{v}} \cdot \hat{\mathbf{v}}' = 0</math>

:<math>\hat{\mathbf{v}}' \cdot \hat{\mathbf{v}} + \hat{\mathbf{v}} \cdot \hat{\mathbf{v}}' = 10.</math>

Data la commutatività del prodotto scalare

Data la [[commutatività]] del prodotto scalare

:<math>2\left( \hat{\mathbf{v}}' \cdot \hat{\mathbf{v}} \right)=0</math>

:# <math>\hat{\mathbf{tv}},' \ cdot \hat{\mathbf{nv}} =0.</math>

Poiché deve essere nullo il prodotto scalare di <math>\hat{\mathbf{v}}'\cdot\hat{\mathbf{v}}</math>, si evince che la [[derivata]] di un versore è sempre [[perpendicolare]] al versore stesso. Ciò in quanto il prodotto scalare può anche essere visto come la [[proiezione (geometria)|proiezione]] di un vettore sull'altro, che si annulla [[se e solo se]] i due vettori sono appunto perpendicolari.

:<math>\hat{\mathbf{v}}' \cdot \hat{\mathbf{v}}=0</math>

Poiché deve essere nullo il prodotto scalare di <math>\hat{\mathbf{v}}'\cdot\hat{\mathbf{v}}</math>, si evince che la [[derivata]] di un versore è sempre [[perpendicolare]] al versore stesso. Ciò in quanto il prodotto scalare può anche essere visto come la [[proiezione (geometria)|proiezione]] di un vettore sull'altro, che si annulla se e solo se i due vettori sono appunto perpendicolari.

La derivata di un versore, in generale, non è un versore; per dimostrarlo basta considerare il generico versore in coordinate polari:

:<math>\hat{\mathbf{v}}(t) = \theta(t),\hat\theta + 1\,\hat{r}</math>

:<math>\hat{\mathbf{v}}'(t) \cdot= \theta(t),\hat{\mathbf{v}}theta + 1\hat{\mathbf{v}} \cdot ,\hat{\mathbf{vr}}' = 0,</math>

che in coordinate cartesiane diviene:

:<math>\hat{\mathbf{v}}(t) = \cos\left(\theta(t)\right)\,\hat{\imath} + \sin\left(\theta(t)\right)\,\hat{\jmath}.</math>

derivando rispetto a <math>t</math> si ottiene:

:<math>\hat{\mathbf{v}}'(t) = \theta'(t)(-\sin(\theta(t))\,\hat{\imath} + \cos(\theta(t))\,\hat{\jmath})</math>

derivandoDerivando rispetto a <math>t</math> si ottiene:

dove il termine

:<math>\hat{\mathbf{v}}'(t) = \theta'(t)(-\sin(\theta(t))\,\hat{\thetaimath} + 1\cos(\theta(t))\,\hat{r\jmath}),</math>

dove il termine

:<math>-\sin(\theta(t))\,\hat{\imath} + \cos(\theta(t))\,\hat{\jmath}</math>

è il versore ortogonale di modulo unitario,

è il versore ortogonale di modulo unitario, e dove il termine:

:<math>\theta'(t)</math>

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