Versore: differenze tra le versioni

Versione delle 20:56, 10 feb 2023

Versione attuale delle 12:01, 9 nov 2023

(Una versione intermedia di un altro utente non mostrate)

Riga 2:

In [[matematica]], un ''' versore''' è un [[vettore (matematica)|vettore]] in uno [[spazio normato]] di [[norma (matematica)|modulo]] uguale ad 1. Un versore è utilizzato per indicare una particolare direzione e verso.

Dato un qualunque vettore <math>\mathbf{v}</math> (diverso dal [[vettore nullo]] che è l'unico ad avere modulo pari a zero) è possibile formarne un versore moltiplicandolo per il reciproco del suo modulo:

:<math>\hat{\mathbf v} = \frac{\mathbf{v}}{\lVert\mathbf{v}\rVert}.</math>

Riga 9:

Esempi di versori comunemente utilizzati sono:

* I versori associati agli [[assi cartesiani]] nello spazio: sono una terna di vettori di modulo unitario, ognuno parallelo ad uno degli assi coordinati. Sono indicati equivalentemente con:

:*# <math>\hat{\imath},\hat{\jmath},\hat {k};</math>

:*# <math>\mathbf{e}_x,\mathbf{e}_y,\mathbf{e}_z;</math>

:*# <math>\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3;</math>

:*# <math>\hat{\mathbf{x}},\hat{\mathbf{y}},\hat{\mathbf{z}};</math>

:*# <math>\mathbf{x}_0,\mathbf{y}_0,\mathbf{z}_0;</math>

:*# <math>\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\0 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\0 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\1 \end{bmatrix}.</math>

* I versori associati agli assi cartesiani nel piano: analoghi dei precedenti. Sono indicati come i precedenti, con l'eccezione che il terzo versore è mancante (e nel sesto caso sono presenti solo due componenti in ognuno dei due vettori rimanenti).

* I versori associati ad un sistema di [[coordinate polari]] nel piano, che indicano la direzione radiale ed angolare. Si possono indicare equivalentemente con:

:*# <math>\hat{r},\hat{\theta};</math>

:*# <math>\hat{\mathbf{r}},\hat{\boldsymbol{\theta}};</math>

:*# <math>\mathbf{e}_r,\mathbf{e}_{\theta};</math>

:*# <math>\mathbf{r}_0,\boldsymbol{\theta}_0.</math>

* Data una curva nel piano, per ogni punto di essa è possibile considerare il versore [[tangente (matematica)|tangente]] e il versore [[perpendicolarità|normale]]. Si indicano spesso nei seguenti tre modi equivalenti:

:*# <math>\hat{t}, \hat{n};</math>

:*# <math>\hat{\mathbf{t}},\hat{\mathbf{n}};</math>

:*# <math>\mathbf{e}_t,\mathbf{e}_n.</math>

==Derivata di un versore==

Riga 40:

:<math>\hat{\mathbf{v}}' \cdot \hat{\mathbf{v}} + \hat{\mathbf{v}} \cdot \hat{\mathbf{v}}' = 0.</math>

Data la [[commutatività]] del prodotto scalare

:<math>2\left( \hat{\mathbf{v}}' \cdot \hat{\mathbf{v}} \right)=0</math>

:<math>\hat{\mathbf{v}}' \cdot \hat{\mathbf{v}}=0.</math>

Poiché deve essere nullo il prodotto scalare di <math>\hat{\mathbf{v}}'\cdot\hat{\mathbf{v}}</math>, si evince che la [[derivata]] di un versore è sempre [[perpendicolare]] al versore stesso. Ciò in quanto il prodotto scalare può anche essere visto come la [[proiezione (geometria)|proiezione]] di un vettore sull'altro, che si annulla [[se e solo se]] i due vettori sono appunto perpendicolari.

La derivata di un versore, in generale, non è un versore; per dimostrarlo basta considerare il generico versore in coordinate polari: