Versore: differenze tra le versioni

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{{F|matematica|luglio 2017}}

In [[matematica]], un ''' versore''' è un [[vettore (matematica)|vettore]] in uno [[spazio normato]] di [[norma (matematica)|modulo]] unitario, utilizzato per indicare una particolare direzione e verso.

In [[matematica]], un ''' versore''' è un [[vettore (matematica)|vettore]] in uno [[spazio normato]] di [[norma (matematica)|modulo]] uguale ad 1. Un versore è utilizzato per indicare una particolare direzione e verso.

Dato un qualunque vettore <math>\mathbf{v}</math> (diverso dal [[vettore nullo]] che è l'unico ad avere modulo pari a zero) è possibile formarne un versore moltiplicandolo per il reciproco del suo modulo:

Vengono spesso utilizzati i versori associati agli [[assi cartesiani]] nel piano

<math>\hat{\imath} = \left (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \right) \qquad </math>

<math>\hat{\jmath} = \left (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \right)</math>

:<math>\hat{\mathbf v} = \frac{\mathbf{v}}{\lVert\mathbf{v}\rVert}.</math>

e nello spazio tridimensionale

== Esempi ==

<math>\hat{\imath} = \left (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right) \qquad </math>

Esempi di versori comunemente utilizzati sono:

<math>\hat{\jmath} = \left (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right) \qquad </math>

* I versori associati agli [[assi cartesiani]] nello spazio: sono una terna di vettori di modulo unitario, ognuno parallelo ad uno degli assi coordinati. Sono indicati equivalentemente con:

<math>\hat{k} = \left (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right)</math> .

*# <math>\hat{\imath},\hat{\jmath},\hat {k};</math>

*# <math>\mathbf{e}_x,\mathbf{e}_y,\mathbf{e}_z;</math>

*# <math>\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3;</math>

*# <math>\hat{\mathbf{x}},\hat{\mathbf{y}},\hat{\mathbf{z}};</math>

*# <math>\mathbf{x}_0,\mathbf{y}_0,\mathbf{z}_0;</math>

*# <math>\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\0 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\0 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\1 \end{bmatrix}.</math>

* I versori associati agli assi cartesiani nel piano: analoghi dei precedenti. Sono indicati come i precedenti, con l'eccezione che il terzo versore è mancante (e nel sesto caso sono presenti solo due componenti in ognuno dei due vettori rimanenti).

* I versori associati ad un sistema di [[coordinate polari]] nel piano, che indicano la direzione radiale ed angolare. Si possono indicare equivalentemente con:

*# <math>\hat{r},\hat{\theta};</math>

*# <math>\hat{\mathbf{r}},\hat{\boldsymbol{\theta}};</math>

*# <math>\mathbf{e}_r,\mathbf{e}_{\theta};</math>

*# <math>\mathbf{r}_0,\boldsymbol{\theta}_0.</math>

* Data una curva nel piano, per ogni punto di essa è possibile considerare il versore [[tangente (matematica)|tangente]] e il versore [[perpendicolarità|normale]]. Si indicano spesso nei seguenti tre modi equivalenti:

*# <math>\hat{t}, \hat{n};</math>

*# <math>\hat{\mathbf{t}},\hat{\mathbf{n}};</math>

*# <math>\mathbf{e}_t,\mathbf{e}_n.</math>

==Derivata di un versore==

In modo analogo vengono definiti i versori <math>\hat{e}_r</math> ed <math>\hat{e}_\theta</math> che in ogni punto dello spazio indicano rispettivamente la direzione radiale e angolare riguardanti le [[coordinate polari]] ed i versori <math>\hat{t}</math> ed <math>\hat{n}</math>, che indicano rispettivamente la direzione [[tangente]] e [[perpendicolarità|normale]] in ogni punto di una data [[traiettoria]].

{{vedi anche|derivata}}

Sia <math>\hat{\mathbf{v}}(t)</math> un versore dipendente dal tempo. Se consideriamo il [[prodotto scalare]] di questo vettore per se stesso abbiamo:

:<math>\hat{\mathbf{v}} \cdot \hat{\mathbf{v}} = \left|\hat{\mathbf{v}}\right|^2</math>

Dato un qualunque vettore <math>\mathbf{v}</math> (diverso dal vettore nullo che è l'unico ad avere modulo pari a zero) è possibile formarne un versore moltiplicandolo per l'inverso del suo modulo,

e ricordando che i versori hanno modulo unitario si ha

:<math>\hat{v} = \frac {\mathbf{v}}{\lVert\mathbf{v}\rVert}</math>

:<math>\hat{\mathbf{v}} \cdot \hat{\mathbf{v}} = 1.</math>

==[[Derivata]] di un versore==

Sia '''v''' un versore. Dalla definizione di [[prodotto scalare]] e di [[norma (matematica)|modulo]] si ottiene la relazione

:<math>\lVert\mathbf{v}\rVert^2=\mathbf{v} \cdot \mathbf{v} </math>

Derivando membro a membro, e ricordando che il modulo di un versore è costante, e quindi ha derivata nulla, risulta:

:<math>\mathbf{v'} \cdot \mathbf{v} + \mathbf{v} \cdot \mathbf{v'} = 2\left( \mathbf{v'} \cdot \mathbf{v} \right)=0 \Longleftrightarrow \mathbf{v'} \cdot \mathbf{v}=0</math>

Poiché deve essere nullo il prodotto scalare di '''v'&middot;v''', si evince che la [[derivata]] di un versore è sempre [[perpendicolare]] al versore stesso. Ciò in quanto il prodotto scalare può anche essere visto come la [[proiezione]] di un vettore sull'altro, che si annulla sempre solo se i due vettori sono appunto perpendicolari.

Prendendo quest'ultima espressione, e derivandola membro a membro rispetto al tempo otteniamo:

La derivata di un versore, in generale, non è un versore, per dimostrarlo basta considerare il versore in

coordinate polari :

:<math>\hat{\mathbf{v}(t)}' =\cdot \cos(\theta(t))\hat{i\mathbf{v}} + \sin(hat{\theta(t))mathbf{v}} \cdot \hat{j\mathbf{v}}' = 0.</math>

derivando rispetto a t si ottiene :

Data la [[commutatività]] del prodotto scalare

:<math>\hat{v}'(t) = \theta'(t)(-\sin(\theta(t))\hat{i} + \cos(\theta(t))\hat{j})</math>

dove il termine

:<math>(-2\sinleft(\theta(t)) \hat{i\mathbf{v}}' +\cdot \cos(\theta(t))\hat{j\mathbf{v}} \right)=0</math>

:<math>\hat{\mathbf{v}}' \cdot \hat{\mathbf{v}}=0.</math>

è il versore ortogonale di modulo unitario,

Poiché deve essere nullo il prodotto scalare di <math>\hat{\mathbf{v}}'\cdot\hat{\mathbf{v}}</math>, si evince che la [[derivata]] di un versore è sempre [[perpendicolare]] al versore stesso. Ciò in quanto il prodotto scalare può anche essere visto come la [[proiezione (geometria)|proiezione]] di un vettore sull'altro, che si annulla [[se e solo se]] i due vettori sono appunto perpendicolari.

La derivata di un versore, in generale, non è un versore; per dimostrarlo basta considerare il generico versore in coordinate polari:

:<math>\hat{\mathbf{v}}(t) = \theta(t),\hat\theta + 1\,\hat{r},</math>

che in coordinate cartesiane diviene:

:<math>\hat{\mathbf{v}}(t) = \cos\left(\theta(t)\right)\,\hat{\imath} + \sin\left(\theta(t)\right)\,\hat{\jmath}.</math>

Derivando rispetto a <math>t</math> si ottiene:

:<math>\hat{\mathbf{v}}'(t) = \theta'(t)(-\sin(\theta(t))\,\hat{\imath} + \cos(\theta(t))\,\hat{\jmath}),</math>

dove il termine

:<math>-\sin(\theta(t))\,\hat{\imath} + \cos(\theta(t))\,\hat{\jmath}</math>

è il versore ortogonale di modulo unitario, e dove il termine

e dove il termine :

:<math>\theta'(t)</math>

è in generale diverso dall'unità.

== Voci correlate ==

* [[Vettore (matematica)]]

* [[Vettore (fisica)]]

* [[Normalizzazione (matematica)]]

* [[Norma (matematica)]]

* [[Spazio vettoriale]]

* [[Spazio normato]]

* [[Circonferenza unitaria]]

== Altri progetti ==

{{interprogetto|wikt}}

== Collegamenti esterni ==

* {{Collegamenti esterni}}

{{Portale|matematica}}

[[Categoria:Calcolo vettoriale]]

[[ar:متجه الوحدة]]

[[ca:Vector unitari]]

[[da:Enhedsvektor]]

[[de:Einheitsvektor]]

[[en:Unit vector]]

[[eo:Unuobla vektoro]]

[[es:Vector unitario]]

[[fi:Yksikkövektori]]

[[fr:Vecteur unitaire]]

[[he:וקטור יחידה]]

[[id:Vektor satuan]]

[[is:Einingarvigur]]

[[ja:単位ベクトル]]

[[ko:단위벡터]]

[[lt:Vienetinis vektorius]]

[[lv:Vienības vektors]]

[[nl:Eenheidsvector]]

[[nn:Einingsvektor]]

[[pl:Wersor]]

[[pt:Vetor unitário]]

[[ru:Единичный вектор]]

[[sk:Jednotkový vektor]]

[[sl:Enotski vektor]]

[[sv:Enhetsvektor]]

[[th:เวกเตอร์หนึ่งหน่วย]]

[[uk:Одиничний вектор]]

[[zh:单位向量]]