Trasversalità: differenze tra le versioni

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{{F|matematica|luglio 2017}}

In [[matematica]], e più precisamente in [[topologia differenziale]], la '''trasversalità''' è una proprietà opposta alla [[retta tangente|tangenza]]. Viene definita nel contesto di [[curva (matematica)|curve]], [[superficie (matematica)|superfici]] o più generali [[varietà differenziabile|varietà differenziabili]] contenute in un qualche spazio.

[[ImageImmagine:Sphere-transverse.svg|thumb|Curve trasverse sulla superficie di una sfera]]

[[ImageImmagine:Sphere-nontransverse.svg|thumb|Curve non trasverse sulla superficie di una sfera]]

In [[matematica]], e più precisamente in [[topologia differenziale]], la '''trasversalità''' è una proprietà opposta alla [[retta tangente|tangenza]]. Viene definita nel contesto di [[curva (matematica)|curve]], [[superficie (matematica)|superfici]] o più generali [[varietà differenziabile|varietà differenziabili]] contenute in un qualche spazio.

La nozione di trasversalità fa uso del [[calcolo infinitesimale]] (in particolare, dello [[spazio tangente]]).

== Definizione ==

Due [[sottovarietà differenziabile|sottovarietà differenziabili]] di una [[varietà differenziabile]] <math>''M</math>'' di dimensione <math>''n</math>'' si '''intersecano in modo trasverso''' in un punto <math>''x</math>'' se i due [[spazio tangente|spazi tangenti]] corrispettivi in quel punto [[span lineare|generano]] lo spazio tangente diad <math>x</math>'' in <math>M</math>'' nel punto ''x''.

[[Image:Sphere-transverse.svg|thumb|Curve trasverse sulla superficie di una sfera]]

[[Image:Sphere-nontransverse.svg|thumb|Curve non trasverse sulla superficie di una sfera]]

Nel caso in cui le sottovarietà abbiano dimensioni complementari (cioè la cui somma è <math>''n</math>''), questo equivale a chiedere che i due sottospazi tangenti siano in [[somma diretta]], ovvero che si intersechino solamente in un punto (questo segue dalla [[formula di Grassmann]]).

Due [[sottovarietà differenziabile|sottovarietà differenziabili]] di una [[varietà differenziabile]] <math>M</math> di dimensione <math>n</math> si '''intersecano in modo trasverso''' in un punto <math>x</math> se i due [[spazio tangente|spazi tangenti]] corrispettivi in quel punto [[span lineare|generano]] lo spazio tangente di <math>x</math> in <math>M</math>.

Nel caso in cui le sottovarietà abbiano dimensioni complementari (cioè la cui somma è <math>n</math>), questo equivale a chiedere che i due sottospazi tangenti siano in [[somma diretta]], ovvero che si intersechino solamente in un punto (questo segue dalla [[formula di Grassmann]]).

== Proprietà ==

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Entrambe queste proprietà dipendono dalla trasversalità: se l'intersezione di due varietà non è trasversa, l'intersezione può non essere una varietà, e se è una varietà può comunque avere dimensione arbitraria.

In particolare, due varietà con dimensioni complementari si intersecano in punti isolati. Se una delle due varietà è [[spazio compatto|compatta]], questi punti sono finiti. Se le due varietà e la varietà ambiente sono tutte [[orientabilità|orientate]], ciascun punto di intersezione ha un segno + o -. La somma di questi segni è una quantità importante in [[topologia algebrica]], perché non cambia se una delle due varietà è spostata tramite una [[Omotopia#Isotopia|isotopia]].

[[ImageImmagine:Transversality-ambient.svg|thumb|left|upright=1.4|La trasversalità dipende fortemente dallo spazio ambiente: le due curve disegnate sono trasverse se considerate nel piano, ma non lo sono nello spazio.]]

Due varietà la cui somma delle dimensioni è minore della dimensione ''n'' della varietà ambiente sono trasverse se e solo se non si intersecano. Infatti in questo caso gli spazi tangente hanno dimensione troppo piccola e non possono in nessun caso generare uno spazio di dimensione ''n''.

Più in generale, secondo la definizione, due varietà che non si intersecano sono comunque trasverse.

== Voci correlate ==

* [[Spazio tangente]]

== Collegamenti esterni ==

* {{Collegamenti esterni}}

{{Topologia}}

{{portale|matematica}}

[[Categoria:Topologia differenziale]]

[[de:Transversalität]]

[[en:Transversality]]

[[fr:Transversalité]]

[[nl:Transversaliteit]]