Formula per i numeri primi: differenze tra le versioni
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Una '''formula per i numeri primi''' è un'espressione che consenta di distinguere nell'ambito degli interi positivi tutti i [[numero primo|numeri primi]] e solo essi. La ricerca di una tale formula è
Per avere un'idea del problema, è bene chiarire che è semplice trovare una funzione o una classe di funzioni che generi un'infinità numerabile di numeri primi, a partire da una [[variabile (matematica)|variabile]] che è un numero naturale o un numero primo: la difficoltà è trovare una funzione che generi ''esclusivamente'' numeri primi, e in secondo luogo, che li generi tutti. Ad esempio la funzione
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:<math>y = 2 \cdot n +1</math>
dove ''n'' è un numero naturale, genera evidentemente l'insieme di tutti i numeri dispari, e quindi tutti i numeri primi, escluso 2, che di questo sono un sottoinsieme; tuttavia genera anche numeri composti, anche nel caso che ''n'' sia un numero primo (ad esempio per ''n'' = 13). Allo stesso modo, tutti i polinomi di primo grado <math>y = m \cdot x + c</math>, dove ''c'' è un numero naturale e ''m'' e ''c'' sono [[coprimi]], generano infiniti numeri primi ([[teorema di Dirichlet]]) ma anche numeri composti.
La formula dei numeri primi dovrebbe avere le seguenti caratteristiche, {{Citazione necessaria|in ordine di importanza}}:
*estensione della variabile indipendente: generare un'infinità numerabile di numeri primi;
*esclusività (rispetto alla variabile indipendente): generare solamente numeri primi e nessun [[numero composto]];
*generalità (rispetto alla variabile indipendente): generare ''tutti'' i numeri primi superiori a un certo valore (numero primo, dispari, o meglio naturale e intero), anziché un sottoinsieme di numeri primi;
*estensione (del dominio) della variabile indipendente: generare numeri primi a partire dall'insieme più vasto possibile di valori (numeri naturali o meglio interi, anche negativi), piuttosto che da un sottoinsieme (''x'' numero dispari o numero primo)
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Il [[teorema di Dirichlet]] afferma invece che questa proprietà vale per ogni polinomio di primo grado ''an+b'', nel caso che ''a'' e ''b'' siano [[interi coprimi|coprimi]]. Il [[teorema di Green-Tao]] migliora questo risultato, affermando che per ogni ''k'' esiste un ''L''(''n'')=''an+b'' che assume valori primi per ''n'' che varia da 0 a ''k''-1. Il miglior risultato noto è per ''k''=25:
:<math>6171054912832631 + 366384 \cdot \left( \prod_{p \leq 23} p \right) \cdot n=6171054912832631 + 81737658082080n</math>
dove <math>\prod_{p \leq 23} p</math> indica il prodotto di tutti i primi minori o uguali a 23.
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| 12 || 13697 || Matijasevič ||1976||
|-
| 10 || circa {{
|}
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Il [[teorema di Mills]] afferma che esiste una costante <math>\theta</math> (detta [[costante di Mills]]) tale che
:<math>\lfloor \theta^{3^n}\rfloor</math>
(dove <math>\lfloor x \rfloor</math> indica la [[parte intera]] di ''x'') è sempre un numero primo per ogni scelta di ''n''. Non si conosce nessuna formula semplice per il calcolo della costante di Mills θ; le approssimazioni attualmente utilizzate si basano sulla sequenza dei cosiddetti primi di Mills (i numeri primi generati tramite questa formula). Assumendo per vera l'[[ipotesi di Riemann]], è stato possibile calcolare fino a 7000 cifre decimali di questa costante.<ref>[
Un'altra formula, fornita da [[Edward M. Wright|Wright]], che genera solo primi per ''n'' ≥ 1, è
:<math>\lfloor 2^{2^{2^{.^{.^{ .^ {2^{ \omega } }}} }}}\rfloor</math>
(2 elevato alla 2 ''n'' volte, elevato alla ω) con ω=1.9287800...<ref>{{cita pubblicazione|autore=Wright, E.M.|titolo=A Prime-Representing Function|rivista= American Mathematical Monthly|numero=58|
== Formule attraverso le frazioni ==
È possibile produrre numeri primi attraverso le quattordici frazioni
<math>\frac{17}{91}\quad\frac{78}{85}\quad\frac{19}{51}\quad\frac{23}{38} \quad\frac{29}{33}\quad\frac{77}{29}\quad\frac{95}{23} \quad\frac{77}{19}\quad\frac{1}{17}\quad\frac{11}{13}\quad\frac{13}{11}\quad\frac{15}{14}\quad\frac{15}{2}\quad\frac{55}{1}</math>
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:<math>\pi(m) =\sum_{j=2}^m \left\lfloor \frac{(j-1)! + 1}{j} - \left\lfloor\frac{(j-1)!}{j}\right\rfloor \right\rfloor</math>
La formula porta ad una formula diretta per l
:<math>p_n = 1 + \sum_{m=1}^{2^n}\left\lfloor \left\lfloor\frac{n}{1 + \pi(m)} \right\rfloor^\frac{1}{n}\right\rfloor.</math>
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== Altre formule ==
[[Godfrey Harold Hardy|Hardy]] e [[Edward M. Wright|Wright]]<ref>{{Cita libro | cognome=Hardy | nome=Godfrey Harold | coautori=Edward Maitland Wright | anno=1979 | titolo=An Introduction to the Theory of Numbers | url=https://archive.org/details/introductiontoth00hard | ed=5 | editore=Clarendon Press | città=Oxford | isbn=0-19-853171-0 }}</ref> forniscono la formula
:<math>p_n=1+\sum_{j=1}^{2^n} f(n,\pi(j))</math>
dove ''f''(''x,y'') è 0 se ''x''=''y'' ed è invece uguale a <math>\frac{1}{2}\left\lfloor 1+\frac{x-y}{|x-y|}\right\rfloor</math> altrimenti.
== Voci correlate ==▼
*[[Test di primalità]]▼
*[[Teorema di Dirichlet]]▼
== Note ==
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*Keith Devlin, ''Dove va la matematica''. Bollati Boringhieri, Torino, 1994. ISBN 8833911829
*[[John H. Conway]], [[Richard K. Guy]], ''Il libro dei numeri''. Hoepli, Milano, 1999. ISBN 8820325195
▲== Voci correlate ==
▲*[[Test di primalità]]
▲*[[Teorema di Dirichlet]]
== Collegamenti esterni ==
* {{Collegamenti esterni}}
{{portale|matematica}}
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